HPM視角下的初等數論緒論課教學設計

杜先存+李玉龍+楊慧章

摘要：從HPM的視角研究了關于初等數論緒論課的課堂教學設計。首先從初等數論的課程價值及教學現狀出發，介紹了初等數論的主要內容及學科發展簡史。其次，簡單介紹了幾個重要數論難題，了解這些難題的研究狀況。最后，通過數學名著及相關人物，介紹了我國古代數學的偉大成就及國外古代數學的成果，讓數學史料融入初等數論的教學中，使學生能從整體上對初等數論有個初步認識。

關鍵詞：HPM；數學史；初等數論；數學教學

一、 引言

初等數論以整除為基礎，研究整數性質和方程（組）整數解，是近代數學中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。初等數論課程是我校小學教育（理科方向）和數學教育專業的專業必修課，學生通過本課程中基礎知識的學習，掌握初等數論的基礎內容，即算術基本理論和最大公約數理論；掌握初等數論的核心，即同余理論的基本知識；并能運用整除理論和同余理論來求解幾類最基本的不定方程；掌握連分數等有關概念和性質及其應用；通過觀察、實驗、猜測、分析、計算、推理等學習活動，發展學生的演繹推理能力，體會數學的基本思想和思維方式；了解初等數論的價值，為學生以后繼續學習數論或從事教學工作打下基礎。然而，初等數論教材重在闡述數論理論知識的結果，忽視介紹知識的背景、發生與形成過程，某種意義上影響了該課程的教學質量。

針對初等數論課程的性質，在緒論課中結合數學史知識，在HPM的視角下進行緒論課的教學設計，HPM視角下的緒論課教學的目的在于將初等數學與數學史等其他知識銜接起來，盡量消除數學教學的枯燥性，提高學生學習的積極性，讓學生體驗初等數論的價值，進而增強學生的使命感和目標感，吸引更多的學生熱愛數學，變被動學習為主動學習。HPM指的是數學史與數學教育的關系，其研究的最終目標是提高數學教育水平，具體方法是通過在數學教學中恰當地運用數學史。

二、 初等數論的主要內容

1. 整除理論：整除理論是數論中最重要的基本內容。本章首先簡要介紹自然數與數學歸納法，然后引進整除的概念，利用帶余除法和輾轉相除法這兩個工具，建立最大公約數與最小公倍數的理論，進一步研究素數的基本性質和極具重要性的算術基本定理。這一理論的主要成果有：算術基本定理、數的十進制、高斯函數、費馬數、梅森數、完全數等。

2. 同余理論：同余是初等數論的又一基本概念。同余概念的引入，使許多數論問題的討論得到簡化，極大地豐富了數論內容，因而同余在數論中占有極為重要的地位.涉及內容有同余及其基本性質，剩余類與剩余系，歐拉定理和費馬定理及其在循環小數和公開密鑰問題上的應用。

3. 不定方程：不定方程是數論中的一個古老分支，它有悠久的歷史與豐富的內容.古希臘數學家丟番圖于3世紀初就研究過這樣的方程，所以不定方程又稱丟番圖方程.但實際上，我國對不定方程的研究從勾股方程的商高定理和費馬大定理等低次代數曲線對應的不定方程已經延續了數千年。

4. 連分數理論：引入了連分數概念和算法等等。特別是研究了整數平方根的連分數展開。主要成果：循環連分數展開、最佳逼近問題等。

三、 初等數論的發展簡史

對數的崇拜和好奇是促使人們去研究數的原始推動力，這樣一門以整數的結構和性質為研究對象的學科也就誕生了，這就是數論。目前大多數人大致贊同數論的研究在內容上是從數的可約性開始的。若“可約”，則它是一個整除性問題；若“不可約”，則為余數問題。因此，整除理論被稱為是數論中最古老的內容。早在兩千多年前的古希臘歐幾里德的《幾何原本》中論述了數論的知識，例如歐幾里得證明了質數個數是無限的，提出了求最大公約數的方法（即所謂歐幾里得算法）。我國古代在數論方面取得過輝煌的成就，現在一般數論書中被稱為“中國剩余定理”的孫子定理就起源于我國古代《孫子算經》（約公元400年）中的下卷第26題。

