借助二次函數命制新定義試題的實踐與思考

☉浙江衢州市衢江區杜澤鎮初級中學 徐建兵

隨著課堂教學改革的進一步深入，作為評價機制的中考也在不斷變化，數學試題的內容和形式更加注重數學素養的考查.即學即用是學生自主學習能力與品質的體現，浙江省特級教師朱先東老師在2015年省中考命題培訓的學業考試質量評價中，就試卷的導向性提到了“即學即用導向能力”.縱觀近年各地中考，新定義題屢屢出現在中考的關鍵題中，僅2016年浙江省就有衢州、舟山、臺州和寧波4個地區在關鍵題中出現新定義題，可見這種題的熱門程度.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程中.學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法.創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終.而自主學習是創新能力的有效保障，因此中考中需要借助某些題型，給學生一個從未接觸的新概念或新事物，要求學生現學現用，考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應變能力和創新能力，考查學生自主學習、主動探究的品質.函數圖像是一種特殊的圖形，它能把數、形和式有效地結合在一起，是一個非常好的命題素材，筆者在此談談借助二次函數命制新定義試題的幾點思考.

一、借助式子考查思維能力

例1 （2015年浙江·衢州卷第22題）小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數y=a1x2+b1x+c（1a1≠0，a1、b1、c1是常數）與y=a2x2+b2x+c（2a2≠0，a2、b2、c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”.求函數y=-x2+3x-2的“旋轉函數”.小明是這樣思考的：由函數y=-x2+3x-2可知a1=-1，b1=3，c1=-2，根據a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2、b2、c2，就能確定這個函數的“旋轉函數”.請參考小明的方法解決下面的問題：

（1）寫出函數y=-x2+3x-2的“旋轉函數”.

參考答案：（1）y=x2+3x+2.

（3）由已知得A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），則A（11，0）、B（1-4，0）、C（10，-2）.經過A1、B1、C1的二次函數的解析式為原函數的解析式為

由a1+a2=-得這兩個函數互為“旋轉函數”.

【題后思考】本題的命制思路是尋找自主學習素材，呈現思維過程，考查學生的即學即用能力.浙江省教育廳在浙教基〔2015〕36號文件《浙江省教育廳關于深化義務教育課程改革的指導意見》中提到：改革傳統低效的課堂教學模式，推進體現學科本質、促進學生自主學習的教學改革.自主學習能力已成為課堂教學中急需培養的學生能力之一，也是所有能力的基本保障.本題是2015年浙江省衢州市中考第22題，考題的位置決定了題型與難度.本題從二次函數的“式”著手，“式”的特殊性決定了形的“旋轉”性.從而引出“旋轉函數”的新定義，把二元一次方程組和乘方的知識融入其中，同時考查學生代數的推理能力.題中給出小明的思維過程，意在讓學生通過自主學習理解這一思考過程，在即學即用理解定義的同時考查學生的思維能力.

二、借助圖形考查學習能力

例2（2016年浙江·衢州調研卷第23題）我們把經過原點，頂點落在同一直線上的所有拋物線稱為這條直線的串頂拋物線.

（1）若y1=-x2+2x和y2=-x2+2x是直線y=kx+b的串頂拋物線，求出這條直線的函數表達式.

（2）證明經過原點的拋物線y=-mx2+2mx+m-2是直線y=2x的串頂拋物線.

（3）如圖1，所有拋物線是直線y=x+2的串頂拋物線，頂點A1、A2、A3、A4、…、An的橫坐標分別是1、2、3、4、…、n，嘗試用含n的代數式表示拋物線yn的函數表達式.

圖1

參考答案：（1）y1的頂點為（1，1），y2的頂點為（2，2）.設這條直線的表達式為y=kx+b.

（2）由y=-mx2+2mx+m-2經過原點，得m=2，則y=-2x2+4x，其頂點為（1，2）.點（1，2）在直線y=2x上，則拋物線y=-mx2+2mx+m-2是直線y=2x的串頂拋物線.

