基于“六何三線”理論的教學設計

蔣培杰 李莉 毛梅嬌

【摘 要】本文以“橢圓的定義”這節課的教學設計為例，論述基于“六何三線”理論的教學設計的 7 個環節“直觀感知—操作體驗—類比歸納—概念剖析—多元理解—牛刀小試—小結反思”，由此使學生深入理解概念的來源、本質特征等，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】“六何三線”理論? 教學設計? 數學思想方法

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）09B-0099-03

在數學教學中，教師如何提問越來越受到重視。但在現階段的數學教學中，很多教師在教學數學概念時往往忽略其產生的背景、形成過程，淡化數學概念所反映的數學思想，提問形式單一，導致學生理解概念不深刻、不透徹，缺乏問題意識，教學質量不高。數學課堂教學應當基于問題進行教學，通過問題讓學生明白數學概念的產生、發展過程，不僅要知其然，而且要知其所以然。本文基于“六何三線”理論，通過案例設計，說明如何運用“六何三線”理論展開數學教學，讓學生深入理解概念的來源、本質特征等知識，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

一、“六何三線”理論概述

“六何三線”教學理論中的“六何”是指從何、是何、如何、為何、若何、有何。其中，“從何”是方向性提問，探究問題的背景、來源;“是何”指事實性提問，圍繞數學概念、公式和命題等實質含義提出問題;“如何”是方法性提問，旨在促使學生深入思考、掌握方法;“為何”是說理性提問，通過探討數學知識的來龍去脈，摸清知識的基本架構，培養學生的說理能力;“若何”是發散性提問，對數學知識的多元理解和關聯結構的提問，促進學生遷移應用的能力;“有何”指反思性提問，就所學知識、內容和方法進行提問，提高學生的反思能力。“三線”是指“學法為主線、教導為輔線、問題為導線”。基于“六何三線”理論的教學提問循序漸進、交融貫通。

二、基于“六何三線”理論的教學設計

“六何三線”教學理論從知識與技能、過程與方法、情感與體驗三個維度出發，在一定程度上能夠幫助學生更好地掌握知識，提高學習能力以及展現愿學、樂學的學習態度。優化數學教學，在“授人以魚”的同時實現“授人以漁”。具體到數學概念課的教學，就是如何正確提問，凸顯學生的“學”以及教師有效引導的過程。下面以一節數學概念課的教學設計為例，說明在利用“動態數學軟件”輔助教學的基礎上，如何體現“六何三線”教學模式，讓學生能夠直觀地看到知識的來源與本質，發散學生的思維。

（一）課例背景分析

“橢圓的定義”是人教 A 版高中數學選修 2-1 《圓錐曲線》的重點內容。本節課是學習集合、曲線與方程的后續內容，是高中解析幾何的開端，對學生今后學習圓錐曲線有著重要的基礎意義。因此，它不只是圓的定義、曲線與方程的知識生長點，而且也為學生進一步學習橢圓的標準方程、圖象與幾何性質提供了良好的載體。本節課的學習重點是理解橢圓的定義、焦點、焦距等概念，難點是對橢圓的定義進行歸納、表述。學生在學習圓的形成、定義以及曲線與方程的過程中，感悟數形結合的數學思想方法，促使形象思維向抽象思維過渡。在這個過程中，教師可以借助“動態數學軟件”輔助教學，從“數”與“形”的角度動態展示橢圓的形成過程，引發學生學習的興趣，提高教學效率。

（二）基于“六何三線”理論的教學設計

圍繞“六何三線”理論中的“六何（從何、是何、與何、如何、若何、有何）”展開教學設計，即橢圓從哪里來？其本質是什么？與圓有何聯系？如果橢圓的一些屬性發生變化會怎樣？學完這節課有哪些收獲？同時結合“動態數學軟件”的功能與數學創課的特點，我們將“橢圓的定義”這節課的教學設計分成 7 個環節展開教學：直觀感知—操作體驗—類比歸納—概念剖析—多元理解—牛刀小試—小結反思。

1.直觀感知

開課伊始，教師可以向學生提出問題：“生活中有哪些東西是橢圓形狀的？”待學生回答后，教師通過屏幕上出示生活中有關橢圓形狀的物品，比如，汽車車標、鏡子等，引導學生用語言描述屏幕中的橢圓形，并指出學生在描述過程中出現的錯漏點，如橢圓的實質是輪廓線。接著，教師提出問題：“你可以在紙上畫出橢圓嗎？”進一步引導學生思考：“橢圓與圓相似，用圓規可以在畫板上作圓，那么是否可以類比這種方法畫出橢圓呢？”這樣做能夠啟發學生聯系舊知，學會運用類比的方法思考問題。

根據“六何三線”理論，在“直觀感知”教學環節回答的是“為何（為什么要學習橢圓的定義）”這個問題，讓學生直觀感知橢圓在日常生活中的廣泛應用。教師強調橢圓的本質是輪廓線，是為了讓學生對橢圓有一個正確的認知。“橢圓與圓相似，用圓規可以在畫板上作圓，那是否可以用類比的方法畫出橢圓呢”這個問題驅動學生的求知欲望，體現了數學源于生活、服務生活的教學理念。教師利用生活情境引出學習內容，讓學生感受到數學源自生活、高于生活、用于生活，有利于激發學生學習興趣。