初等數論從早期發展起來后的近兩千年時間里，發展幾乎停滯不前，直到15世紀，費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等作了初等數論的研究工作，特別是德國數學家高斯在前人研究的基礎上，發表了著作《算術探究》，在研究整數性質過程中引進并推廣了統一的符號，提出了同余理論，發現了二次互反律，開始了現代數論的新紀元。

自二十世紀以來，由于現代信息技術的發展以及抽象數學和高等分析的應用，進一步促進了數論的發展，并出現了代數數論、解析數論、幾何數論等新的研究分支，開拓了應用范圍，如在計算機科學、組合數學、代數編碼、計算方法等領域內都得到了廣泛的應用。

四、 幾個著名的數論難題

歷史上遺留下來沒有解決的數論難題主要有：哥德巴赫猜想；費爾馬大定理；孿生素數問題；完全數問題等。

1. 哥德巴赫猜想：1742年德國人哥德巴赫提出了任何不小于6的偶數均可表示為不同的兩個奇質數之和（所謂的1+1）的猜想。后人稱之為”哥德巴赫猜想”，此猜想表述簡單，但證明的難度遠遠超出人們的想象，比喻為“數學王冠上的明珠”。1900年德國大數學家希爾伯特在國際數學會議上將“哥德巴赫猜想”列為第8個問題（23個數學難題）的一部分。1973年中國數學家陳景潤用自己提出的方法證明了命題（1+2），即：一個足夠大的偶數可以表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和，在世界數學界引起了強烈反響，這就是著名的“陳氏定理”。

2. 費爾馬大定理：費馬大定理又稱費馬最后的定理，由法國數學家費馬于1637年前后提出，費馬在閱讀丟番圖《算術》時在第Ⅱ卷第八命題旁寫道：“一個立方不可能寫成兩個立方的和，一個四方不可能寫成兩個四方的和。一般地，每個大于2的冪不可能寫成兩個同次冪的和。”現在的表述方法為：“方程xn+yn=zn（n≥3）無非零整數解。”

該數論難題由英國數學家Andrew Wiles于1994年攻克。

3. 孿生素數猜想：存在無窮多個素數p，使得p+2也是素數。素數對（p，p+2）稱為孿生素數。1849年法國數學Alphonse de Polignac 提出猜想：對于任何偶數2k，存在無窮多組以2k為間隔的素數。對于k=1，這就是孿生素數猜想，而k等于其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想。2013年5月，華人數學家張益唐在孿生素數研究方面所取得的突破性進展，他證明了孿生素數猜想的一個弱化形式。endprint

4. 完全數問題：完美數又稱為完全數，最初是由畢達哥拉斯的信徒發現的，他們注意到，數6有一個特性，它等于它自己的因子（不包括它自身）的和，如：6=1+2+3。下一個具有同樣性質的數是28，28=1+2+4+7+14。接著是496和8128。他們稱這類數為完美數。

歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了：若2n-1是素數，則2n-1（2n-1）是完全數。目前已發現的完全數都是偶完全數，有沒有奇完全數至今尚無定論。

五、 我國古代數學的偉大成就

1. 周髀算經：《周髀算經》成書不晚于公元前2世紀西漢，是中國古代完整地流傳至今最早的一部天算著作。大約從東漢末期開始，人們已經把這部書當成是專門論述中國古代三大宇宙學說之一——蓋天說的理論著作。主要成就為提出了著名勾股定理的一個特殊情況——“勾三股四弦五”，并將勾股定理應用于天文測量中。

