縱橫聯系：結構化處理教學內容*——“單元”視角下的“拋物線的標準方程”教學設計

☉華東師范大學第二附屬中學 任念兵

數學理解的本質就是數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系.每節課的內容都是整個數學學科知識網絡中的一個節點，教師只有樹立數學的整體觀，站在數學整體結構的高度來認識每節課的教學內容，才能設計出更加有利于學生學習的教學環節，促進學生對數學的理解.

本文將闡述筆者對于“單元設計”的認識，以“圓錐曲線”的單元設計（中觀層面）為例，結合“拋物線的標準方程”一節課的教學設計，討論如何在每節課的教學設計中（微觀層面）落實單元整體設計的理念.

一、“單元”與“單元設計”概述

呂世虎教授指出，目前對于“單元”的理解主要有兩種：其一是現成教材中的章節，其二是根據教學內容在結構上的聯系等重新組合的“大單元”.在數學教育界，與“單元”類似的概念是“知識團”.史寧中教授認為，數學教育研究的基本研究單位是知識團，即具有明確邏輯關系的知識點的集合.知識團包括若干知識點（廣度），其中知識點分兩類：概念和命題，概念是研究的對象，命題是對象之間的關系.

所謂“單元設計”是指：在系統思維的指導下，從提升學生數學核心素養的角度出發，對教材中“具有某種內在關聯性”的內容進行分析、提煉、重組、整合為相對完整的教學單元，并在教學整體觀的指導下，將教學諸要素有序規劃，以優化教學效果的教學設計.

關于“單元設計”的具體方法，現有文獻討論了三種：其一，以核心數學知識為主線的主題類單元，比如三角函數、圓錐曲線等；其二，以數學思想方法為主線組織的專題類單元，比如數形結合思想、分類討論思想等；其三，以數學核心能力、數學核心素養為主線的素養（能力）類單元，比如直觀想象能力、邏輯推理能力等.前兩種方法在教學實踐中的可操作性較強，比如高三復習教學中就會專門設置數學思想方法的專題復習，而第三種方法在具體教學素材選擇和內容組織上難度很大，可操作性不強，學生數學核心素養的培養不可能通過一個單元或者一個專題一蹴而就，而應在每節課的教學中“潤物細無聲”地滲透.

筆者以為，除了通過章節大單元結構重組（比如函數內容的重新組合）、數學思想方法專題這兩種單元設計方法外，還可以數學核心概念為主線，將散落于教材中的相關知識點整合成專題類單元.比如，“距離”是數學核心概念，在復習課中可以設計一個單元，幫助學生理解“距離”概念的內涵與外延.學生在中學階段學習了各種“距離”概念，平面幾何中有“點到直線的距離”“平行線之間的距離”，立體幾何中有“點面距離”“線面距離”“面面距離”“異面直線間的距離”等等.各種“距離”概念字面定義都是特殊情況下的兩點距離，比如“點面距離”是點到平面的垂線段的長度.教師只有通過分析比較才能揭示概念的本質，這些距離概念的內涵就是“兩點距離的最小值”，一般而言，兩個點集之間的距離可以歸結為這兩個點集的元素之間距離的最小值.從概念外延角度看，球面距離和有向距離是“距離”概念常見的兩個外延.此前提及的距離的本質都是兩點之間的直線段長度，而球面距離則是球面上兩點沿著球面上的任意路徑中的曲線長度的最小值，前者對應著歐氏幾何，后者對應著球面幾何.有向距離通常用來判斷兩個點是否位于直線的同側.類似的核心概念還有“角”“運算”等等.

一般而言，以核心知識為主線的主題類單元（一章或幾章）比較適合新授課；以核心概念為主線和以思想方法為主線的專題類單元，比較適合復習課教學，尤其是高三總復習.

二、單元設計的“基本套路”與設計要點

章建躍博士指出，在中觀層面上應引導學生以數學概念的發生發展過程為載體，經歷完整的數學思考過程，從而掌握研究一個新的數學對象的“基本套路”，具體包括：明確研究的問題，獲得研究的對象，確定研究的內容，選取研究的方法，建構研究的過程，獲得研究結論等等.

研究數學對象的“基本套路”適合以核心數學知識為主線的主題類單元，比如圓錐曲線單元.考慮到橢圓、雙曲線和拋物線在研究方法和研究內容上的相似性，筆者以為，將它們與“直線”“圓”分離開來當作一個相對獨立的單元（圓錐曲線）進行整體設計比較妥當.

