完善建構(gòu)過程 豐富數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵

摘 要：小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，也可以說就是小學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。教師應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也應(yīng)當(dāng)重視小學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，更應(yīng)當(dāng)重視完善數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，豐富數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵，進而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及思想形成和發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)生；建構(gòu)過程；數(shù)學(xué)模型

我們傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只重視結(jié)論，即重視記憶、背誦確定的數(shù)學(xué)模型，而忽視了小學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。雖然我們現(xiàn)在小學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)中開始關(guān)注數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過程了，但也只關(guān)注數(shù)學(xué)模型的定義、揭示、推導(dǎo)時那點短暫的一閃即逝的“短命”的所謂的“過程”，而輕視數(shù)學(xué)模型之前的小孩子原有認知。

一、 早做鋪墊，減緩數(shù)學(xué)模型建構(gòu)坡度

讓小學(xué)生記著“三角形面積=底×高÷2”并不太難。但要讓小學(xué)生悟出為什么“三角形面積=底×高÷2”就很艱難。必須讓孩子介入到這公式的建構(gòu)過程，除此，別無他法。

在引導(dǎo)小學(xué)生進行三角形面積計算公式的建構(gòu)時，我們希望讓小學(xué)生自己能想辦法解決，但事實上并非易事，小學(xué)生怎么能想到用完全一樣的兩個三角形來拼成一個大平行四邊形呢？教師又如何引導(dǎo)學(xué)生想？其實，小學(xué)生沒有這樣的認知基礎(chǔ)，學(xué)生更容易將所給的一個三角形紙片，胡亂地割、移、拼，將三角形弄成一個長方形、正方形或平行四邊形，明顯，小學(xué)生是將學(xué)到的建構(gòu)“平行四邊形面積計算公式”“割、移、拼”的方式移植過來的。當(dāng)然，也說明了學(xué)生已經(jīng)有了將新問題轉(zhuǎn)化成舊問題的思想。但是學(xué)生用這種手段難以推導(dǎo)“三角形面積計算公式”來。

有人說，引導(dǎo)小孩想，將一個平行四邊形沿對角線剪開，可以獲得兩個相同的三角形，從而讓小孩悟到：兩個相同的三角形就能拼成一個平行四邊形。這樣的引導(dǎo)似乎有道理，但我們仔細想想，這種思維邏輯會誤導(dǎo)學(xué)生的邏輯思維。其實，順著推理結(jié)論對的，但不說明逆著推理獲得的結(jié)論就對，如，人是動物，我們不能說動物是人。

就算上面的邏輯正確，但小學(xué)生可能會這樣疑惑（一般人也這樣想）：“一個三角形的面積都求不出來，再找一個和它完全一樣的一個三角形來，它的面積還是不知道，問題不是更難了嗎？”例如，你看到一個不知道是什么的植物，你再找來同樣的一株，就能知道答案了嗎？學(xué)生邏輯不正確，這個比喻也不恰當(dāng)，但對于一般人，特別是對于小學(xué)生說，他們極易這樣思維。我們到底應(yīng)當(dāng)怎樣引導(dǎo)學(xué)生，才能讓他們想到或接受這種思維？

本人注意在三角形面積計算公式前，進行一些提前鋪墊。

（一） 有目的地，有計劃地提早讓孩子觀察、對比、拼擺、剪等操作活動，感知到隨意一個平行四邊形沿對角線剪開都得到兩個一模一樣的三角形。這種動手操作在教學(xué)三角形面積計算公式前多次出現(xiàn)，并讓孩子深刻地感知到。

（二） 讓學(xué)生思考怎樣用秤來測量一個1角硬幣、1粒米的質(zhì)量（可以和同學(xué)或家長討論），再讓學(xué)生進行測量實驗，最后，引導(dǎo)學(xué)生懂得：一個物體量難以得到，可以用同樣物體2個、3個……得到整體的量，再算出其中一個物體的量。