2.操作體驗

根據“六何三線”理論，這個教學環節回答的是“有何（橢圓具有什么特征）”問題。教學可以由師生玩“你畫我猜”小游戲（如圖 1）開始，教師將一條已經確定了長度的繩子的兩端同時綁定在畫板的 F1 點，然后用簽字筆沿著細線拉緊并挪動簽字筆，讓學生猜測將會得到何種曲線。然后通過“動態數學軟件”模擬這一操作，直觀呈現圓的生成過程，引導學生思考：圓的生成過程需要滿足哪些幾何條件并回憶圓的定義。

接著，教師將這個問題進行變式：將繩子的兩端分別固定在畫板的兩個位置，保持適當的距離，將簽字筆沿著繩子拉緊并挪動簽字筆的筆尖，讓學生猜測將會得到什么樣的曲線？在這個環節，教師讓學生盡情猜想，以便暴露學生的錯漏點。也可以通過“動態數學軟件”呈現筆尖移動的軌跡，作橢圓圖形，同時讓學生思考：在橢圓曲線的生成過程中需要滿足哪些幾何條件？

教師引導學生從橢圓的生成過程這個角度出發，根據圓的結構特征及定義，推測出橢圓的定義。這一教學過程滲透了猜想、類比、數形結合等數學思想方法，為進一步理解橢圓的定義作鋪墊。

3.類比歸納

這個教學環節主要解決的是“是何（橢圓的定義是什么，具有什么特征）”這個問題。教師可以提問學生：“將圓與橢圓在形成過程中所滿足的幾何條件進行對比，你能歸納出橢圓的定義嗎？”通過展現圓、橢圓的生成過程，引導學生用類比的方法，歸納得到橢圓的定義。

通過動態演示圖象的生成過程，教師可以先引導學生回顧圓的定義，并與橢圓的定義進行類比，然后歸納概括得出橢圓的定義。這樣做能夠突出重點、破解難點，讓學生掌握歸納類比、數形結合等數學思想方法。這個教學環節在“授人以魚”的同時實現了“授人以漁”的目的。

4.概念剖析

5.多元理解

學生根據圖象再次復述橢圓的定義，教師可以接著提問：“你能用集合的語言來描述橢圓的定義嗎？”逐個將橢圓的焦點、焦距、長軸等概念符號化，將符號語言板書在文字語言和圖形語言旁邊，一同展示出來。

圖形語言（圖 2）：

根據“六何三線”理論，這個教學環節是回答“是何”的問題，即深度剖析橢圓的定義以及焦點、焦距等概念，強調采用多元表征、逐個擊破的數學方法。

6.牛刀小試

教師改變題目的條件，讓學生嘗試運用定義法或圖象法解題，進行一題多解、一題多變，體現“授人以魚”的同時“授人以漁”的思想。這個做題環節是回答“若何”的問題，即如果將問題進行變式，結果又如何。

7.小結反思

在小結環節，教師先呈現如下課件，讓學生回顧教學內容，然后提問學生：（1）我學到了什么？我是怎樣學到的？（2）給我留下印象最深的是什么，為什么？（3）我還有哪些想法或發現？最后提出問題：“圖形中的 ac 之間有什么關系？根據橢圓的幾何特征，我們是否可以借助坐標系建立橢圓的方程？如果是，那么怎樣建立坐標系才能使橢圓的方程更簡單？如果不是，那么要采用什么方法建立橢圓的方程？”通過一系列提問，讓學生明確接下來要學習什么內容，為學生的學習指明了方向，以便學生有針對性地開展預習。根據“六何三線”理論，此環節是回答“有何”的問題，即全面小結與反思學習過程與結果，幫助學生養成良好的學習習慣，教師也能夠及時接收到學生的反饋信息，有效進行查漏補缺。

三、教學設計反思

（一）“六何三線”理論讓知識的建構更具科學性

任何知識的建構都要經歷直觀探索的過程，最終形成結構化、系統化。在設計“橢圓的定義”這節課里，教師從生活中的實例出發，引導學生探索橢圓的形成過程，借助“動態數學軟件”動態地展示圓的生成過程和橢圓的生成過程，從而得到橢圓形成過程的直觀模式，同時引導學生用數學語言描述橢圓的特點，激活學生原有的認知與經驗。在經歷了直觀感知、動手操作、多元聯想、合作交流等學習活動后，教師再讓學生填寫表格，在理解了橢圓概念的基礎上，將橢圓的定義轉化為具體的數學語言，初步實現由原始數學概念轉化為數學學習對象的過程，發展學生的數學抽象思維和直觀想象的核心素養。

（二）“六何三線”理論揭示了數學思想方法的生成過程

學生理性思維的形成與發展是建立在數學抽象基礎之上的，由此可知，數學抽象是最基本的數學思想，它體現了數學最根本的性質。根據“六何三線”教學理論的特點，教師從直觀演示出發，借助“動態數學軟件”引導學生觀察橢圓的形成過程，運用類比的思想方法分析和歸納橢圓的定義，最后通過多元理解加深對概念和定義的記憶。在這個過程中，教師引導學生學會從數學的角度看待并解決實際生活中的問題，從數學實驗中抽象出數學對象的本質屬性，最終形成橢圓的概念。

【參考文獻】

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