圓錐曲線單元設計的基本套路：定義（第一定義）—表示（標準方程）—劃分（按照建系方式不同）—性質（曲線中的要素及相關要素的相互關系）—特例—聯系（應用）.除了遵循數學研究的基本套路外，圓錐曲線的單元設計還應把握以下幾個設計要點：

第一，注重概念的統一.在滬教版教材中，圓錐曲線的第二定義現在已不作教學要求，因此在單元教學中應緊扣建立在“距離”基礎上的第一定義.在圓錐曲線教學之前，學生已經知道了到兩定點距離之比為定值（不為1）的點的軌跡是阿波羅尼斯圓，這相當于“除法”運算，由此自然聯想到：到兩定點距離之和（之差、之積）為定值的點的軌跡是什么圖形？這就建立起阿波羅尼斯圓、橢圓、雙曲線、卡西尼卵形線的內容聯系，四則運算在這里就是一種數學內在邏輯.當然，卡西尼卵形線可讓學生課外探究.研究了橢圓、雙曲線之后，可以引導學生從動點到“兩個定點”的距離遷移至動點到“一個定點、一條定直線”的距離，從而引出拋物線的概念.

第二，注重研究方法與研究結論的類比.利用方程來研究曲線的性質，是圓錐曲線性質研究的基本方法.在學完橢圓及其性質之后，完全可以類比橢圓的研究過程來研究雙曲線和拋物線，比如基本性質、直線與圓錐曲線的位置關系、光學性質等等.當然，類比既要關注對象之間的相似性，又要辨別對象之間的不同點.比如雙曲線具有漸近線、拋物線是無心曲線等，這分別是雙曲線、拋物線區別于其他圓錐曲線的特性所在.

第三，注重研究思路的剖析.教材中的每個課程單元或者主題模塊，都有相應的研究思路.比如，圓錐曲線性質的研究思路是整體性質→局部特征→與系統環境的關系.所謂“整體性質”，指圓錐曲線體現出的整體特征，包括對稱性、頂點、范圍等；所謂“局部特征”，指圓錐曲線相關要素體現出的特征，比如圓錐曲線上的點與焦點構成的線段（三角形）的性質等；所謂“與系統環境的關系”，指圓錐曲線與其他曲線的位置關系，最典型的問題是圓錐曲線與直線的位置關系，圓錐曲線中某些特殊弦的研究都可以歸入這類關系中.橢圓、雙曲線、拋物線性質的研究都遵循這樣的研究思路.

第四，注重與其他單元之間的聯系.圓錐曲線單元教學，除了不可避免地與直線、圓等解析幾何內容聯系緊密，還與初中的反比例函數、二次函數等內容聯系緊密.處理好反比例函數圖像與雙曲線、二次函數圖像與拋物線之間的關系，可以借助已有的知識儲備，加深對圓錐曲線知識和方法的理解，幫助學生構建前后聯系、層次分明的圓錐曲線認知結構.

按照上海市高中數學課程標準，圓錐曲線單元共安排8節新課，在單元設計的基本流程和四個原則的指導下，每節課都有各自的“使命”.下面的“拋物線的標準方程”課例就是在圓錐曲線單元設計思路下的微觀教學設計，體現了“拋物線的標準方程”在整個單元中的地位、該課時與單元內其他課時甚至其他單元之間的聯系.

三、單元設計視角下的微觀教學設計

在圓錐曲線單元設計的視角下，需要在概念統一、研究方法、研究思路、注重聯系等方面重新審視“拋物線的標準方程”的教學內容，結合學情分析，設置相應的教學目標.

首先是解析教學內容.“拋物線的標準方程”是滬教版高中數學課本第12章圓錐曲線第7節的內容，主要研究拋物線的定義和標準方程.本節課類比橢圓的研究思路，給出拋物線的定義，并用方程表示拋物線，為下節課“利用拋物線方程研究拋物線的性質”做準備.

拋物線的定義是拋物線的標準方程和性質研究的源泉，拋物線的標準方程是拋物線的“定量”表示，因此拋物線的定義和標準方程是本節課的教學重點.

其次是分析學情.學生在日常生活中對拋物線有一定的感性認知，已經學習了橢圓和雙曲線的方程，熟悉求曲線方程的一般步驟，具備一定的數形轉化的能力.由于學生在初中學習中，知道二次函數的圖像是拋物線，甚至把拋物線等同于開口向上（下）的二次函數圖像.在拋物線標準方程的推導過程中，應讓學生認識到建系方法的不同可以得到四種類型的拋物線標準方程，而二次函數的圖像（頂點平移到坐標原點后）只是其中的兩種類型.因此，統一對拋物線概念的認識，做好初高中知識的銜接，是本節課的教學難點.

最后是設置教學目標.根據上述分析，設置本節課的教學目標如下：

（1）理解拋物線的定義，掌握四種類型的拋物線的標準方程；

（2）會推導拋物線的標準方程，掌握拋物線標準方程y2=2px（p＞0）中p的幾何意義，在建系推導拋物線的標準方程的過程中體會數學的簡潔美；

（3）理解作為二次函數圖像的拋物線與從幾何角度定義的拋物線概念的聯系和本質統一.

