函數思想在物理教學中的應用

摘 要：世界是一本以數學語言寫成的書，而物理就是研究這個世界的科學。數學函數的思想滲透于物理的方方面面。運用數學函數的思想不僅可以幫助學生更加方便地研究物理問題，更是教會學生一種探索物理的方法。本文對于數學以及物理中函數思想進行了一個系統的概述，并且通過幾個實例的探討來研究在中學物理的教學中如何滲透數學函數的思想。

關鍵詞：中學物理；數學函數；物理教學；函數應用

一、 數學中的函數思想概述

函數是中學數學的核心內容，從初中二年級開始，學生開始接觸一次函數、反比例函數，到高一全面學習三角函數、對數函數等初等函數。盡管不同階段教材對函數概念的闡述方式不同，但是數學的函數的思想一直是運用運動和變化的觀點、集合與對應的思想去分析、研究數學問題中的數量關系，通過建立函數關系或構造函數運用函數的圖像或性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想。

數學中函數思想是對函數概念的本質認識，其實質就是變量與變量之間的一種對應，或者說是一個集合到另一個集合的一種映射。運用函數的方法可以有效地表示、處理、交流和傳遞信息，是探討事物的發展規律和預測事物發展方向的重要手段。函數思想與化歸、數學建模、歸納、特殊化等數學思想同樣有密不可分的關系。

二、 物理學中的函數思想概述

物理學中函數思想最初萌芽于17世紀伽利略研究物體運動，他在《兩門新科學的對話》中提出了“靜止開始運動的物體其經過的距離與運動時間的平方成正比”等運動學觀點，這些觀點使用了文字和比例對物理量間的函數關系加以描述。發展到近代經典物理學中，在參考系下物體運動有一個準確的時空關系的刻畫，即r=r（t）。從位置矢量確定，所有運動物理量都可以直接或間接地表示為相應的矢量形式。通常情況，分析物體運動矢量時，我們會根據方便程度的不同，選取直角坐標、自然坐標、極坐標等坐標系對物體運動矢量進行分解加以研究。絕大多數物理量可以在坐標系下進行時空描述。將之投射到數學中，函數即是由自變量和因變量及其對應關系組成。以位置的變化和時間作為自變量，考察其他物理量隨時空的變化規律，即是函數的應用過程。力對時間、空間的積累在函數中的研究，在空間或時間維度下考慮力的函數解析式，物體在直角坐標的空間內因力F的作用由A點向B點運動，定義力在空間上的積累WAB=∫BA

·Fxdx+·Fydy+·Fzdz為功。考察其中x分量即一維運動情形，

有WABx=∫BAFx·dx，若在以位移為橫坐標，力為縱坐標的坐標系中繪制力關于位移的函數圖像，那么，功的大小即為這段函數下方面積大小。恒力做功時，函數下方為矩形，有WABx=Fx·xAB；若為變力做功，考察力隨位置變化關系，同樣可以作出Fx函數，可以得到WABx=∫BAFx（x）·dx。這就是變力做功問題的“圖像法”的理論依據。

三、 函數在物理教學中的應用案例

中學物理教材提供了大量的實物圖、示意圖和函數圖像，目的是讓學生理解復雜抽象的物理概念和規律。其中，函數圖像將靜止的、毫無生機的公式和規律變成坐標系中的曲線。函數思想有助于學生深化物理概念和規律的理解，如高中必修一在第一章中便引入了位移時間圖像、速度時間圖像，函數圖像的引進幫助學生直觀、深入地理解瞬時速度、平均速度、加速度的概念。

在物理習題教學中，適當運用函數思想有助于學生對抽象條件的認識，進而解決問題。物理學中，有一類概念是用兩個基本的物理量的“比”來定義的，諸如密度、電阻、場強、電勢差。這些物理量往往反映了物質最本質的屬性，在“源”不變的情況下，大小不會發生變化，由此構成正比例函數。以初中物質的密度為例，學生在學習密度公式ρ=mV之后，往往容易出現一些錯誤想法，即在數學角度上認為密度ρ與物體質量m成正比，與物體體積V成反比。為避免此類錯誤的出現，部分教師通過對“物質屬性”加以講解，強調物質的一些屬性由物質的種類決定，使學生加強記憶避免此類錯誤的重復出現。對此問題的另一種處理則在習題教學中，測量同種實心材料的質量m和體積V，在mV坐標系中描點，學生會發現所描點構成一個正比例函數，此時教師可以利用該直線的解析式m=ρV介紹物體的密度。通過對比測量不同材質物體的質量m和體積V，在坐標系中描點連線，學生可以發現斜率ρ的差異，真正理解“同種材質的實心物體的密度為定值，其質量與體積成正比關系”。

四、 結合具體問題應用函數思想解決問題

在電學的教學中，函數的思想運用得尤其多。特別是電功率中運用函數的方法往往能將許多對于學生理解上有困難的問題簡化，讓答案更加能被學生接受。在下文中筆者將列舉一個較為典型的例題應用函數思想來將答案讓學生理解起來更加易于接受。

如圖甲所示，是某同學“探究定值電阻R0的發熱功率P0、滑動變阻器R消耗的電功率PR和電源總功率PU隨電流I變化的關系”的實驗電路圖，通過實驗得到的數據用描點法在同一坐標系中作出了a、b、c三條圖線，如圖乙所示。根據圖像可知，其中，反映電源的總功率PU隨電流I變化的關系圖像是 （選填“a”“b”或“c”），滑動變阻器R消耗的最大電功率為 W。

學生做這道題時一般會先找電源功率的曲線進而來找定值電阻的功率最后用排除法來找滑動變阻器的電功率。通過c圖像中的頂點最后找到變阻器消耗電功率的最大值。在這解法中有些學生并不理解為何在定值電阻與滑動變阻器阻值相等時滑動變阻器的功率最大，為了讓學生可以深刻理解，對于數學功底較好的學生，可以從數學函數的角度來解釋。

這么做不僅從數學函數的角度解釋了滑動變阻器功率最大時阻值與定值電阻的關系，更重要的是幫助學生理解變阻器功率隨電阻的變化規律。

五、 結束語

物理中構建的函數既有其數學形式，又包含物理意義，引導學生構建函數模型，有利于學生對知識的理解、問題的解決，提升學生抽象思維能力。

作者簡介：張瑋琪，江蘇省昆山市，昆山市蓬朗中學。endprint