談數(shù)學教學中數(shù)學文化的融入

施永法

摘 要：數(shù)學教學中，融入數(shù)學文化具有重要意義。課堂教學中，可從數(shù)學思想、數(shù)學史、數(shù)學美等角度融入數(shù)學文化。其中，數(shù)學思想是數(shù)學文化的核心，它對于促進學生數(shù)學思維能力發(fā)展具有重要作用；數(shù)學史和數(shù)學美是數(shù)學文化的重要組成部分，數(shù)學史是一部生動活動的發(fā)展史，數(shù)學美蘊含了數(shù)學知識別樣韻味，它們在激發(fā)學生興趣、領略先人智慧、賞析數(shù)學之美、啟迪學生思維中起著重要作用。

關鍵詞：數(shù)學文化 數(shù)學思想 數(shù)學史 數(shù)學美 基本不等式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）12-0-02

數(shù)學既富有理性精神，又富有人文精神；數(shù)學既是一種認知手段，又是一種技術工具。數(shù)學傳承著人類千百年來的智慧，是人類創(chuàng)造力和想象力的文化表達，是蘊含人類理性思維的認知范式，是人類解決人、自然、社會的關系的一項重要工具。數(shù)學正是歷經(jīng)歷史的發(fā)展蘊含古人智慧的內容，它包含了深刻而豐富的數(shù)學文化，所以，我們要在教學中深挖數(shù)學文化。

數(shù)學教學中，數(shù)學文化占據(jù)重要地位、具有重要意義，它有利于促進學生人文素養(yǎng)的提升，有利于形成學生良好的非智力品質結構，有利于促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，有利于提升數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，從而為學生一生的發(fā)展奠定良好基礎。所以數(shù)學教學中，應當有機地融入數(shù)學文化，實現(xiàn)數(shù)學文化在數(shù)學教學中的育人功能。何謂數(shù)學文化，不同的文獻有不同的解釋，但通常數(shù)學文化包含數(shù)學思想、數(shù)學史、數(shù)學美等多個方面的重要內容，這些方面在數(shù)學教學中具有重要意義。本文結合《基本不等式》第一課時教學，談談數(shù)學文化在數(shù)學教學中的融入。

一、融入數(shù)學思想，培養(yǎng)理性精神

數(shù)學思想是數(shù)學文化的核心，一定程度上，數(shù)學思想促進了數(shù)學文化的形成，正是數(shù)學思想的指引才促成了今日的數(shù)學發(fā)展。數(shù)學思想，在一定程度上表現(xiàn)為數(shù)學方法、數(shù)學觀點和數(shù)學精神等，它對于促進學生數(shù)學思維發(fā)展具有重要作用。數(shù)學思想方法源于數(shù)學知識和方法，而又高于數(shù)學知識和方法，是數(shù)學知識方法在更高層次上的抽象與概括，它為分析、處理和解決數(shù)學問題提供了解題思路和解題方法與策略。

基本不等式教學中，基本不等式的建構過程就是一個融入數(shù)學思想的過程。基本不等式的構建，首先是運用數(shù)形統(tǒng)一思想，通過數(shù)量關系刻畫幾何圖形，得到勾股定理；其次是運用放縮方法，借助于趙爽弦圖實現(xiàn)相等到不等，體現(xiàn)一種哲學認識觀。

通過對幾何圖像的觀察、研究與探索，從勾股定理到基本不等式，教學中可按六個步驟有序推進：（1）觀察趙爽“弦圖”（圖1所示），基于引導學生欣賞對稱美與和諧美的基礎上，分析“弦圖”構成：四個全等直角三角形和一個小正方形構成一個大正方形；（2）在幾何觀察基礎上，借助趙爽“弦圖”引導學生證明勾股定理：利用大正方形和四個直角三角形及小正方形的面積關系S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S三角形AEB，得，故；（3）由面積相等關系猜想不等關系，通過圖形構成觀察面積關系，有大正方形的面積大于等于四個直角三角形面積和，從而有；（4）結合幾何畫板動態(tài)展示不等式 中等號成立問題，加強學生直觀認知，易發(fā)現(xiàn)“”時等號成立；（5）進一步研究不等式“ ”的代數(shù)證明，容易想到作差法和放縮法，且放縮法架起了“相等”與“不等”的橋梁：，代數(shù)中蘊含幾何意義；（6）由“ ”猜想“時， ？ ”，引導學生應用替代思想，得，最后得到基本不等式：。