（3）yn的頂點坐標是A（nn，n+2），則

【題后思考】本題的命制思路是順應代數概念教學的過程，給學生一個從未接觸的新概念，要求學生現學現用，考查學生的閱讀理解能力、接受能力、應變能力，以及自主學習和主動探究的品質.在初中階段，概念教學分量很重，與小學相比，更加理性化，學生對概念的理解與應用便成了自主學習的一個重要內容，與上題相比，本題的設計都是圍繞著概念的理解，題中并未呈現解決問題的思維方法，相對難度會較大.第（1）題理解概念寫出例子，這也是概念教學中教師經常要求學生做的一件事.第（2）題理解概念進行證明，需要學生對概念有較好的理解，并能根據過原點（0，0）求出m的值，再根據m的值求出頂點坐標，該頂點在直線上從而得到證明，體現學生代數的推理能力.在課堂教學中，判定定理的出現都需要依托于概念進行推理，這也是順應概念教學的一個過程.第（3）題是概念的一種應用.三個問題的設問都是圍繞著概念教學的過程，它們的解決都要求學生對概念有較深的理解，并能利用概念解題，這就要求教師在課堂教學中不但要教給學生基礎知識、基本技能，還要注意培養學生的自主學習能力、知識遷移能力.要能夠依托學生的已有知識和生活經驗，為學生自覺接受新知識提供一個切入點，使新知識的生成與發展基于學生熟悉的某個情境，真正做到學生新知的自我構建，為學生的實踐運用與后續學習奠定基礎.

三、借助規律考查創新能力

例3 （2017年浙江·衢州適應性練習第23題）我們把經過原點，且頂點落在第一象限內同一條正比例函數圖像上的一組拋物線稱為關于這個正比例成串頂拋物線. 例如y1=-x2+2x的頂點的頂點（2，2）、y3=-1 3x2+2x的頂點（3，3）都在正比例函數y=x上，我們把和稱為關于正比例y=x成串頂拋物線.

（1）寫出兩支關于正比例y=2x成串頂拋物線的拋物線關系式及頂點坐標.

（2）若關于直線y=kx成串頂拋物線y=ax2+bx，觀察以上函數的二次項系數b和正比例函數的k，試猜想b與k之間的數量關系，并對自己的猜想進行證明.

參考答案：（1）y=-2x2+4x，頂點為（1，2），y=-x2+4x，頂點為（2，4）（答案不唯一，只要b=4，c=0即可）.

（2）猜想結論：b=2k.

證明：y=ax2+bx的頂點坐標為將其代入y=kx，得則b=2k.

【題后思考】本題的命制思路是構造定義，發現規律，進行猜想推理和應用.即學即用，考查學生合情推理和演繹推理的能力，以及學生的創造性思維.《標準》指出，義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性.數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能；培養學生的抽象思維和推理能力；培養學生的創新意識和實踐能力；能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎.本題在定義的構建時模仿了教材的代數定義，教材中對代數進行定義都需要一定的實例，這樣會使得定義更加規范，更容易被學生接受.本題與上題相比，側重點放在了合情推理與演繹推理上，第（1）問概念理解，通過概念寫出兩支關于正比例y=2x成串頂拋物線的拋物線關系式及頂點坐標，這與題干中的三個例子為第（2）問發現與猜想規律作好鋪墊.推理能力是數學中一個非常重要的能力，合情推理（包括類比與歸納）與演繹推理（包括計算）貫穿了數學的始終.猜想與證明體現了創新的品質.第（3）問是規律的應用.創新能力離不開大膽的猜想，不斷嘗試，不斷否定，不斷發現，這也正是命題組的命題目的之一.通過改編，從概念的理解到性質的探究和應用，體現新定義命題的一般模式.

《標準》指出：創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程中.學生是課堂教學的主體，教師是課堂教學的組織者、引導者和合作者，課堂教學的重心本應放在學生的學習和發展上，課堂中教師講得再好，脫離了學生的自主學習都是無效的.因此，在課堂中必須把課堂的主動權還給學生，把閱讀課本和思考解決問題的時間和空間留給學生，引導學生去探索發現，讓學生在自主探究的基礎上學會與人交流，在交流中獲得共贏.隨著課程改革在浙江的推進與落實，一線教師也越來越感覺到自己教學中一講到底的方法已不再適應現在的學生，都在努力嘗試尋找和實踐一種新的以學生為主體的教學方法，讓學生的學習成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，讓動手實踐、自主探索與合作交流同樣成為學習數學的一個重要方式，讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.作為評價的核心工具，中考試卷的內容和形式也必須進行變化，順應新的教學理念，考查學生自主學習的能力，即學即用體現過程性學習、即學即用順應概念教學和即學即用凸顯創新的品質.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.丁浩勇.一道新定義型試題的命制歷程與反思［J］.中學數學（下），2012（11）.

3.鄧文忠.中考新定義拋物線問題探析［J］.中學數學雜志，2015（2）.

4.陳麗君.巧解新定義題，提高數學發展力［J］.中學課程輔導·教學研究，2012（24）.

5.訾本鳳.中考數學新定義題型歸類探究［J］.理科考試研究，2013（2）.