高中二次函數解題中數學思想的運用

鄭健鋒

【摘要】高中數學是高中學習中重要的一門課程，也是有難度的一門學科，學生必須學習它，掌握它，為自己的成績增分。在所學知識中，二次函數是數學中最有難度的一個知識點，它貫穿數學的每一個知識，在數列、圓錐曲線、方程、不等式、三角函數以及指數函數中占有重要地位，因此學生要掌握好二次函數，為解決高中數學的題打下基礎。二次函數在高中階段數學學科知識中作用顯著，如果要學好二次函數，好的解題方法和思想是必須了解并學習的。通過學習二次函數的性質、定義、以及相關的案例，學生會了解和掌握二次函數的知識和解題技巧，本文筆者主要闡述數學思想對二次函數解題的運用。

【關鍵詞】二次函數 數學思想 解題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）02-0120-01

所謂二次函數，其實是一個二次多項式（或單項式）。它的基本表示形式為y=ax2+bx+c（a≠0）。高中二次函數的數學思想主要有數形結合、分類討論和函數性質等等，這些思想的運用為教師的教學提供了好的教學平臺，展示出二次函數的有趣性；而且學生可以接觸到不同的數學思想，通過學習這些思想學生能進一步的學好數學，以及不斷提升自己的能力。

一、數形結合思想運用

數形結合是解決二次函數的一個基本方法，它以數與形為最基本的研究對象，在一定條件下可以相互轉化。作為一種簡單的數學思想方法，數形結合大致可分為兩種情況：一是借助于數的精確性來闡明形的屬性，即“以數解形”；另一種是借助形的明了性來闡明數的某種聯系，即“以形輔數”。通過數形互補，使問題簡單化，具體化，變得明了透徹，從而輕松解決難題。

二、分類討論思想運用

分類討論是解決問題的一個邏輯方法，當遇到這幾種情況時一般采用分類討論，即：①方程中出現絕對值時，比如a>0需要分為a>0，a<0兩種情況等等。②當函數中存在參數的變化范圍，限制等等；③關于函數的變量取值范圍，單調性的討論等，還有函數的定義、公式的要求。把需要研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，化繁為簡，能夠有效提升學生的思維能力，從而解決難題。解決這類問題一定要知道步驟，首先分析問題，明白它的解題要點；其次仔細分析題意，知道解題步驟以及如何進行；最后就是一步一步寫出解題過程，要條理，禁止拖拉，簡明清晰。

例題：已知二次函數f（x）=-x2+2x+3，若x∈（t，t+1），將f（x）的最大值表示成關于t的函數g（t）。

解析： 該函數最大值與對稱軸有關，且開口向下，因此經過分析此題要分成三種情況求解，分別是在對稱軸左邊，在區間上，在對稱軸右邊。由題知f（x）=-x2+2x+3的對稱軸為x=1，①若t≥1，則函數在區間（t，t+1）上單調遞減，所以函數的最大值為x=t時的f（x）的值。這時把t帶入f（x）函數可求得函數在區間上的最大值，即：ymax=f（t）=-t2+2t+3；②若t+1≤1，則t≤0，這時函數在（t，t+1）上單調遞增，所以當x=t+1時，函數取得最大值，即：ymax=f（t+1）=-t2+4；③t<1

綜合得 -t2+2t+3 （t≥1）

g（t）=4 （0

-t2+4 （t≤0）

這道題用了分類討論的方法，可以看到這道題給出了參數的變化范圍，因此在解這道題時需要明白題目的要求和特點，然后掌握解題過程，一步一步分析解決。

三、化歸轉化思想運用

化歸與轉化思想就是借助函數性質、圖像、公式或已知條件加以轉化從而解決問題。運用的原則主要是化難為易、化生為熟，將函數問題簡單化，一一解決。例如函數中給出三個點A（0，-1），B（0，1），C（2，0）求函數的解析式；或者求一點是否在直線上等等一類問題。老師通過教育學生進行學習轉化思想，以求得解決，可以幫助學生提升成績，增加知識，也會為高考增分。

通過學習數學思想在二次函數中的實際應用，學生可以擴展自己的思維能力，提升邏輯思維，學會遇到問題時用不同角度解決，更重要的將為自己的高考加分，為自己的未來打下一個好基礎。二次函數中的數學思想是一個重要的思想方法，也可以用在不同的問題中，學生一定懂得并學會運用它，以此解決有關難題。

參考文獻：

[1]沈宏.高中數學中恒成立問題的解題策略.《讀與寫：教育教學刊》-2014

[2]王震.高中數學恒成立問題的解題策略探微.《中學數學》-2017