……

通過上邊的鋪墊，在教學(xué)時，盡管只有少部分孩子意識用兩個完全相同的三角形來拼。但是，當(dāng)老師啟發(fā)孩子用這種方式推導(dǎo)三角形面積計算公式時，孩子們理解和接受這種方式的結(jié)果極佳。

二、 反思模型，加快學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化

我們很多老師和學(xué)生在千辛萬苦地得到三角形計算公式后，就都松了一口氣，接下的活動往往是：或留給學(xué)生記憶公式時間，即背公式，或是讓學(xué)生用公式去模仿解決問題，或是指名個別學(xué)生簡單地復(fù)述推導(dǎo)過程等。

記憶和應(yīng)用是必要的，但筆者總覺得有點操之過急。簡單地讓一個學(xué)生復(fù)述公式推導(dǎo)過程，好像是重視過程，但過分地簡單化（背“過程”），其實質(zhì)仍然是讓學(xué)生進行機械記憶。

我的做法是，讓孩子回答三個問題：

1. 你怎么想到用兩個相同的三角形來拼成一個平行四邊形？2. 公式中“底×高”表示什么？“底”、“高”是誰的底，誰的高？3. 公式中為什么要“除以2”？……

我們相信：這樣引導(dǎo)學(xué)生反思，更容易讓數(shù)學(xué)模型內(nèi)化。

三、 變換情境，提升學(xué)生數(shù)學(xué)模型一般性認知

讓孩子參與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的歷程，比讓學(xué)生死板地去套用公式解決問題更要緊。所以，我在孩子推導(dǎo)出三角形面積計算公式后，并不急于讓學(xué)生記住公式，而是讓學(xué)生在改變情境中，多次去再行推出三角形面積計算公式。

（一） 讓孩子拿出課前發(fā)的每個人的一個三角形。問；“如何找出和它同樣的三角形？”學(xué)生都想到再剪一個完全一樣的三角形……（二）老師拿出事先做好的一個大木質(zhì)三角板，問學(xué)生：你能很快找到和它完全相同的三角形，從而拼成一個平行四邊形嗎？生1：再做一個。生2：再做一個，太麻煩，在它一旁畫一個完全相同的……（三）出示一個三角形的圖，問學(xué)生：你能找到一個和它相同的三角形嗎？ 生1：在左邊畫一個和它相同的三角形……（四）出示一個三面被水圍著的三角形田塊。問：如何找到一個和它相同的三角形，并拼成一個大平行四邊形呢？生1：在左邊畫一個和它一模一樣的三角形……生2：在右邊畫一個和它完全一樣的三角形……生3：畫太麻煩，可以在腦中想一個和它一樣的一個三角形……

小學(xué)生通過上面這個環(huán)節(jié)的操作、思考、討論交流，他們更全面體會到：不論是紙片、木板、圖形、田塊三角形，都能找到和它完全相同一個三角形來和它拼成一個大平行四邊形，然后再求平行四邊形的面積，再除以2……

四、 縱橫貫通，提升學(xué)生數(shù)學(xué)模型運用時空

利用一定量的訓(xùn)練，讓小學(xué)生記著三角形的面積計算公式是必要的，而讓孩子獲得建構(gòu)三角形面積計算公式的思想，解決學(xué)生身邊的問題更重要。

我先讓孩子利用學(xué)習(xí)到的三角形面積計算公式解決一些生活中的數(shù)學(xué)問題，在讓學(xué)生設(shè)計解決“一粒米的質(zhì)量和測量”后，讓學(xué)生討論：測量三角形面積與測量一粒米重量有什么相同之處？有什么不同之處？讓學(xué)生意識到：當(dāng)一個東西的量太小不容易測量時，可以考慮先測出這樣2個或多個東西的總量，再求一個東西的數(shù)量……不同地方有：1. 質(zhì)量、面積不同；2. 測量工具不同：秤、直尺……

通過拓展思考、設(shè)計、操作等活動，不但能加深三角形面積計算公式的理解，更能讓這種數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵得到發(fā)展和豐富。

作者簡介：

魏宏，江蘇省新沂市，新沂市春華小學(xué)。endprint