由上可見，基本不等式的提出、探索與證明經(jīng)歷了一個相對曲折的過程，但同時引領學生經(jīng)歷了概念生長的全過程，經(jīng)歷了數(shù)學思想的引領，特別是具有一種潛移默化的促進作用，利于促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。基本不等式的教學中，一方面滲透了“相等”到“不等”的哲學認識觀，數(shù)學關系中，常量與變量相互之間的相等和不等刻畫是一類重要關系問題，而基本不等式作為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)天然存在一對不等關系，值得我們品味探究，同時個正數(shù)的算術平均數(shù)也是大于等于這個正數(shù)的幾何平均數(shù)，具有普遍意義。另一方面，“數(shù)形結合”的研究數(shù)學問題是數(shù)學研究的一種重要方法，基本不等式教學中通過趙爽弦圖實現(xiàn)從形到數(shù)的探究是一個很好的研究切入點。

二、融入數(shù)學歷史，促進思維發(fā)展

數(shù)學史是數(shù)學文化的重要組成部分，對揭示數(shù)學概念、定理、公式等的來龍去脈，幫助學生理解數(shù)學知識具有不可忽視的意義和作用。數(shù)學史知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展是一個逐步積累的過程，其中不僅包含數(shù)學家的名人軼事，更包含數(shù)學思想、數(shù)學智慧和數(shù)學哲理。數(shù)學史經(jīng)典素材的引入有利于形成探究的課堂氣氛，有利于學生深刻理解知識本質，領略數(shù)學先輩們的靈感與努力，學習他們的經(jīng)驗，感悟他們的精神，增強自身解決問題能力。在現(xiàn)階段的新課程改革過程中，教師們表現(xiàn)出了對數(shù)學史知識極高的關注。

教學中有效融入數(shù)學史是一個值得研究的課題。融入數(shù)學史，筆者以為不僅包含融入數(shù)學故事和名人故事，還包含改造數(shù)學史知識啟迪學生智慧，借古思今，以古人智慧啟迪今人智慧，實現(xiàn)思維迸發(fā)。教學中，融入數(shù)學史有利于揭示數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，有利于引導學生體會數(shù)學知識形成的過程，有利于引導學生感悟數(shù)學家的精神。基本不等式的建構與證明中蘊含豐富的數(shù)學史，值得我們充分挖掘。

一是基本不等式的引入過程中，引用趙爽“弦圖”，蘊含數(shù)學文化。2002年第24屆國際數(shù)學家大會在北京召開，而大會會標，正是依據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設計的，趙爽“弦圖”給出了迄今為止勾股定理最早、最簡潔的證明。趙爽用割補方法證明幾何圖形所滿足的數(shù)量關系，構建了一個恒等式，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一樹立了一個良好典范，使世界數(shù)學家們無不贊嘆其思想之高超、方法之巧妙，被譽為世界上勾股定理證明之最。通過情境引發(fā)聯(lián)想，學生深切感受到我國數(shù)學科學的悠久歷史和深厚的文化底蘊，以及我國的數(shù)學成就對世界數(shù)學文明的影響和發(fā)展做出的卓越貢獻，激發(fā)學生喜歡數(shù)學、學好數(shù)學的熱情。

二是在學生感受幾何直觀與代數(shù)證明的緊密結合時，引出古人用“和差術”證明基本不等式的方法。2000多年前，生活在兩河流域的古巴比倫時期的人們利用“和差術”證明了基本不等式。教師啟迪學生思維，學生感悟古人智慧，一般的，對于正數(shù)，利用構造方法可得恒等式：、，兩式相乘有：，所以。利用構造，巧用平方差公式，放縮得證。簡單對稱的代數(shù)方法證明讓學生感受基本不等式的證明是歷史發(fā)展的產(chǎn)物，展示了人類智慧的結晶，再一次掀起讓學生對古人智慧的欽佩和折服，也為后續(xù)學習數(shù)學奠定了良好的數(shù)學德育目標。

那么具體如何在數(shù)學教學中有效應用數(shù)學史呢？文3對國內外已有的一些方法進行整合與改進，得到附加式、復制式、順應式和重構式四類，見表1。[3]顯而易見，這四種融入數(shù)學史的方式，其目標、水平和效果是有所差異的，教學中我們要根據(jù)教學實際，有效設計與應用數(shù)學史，以達到啟迪學生思維、激勵學生精神的目的。

（表1）

類別 描述 Tzanakis&Arcavi; Jankvist

附加式 展示有關的數(shù)學家圖片，講述逸聞趣事等，去掉后對教學內容沒有什么影響 直接運用法 啟發(fā)法

復制式 直接采用歷史上的數(shù)學問題、解法等 直接運用法 啟發(fā)法

順應式 根據(jù)歷史材料，編制數(shù)學問題 - -

重構式 借鑒或重構知識的發(fā)生、發(fā)展歷史 間接運用法 基于歷史法

三、融入數(shù)學之美 感悟數(shù)學真善

數(shù)學美是數(shù)學的重要一項內容，也是數(shù)學文化的重要組成部分。法國著名科學家、哲學家龐加萊較為詳盡地論述了“數(shù)學美”和“數(shù)學直覺”在數(shù)學發(fā)現(xiàn)和學習中的作用，指出：“數(shù)學的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學的雅致感，這是一切真正的數(shù)學家都知道的審美感……缺乏這種審美感的人永遠不會成為真正的創(chuàng)造者”。所以，教學中，要融入數(shù)學美，在欣賞數(shù)學美的過程中激發(fā)學生靈感，激發(fā)學生學習欲望。