下面是教學過程設計：

（一）回顧引入

師：橢圓和雙曲線是考慮“動點P到兩個定點F1、F2的距離|PF1|、|PF2|，通過（加、減）運算所得結果為定值”的點的軌跡.現在我們考慮動點P到一個定點F、一條定直線l的距離|PF|、d的關系.

問題1：考慮動點P到定點F、定直線l的距離|PF|、d，針對這兩個量可以研究哪些問題？

生：“比大小”“對兩個量進行運算”.

師：我們考慮使得|PF|=d相等的點P的軌跡.

【設計意圖】“距離”是幾何研究的核心概念，圓錐曲線的概念始終圍繞著“距離”展開.由“到兩個定點的距離”聯想“到定點和定直線的距離”，建立新知（拋物線）與舊知（橢圓、雙曲線）的聯系，可以自然地引入拋物線的定義.這里關注了圓錐曲線概念的統一.

師：（幾何畫板演示）平面內到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.

【設計意圖】在給出拋物線定義時，強調“F不在l上”（否則軌跡是過F且垂直于l的直線），幫助學生加深對拋物線定義的認識.

（二）探索新知

問題2：如何建立坐標系求拋物線的方程？

【設計意圖】求拋物線的方程，在如何建立坐標系的思考過程中，是可以發展學生的思維能力的，讓學生體會到數學求簡的精神.從本質上說，坐標系的選取是人為的，但不同的建系方法得到的曲線方程的繁簡程度不同.

由拋物線的定義易知，直線KF是曲線的對稱軸，故可選該直線為x軸，但對于原點的選取，學生可能有如下三種選擇：其一，以K為坐標原點；其二，以F為坐標原點；其三，以KF的中點為坐標原點.通過化簡方程，可以發現以KF的中點為坐標原點，所得到的拋物線的方程最為簡單.

另外，對參數p的分析，指出p是拋物線的“基本量”，還可以從極限角度說明定義中強調“F不在l上”的原因.

問題3：如果建系時，使焦點F分別在x軸負半軸上、y軸正半軸上、y軸負半軸上，即F坐標分別為猜想所得拋物線的方程分別是什么？y2=-2px（p＞0），x2=2py（p＞0），x2=-2py（p＞0）和y2=2px（p＞0）都叫做拋物線的標準方程.

【設計意圖】完整呈現由于建系不同而產生的拋物線標準方程的四種表示形式，限定了今后拋物線方程研究的對象——標準方程.

（三）知識應用

例1 根據下列條件寫出相應的拋物線的標準方程：

（1）焦點坐標為（0，-1）；

（3）經過點M（-2，-4）.

【設計意圖】通過例1鞏固對拋物線標準方程（式子結構）的理解.拋物線只有p一個基本量，在確定開口方向的前提下，僅需一個條件就能確定拋物線的標準方程.

例2 拋物線y2=x上一點M到焦點的距離為1，求點M的橫坐標.

【設計意圖】拋物線的定義和標準方程是拋物線的幾何和代數的兩種表示，根據具體問題，靈活選擇拋物線的表示形式，鞏固對拋物線的定義和標準方程兩者內在聯系的理解.

例3求拋物線y=ax2（a＞0）的焦點坐標、焦點到準線的距離.

【設計意圖】通過例3揭示初中、高中拋物線知識的內在聯系和本質統一.初中是從函數角度研究拋物線，關心的是函數的形式和系數；高中是從幾何角度（焦點和準線）引進拋物線及其方程的.

（四）課堂小結

（1）通過類比橢圓的定義，引入拋物線的定義；

（2）拋物線的標準方程刻畫了焦點和準線的位置，開口的方向和大小.求拋物線的標準方程就需要明確開口的方向和參數p的值；

（3）在推導拋物線方程的過程中，合理建系的原則是力圖方程形式最簡潔；

（4）二次函數的圖像是拋物線，與高中的拋物線的定義本質上是統一的.

【設計意圖】總結本節課的研究要點，勾勒出拋物線方程的本質（只有一個基本量p），梳理拋物線與橢圓、二次函數的聯系.

（五）課后探究

設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若F是△ABC的重心，求|FA|+|FB|+|FC|的值.

【設計意圖】鞏固對拋物線定義的理解，結合三角形重心的坐標公式，訓練學生綜合運用知識的能力.

在日常教學設計中，從單元教學的整體目標出發，統攬全局，自覺地將每一節課都置于所在單元、數學分支甚至整個中學數學課程的整體背景中，聯系該節課的上位知識和下位知識，結構化處理教學內容，構思“縱橫聯系”的微觀設計，是精細化研究教學設計、錘煉教學設計能力的重要法門.