拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的運(yùn)用

陳海文

【摘要】現(xiàn)代化的高等數(shù)學(xué)教育，不僅在難度上較高，同時(shí)在落實(shí)的過程中，要充分考慮到不同定理所代表的意義，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)、應(yīng)用的過程中，盡量通過合理方法來完成，這樣才能在多項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握、利用上，盡量得到良好的成績(jī).文章針對(duì)拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的運(yùn)用展開討論，并提出合理化建議.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理；函數(shù)；極限運(yùn)算；運(yùn)用

一、拉格朗日中值定理概念

簡(jiǎn)單而言，拉格朗日中值定理也被稱為拉式定理，是微分學(xué)中的基本定理內(nèi)容.拉格朗日中值定理的出現(xiàn)，充分反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率，以及與區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系.在研究拉格朗日中值定理的過程中，認(rèn)為該定理的出現(xiàn)，主要是羅爾中值定理的推廣部分，同時(shí)也可以作為柯西中值定理的特殊情況來看待，在一階展開以后，能夠看作是泰勒公式的弱形式.

二、定理表述

就拉格朗日中值定理本身而言，其在函數(shù)極限計(jì)算應(yīng)用的過程中，需要對(duì)定理本身的表述充分的清楚，盡量通過合理的手段與方法進(jìn)行操作，幫助學(xué)生更好地理解定理，將定理的熟練運(yùn)用更好地提升.在定理表述過程中：如果函數(shù)f（x）滿足以下兩種條件，即在閉區(qū)間[a，b]上保持為連續(xù)的狀態(tài)；在開區(qū)間（a，b）當(dāng)中，能夠保持在可導(dǎo)的狀態(tài).那么，根據(jù)定理的內(nèi)容，認(rèn)為在開區(qū)間的（a，b）當(dāng)中，至少會(huì)存在一點(diǎn)ξ，ξ的定義范圍表現(xiàn)在（a<ξ

三、拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運(yùn)算中的運(yùn)用

函數(shù)極限運(yùn)算在開展的過程中，自身所表現(xiàn)出的難度是比較高的，我們想要在運(yùn)算的過程中得到準(zhǔn)確的結(jié)果，或者是在運(yùn)算的過程中不出現(xiàn)嚴(yán)重的差錯(cuò)，都應(yīng)該將拉格朗日中值定理進(jìn)行科學(xué)運(yùn)用，要讓兩者在共同融合以后，取得較好的計(jì)算成果.例如，在計(jì)算 limx→0ex-esinxx-sinx的過程中.需要首先對(duì)這個(gè)題目開展分析.在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，該題目是比較典型的內(nèi)容，有助于對(duì)拉格朗日中值定理更好的理解，同時(shí)對(duì)于函數(shù)極限運(yùn)算的鞏固，也能夠產(chǎn)生較大的積極作用.對(duì)于一般的思維理解而言，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)該題目，主要求得的內(nèi)容在于極限函數(shù)是“00”型未定式，此時(shí)可以想到應(yīng)用羅比達(dá)法進(jìn)行解答問題.具體的解答方法如下：

limx→0ex-esinxx-sinx

=limx→0ex-esinxcosx1-cosx

=limx→0ex-esinxcos2x+esinxsinxsinx

=limx→0ex-esinxcos3x+2esinxcosxsinx+esinxcosxsinx+esinxcosxcosx

=1.

從傳統(tǒng)的解答方法來看，函數(shù)極限運(yùn)算的過程中，發(fā)現(xiàn) limx→0ex-esinxx-sinx的類型，隸屬于f（b）-f（a）b-a的形式.

分析認(rèn)為，拉格朗日中值定理在解答的過程中，會(huì)利用f（x）=ex的條件限定，很容易得到該函數(shù)在區(qū)間[x，sinx]當(dāng)中，可以充分滿足拉式定理的條件，由此在計(jì)算以后得到以下內(nèi)容：

ex-esinx=f（x）-f（sinx）=（x-sinx）f′（sinx+θ（x-sinx））（0<θ<1），即

ex-esinxx-sinx=f′（sinx+θ（x-sinx））（0<θ<1）.

∵f′（x）=ex連續(xù)，

∴l(xiāng)imx→0f′（sinx+θ（x-sinx））=f′（0）=1，

從而有 limx→0ex-esinxx-sinx=1.

對(duì)于兩種不同的解答方法進(jìn)行分析以后，很多學(xué)生都可以了解到，拉格朗日中值定理在運(yùn)用的過程中，能夠?qū)鹘y(tǒng)運(yùn)算方法的部分內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)的省略，相對(duì)于傳統(tǒng)的解答方法，運(yùn)用拉式定理來進(jìn)行解答，能夠得到更加簡(jiǎn)便的效果.

四、拉格朗日中值定理的意義分析

高等數(shù)學(xué)體系當(dāng)中，函數(shù)極限運(yùn)算是非常重要的組成部分，同時(shí)對(duì)于學(xué)生其他知識(shí)的學(xué)習(xí)，也有很大的積極作用.我們?cè)趹?yīng)用拉格朗日中值定理來開展函數(shù)極限運(yùn)算的過程中，需要對(duì)該定理的意義進(jìn)行深刻的分析，然后找準(zhǔn)不同的意義方向，進(jìn)而在函數(shù)極限運(yùn)算的過程中，盡量得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果.

五、總 結(jié)

本文對(duì)拉格朗日中值定理在函數(shù)計(jì)算運(yùn)算中的運(yùn)用展開討論，現(xiàn)階段的函數(shù)極限運(yùn)算教學(xué)中，對(duì)于拉格朗日中值定理的應(yīng)用是比較重視的，因此，在高等數(shù)學(xué)的教育水平上獲得了較大的提升.日后，應(yīng)繼續(xù)在各項(xiàng)定理的學(xué)習(xí)上，與函數(shù)知識(shí)更好的結(jié)合，促使學(xué)生的知識(shí)體系建立，表現(xiàn)為更高的健全特點(diǎn).值得注意的是，在拉格朗日中值定理的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該加強(qiáng)與其他方法的對(duì)比分析，促使對(duì)定理的理解更加透徹.

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