數(shù)學中的美一般包含四類：簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美、奇異美。在此，筆者認為，數(shù)學美包含數(shù)學的外在美與內在美。外在美，指數(shù)學中能直觀感知的美，就是通常所說的數(shù)學的簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美、奇異美等。內在美，指由數(shù)學思維特點所決定的邏輯美與意境美，就是通常所說的理性美、方法美等。在教學過程中，應注重引導學生賞析數(shù)學之美，滲透美學教育，并利用數(shù)學之美讓學生感悟數(shù)學的人文與歷史。

1.欣賞外在美

基本不等式教學中，有多個角度值得我們欣賞數(shù)學的外在美。一是品味趙爽“弦圖”的對稱美與和諧美，四個全等直角三角形與一個小正方恰好構成一個大正方形，圖形對稱優(yōu)美，又蘊含一些美妙結論。二是品味基本不等式的簡潔性與對稱性，兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)天然的存在一種不等關系，且基本不等式簡單、優(yōu)美、樸素、簡潔的外表下又具有一種神奇的力量，能夠巧妙解決一些最值問題等。三是品味數(shù)形統(tǒng)一的美，如基本不等式的幾何解釋：“圓內半弦長小于等于半徑長”等，數(shù)形統(tǒng)一、簡潔優(yōu)美。

2.品味內在美

羅素說：“數(shù)學具有一種至高無上的冷峻之美”，而這種美最本質該是數(shù)學的理性美，這也正是數(shù)學的內在美，教學中，要充分挖掘數(shù)學的理性美與方法美。而挖掘數(shù)學的理性美與方法美，就要求我們教學中要理解知識本質，刪繁就簡，深入淺出，啟迪學生數(shù)學思維，不要使學生陷入于題海之中。所以，基本不等式教學第一課時中，筆者通過變式教學，呈現(xiàn)問題的發(fā)展變化，使學生明白知識的來龍去脈，實現(xiàn)基本不等式的簡單應用。

例1.求函數(shù)的最小值.

變式1.求函數(shù)的最小值.

變式2.求函數(shù)的最小值.

例2.若且滿足ab=1，（1）求的最小值；（2）求的最小值.

變式1.若且滿足，求ab的最大值.

變式2.若且滿足，求ab的最大值.

基本不等式的學習，很重要的一個方面是應用基本不等式解決相關問題。例1和變式1的設計引導學生直接應用基本不等式解決最值問題；變式2一般學生容易得到：，此時教師可從兩方面引導學生思考：（1）“”的不等關系是否成立；（2）“”是否是一個定值。針對思考（1）可用幾何畫板展示兩個函數(shù)圖像，肯定不等關系成立；針對思考（2）學生容易確認“”

不是一個定值，故需要構造解決求最值。例2則體現(xiàn)了基本不等式的應用從“一元”到“二元”的過程，既可用基本不等式直接求最值，也可用消元法解決。例2與其變式，又分別呈現(xiàn)了“積定和有最小值”與“和定積有最大值”的模式識別，引導學生進總結歸納。

數(shù)學文化融入數(shù)學教學，具有重要意義，不僅體現(xiàn)數(shù)學學科特色，更能實現(xiàn)數(shù)學教學中數(shù)學育人中的特殊價值。數(shù)學思想是數(shù)學文化的核心，可以說數(shù)學思想是數(shù)學發(fā)展的文化根基，它對于促進學生數(shù)學思維能力發(fā)展具有極其重要的作用；數(shù)學史和數(shù)學美是數(shù)學文化的重要組成部分，數(shù)學史是一部生動活動的發(fā)展史，它包含了數(shù)學形成發(fā)展的過程和數(shù)學先輩們的智慧，數(shù)學美蘊含了數(shù)學知識的別樣韻味，它們在激發(fā)學生興趣、引導學生賞析數(shù)學、啟迪學生思維中起著重要作用。所以，每位數(shù)學教育工作者，都應當從數(shù)學文化的角度開展數(shù)學教學工作。

參考文獻：

[1]張維忠.文化是促進學生理解的載體[J].中國教育報.2009-03-06（6）.

[2]史寧中.漫談數(shù)學的基本思想[J].中國大學教學.2011（7）：9-11.

[3]吳駿，汪曉勤（2014）.數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐：他山之石[J].數(shù)學通報，2014（2）：13-16.