2. 孫子算經：《孫子算經》原名《孫子算數》，作者名不詳，成書年代約為公元400年。現在傳本的《孫子算經》共上中下三卷。該書上卷是關于籌算法則的系統介紹，下卷則有著名的“物不知數”問題（西方數學史稱其為”中國剩余定理”），亦稱“孫子問題”，后發展為更一般的“大衍求一術”。

3. 算數書：《算數書》成書于公元前3世紀，是中國目前已發現的成書年代最早的算學著作，大約比現有傳本的《九章算術》還要早近200多年。《算數書》在內容、體例等方面對《九章算術》的產生有直接的影響。《算數書》是一本數學問題集，共有69個題名，完整的算題92個，單獨成題的6個。其主要成果為分數約分、加減乘除四則運算、比例等算術知識，也有面積公式、體積公式等幾何知識。

4. 九章算術：中國古代數學專著《九章算術》成書于東漢時期，全書共方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，涉及分數、面積體積、勾股定理等246個數學問題，問題后有相應解答。是中國古代數學體系形成的標志，自此，中國數學家，大多是以《九章算術》作為教材、范本開始學習和研究數學知識。《九章算術》以算籌為工具，以算法為主要內容，以應用問題集為形式，與古希臘數學完全不同的獨立體系。標志著中國傳統數學的知識體系已初步形成，其思想方法對我國古代數學產生了巨大的影響。

5. 海島算經：中國數學家劉徽注解經典數學名著《九章算術》之后附了一份問題集，后整理成《海島算經》，書中9題算例，涉及測高望遠及其計算問題。

六、 外國古代數學的豐碩成果

1. 萊因德紙草書：《萊因德紙草書》成書年代約為公元前1650年，是古埃及數學典籍，屬于世界上最古老的數學著作之一。紙草書主要講述了古埃及的乘除法、單位分數的用法，求圓面積問題及一些數學的實際應用等。

2. 幾何原本：古希臘數學家歐幾里得所著《幾何原本》成為古西方應用邏輯典范而影響深遠。該書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個命題。第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷是數論，分別有39、27、36個命題，也完全用幾何的方式敘述，第Ⅶ卷第1命題是歐幾里得輾轉運算法的出處。第Ⅸ卷第20命題是數論中的歐幾里得定理：素數的個數無窮多。

《幾何原本》從5個“不證自明的”公理和點、線等少數幾個原始定義出發，通過邏輯推理得出整個幾何體系，成為人類歷史上的科學杰作。

3. 算術：《算術》是古希臘數學家丟番圖的一部代數著作，成書于公元3世紀。《算術》是一本問題集，書中主要涉及一次或多次方程和二次不定方程代數問題以及數論方面的問題及解題方法，代表了古希臘代數思想的最高成就。該書丟番圖自稱共有13卷，但現僅存6卷，共有189題，幾乎一題一法，各不相同。并且，這部著作中引用了S、△r△、Kr等許多縮寫符號。17世紀法國數學家韋達正是在丟番圖縮寫代數的啟示下才做出了符號代數的貢獻。

4. 代數學：阿拉伯數學家花拉子米著作《代數學》，書中給出了一元二次方程的一般解法及幾何論證，引進了移項、合并同類項等代數運算，指出了二次方程無（實）根的條件等等。全書由三部分組成，分別講述了初等代數、實用算術問題和有關遺產繼承問題。全書不使用代數符號，而是用語言敘述。

5. 幾何學：法國數學家笛卡爾1637年出版著作《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》，其中一個附錄《幾何學》共分三編，提出了方程和曲線的思想，《幾何學》也成為了解析幾何經典之作而被人們所接受。

6. 幾何基礎：德國數學家希爾伯特1899年出版著作《幾何基礎》，從此奠定了現代公理化方法。

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作者簡介：杜先存，李玉龍，云南省蒙自市，紅河學院教師教育學院；

楊慧章，云南省蒙自市，紅河學院數學學院。endprint