“數學分析”課程中數列極限與函數極限的教學探索

肖黎明

【摘要】極限理論是“數學分析”課程的基礎，也是“數學分析”課程教學中的重點和難點，本文根據作者多年講授“數學分析”課程的教學經驗，對數列極限的ε-N定義、函數極限的ε-M定義及ε-δ定義提出了自己的教學見解，愿與講授“數學分析”課程的其他教師分享彼此的教學體會.

【關鍵詞】教學探索；數列極限的ε-N定義；函數極限的ε-M定義；函數極限的ε-δ定義

【基金項目】廣東技術師范學院校級教研課題（項目號：57202020244；57202020118）.

一、引 言

“數學分析”課程研究的對象是函數，所用的方法是極限的方法，極限理論自然成為“數學分析”課程的基礎，而數列極限的ε-N定義、函數極限的ε-M定義及ε-δ定義是學生學習極限理論必須學習的內容，也是“數學分析”課程的重點和難點.本文將對數列極限的ε-N定義、函數極限的ε-M定義及ε-δ定義的教學做出相應的教學探索，與大家分享自己多年的教學體會.

數列極限的ε-N定義、函數極限的ε-M定義及ε-δ定義是“數學分析”課程的重點和難點，也是“數學分析”課程中的重要基礎，學生必須通過這一關才能更好地學習“數學分析”課程中其他教學內容.如何破解學生學習數列極限ε-N定義、函數極限的ε-M定義及ε-δ定義的困難是所有“數學分析”教師普遍關心的問題.下面首先對數列極限的ε-N定義的教學過程進行詳細的研討，然后對函數極限的ε-M定義及ε-δ定義進行討論.

二、數列極限ε-N定義的教學探索

（一）數列極限的描述性定義

考察數列1n，1+（-1）nn.對數列1n，由于當n越來越大時，1n越來越小，因此，可以想象當n→+∞時，1n的極限為0，即 limn→+∞1n=0.對數列1+（-1）nn，由于當n越來越大時，（-1）nn的絕對值（-1）nn=1n越來越小，可以想象當n→+∞時，數列（-1）nn的極限為0，因此，數列1+（-1）nn的極限為1.由上述兩個例子可引導出一般數列{an}當n→+∞時以常數a為極限的描述性定義.

數列極限的描述性定義：如果當n→+∞時，數列{an}越來越接近常數a，則稱常數a為數列{an}當n→+∞時的極限.

（二）數列極限的精確定義

按照前面數列極限的描述性定義，當n越來越大時，1+（-1）nn越來越接近于1，這句話只能意會，不能言傳，不是精確的數學定義.下面就如何從數列極限的描述性定義引導出數列極限的精確定義做進一步的討論.

兩個實數a與b之間的接近程度可以用兩個實數之差的絕對值|a-b|來度量，|a-b|越小，a與b就越接近.對數列1+（-1）nn來說，由于1+（-1）nn-1=（-1）nn=1n，當n越大時，1n就越小，1+（-1）nn就越來越接近于1，只要n足夠大，1+（-1）nn-1=1n可小于事先任意給定的充分小的正數，如給定1100，欲使1n<1100，只要n>100，即從第101項起，能使不等式1+（-1）nn-1=1n<1100成立.同樣地，如果給定11 000，則從第1 001項起，能使不等式1+（-1）nn-1=1n<11 000成立.一般地，無論事先任意給定正數ε多么小，總存在著一個正整數N，當n>N時，不等式1+（-1）nn-1=1n<ε成立.這就是數列1+（-1）nn 當n→∞時越來越接近于1的實質，這時1稱為數列1+（-1）nn 當n→∞時的極限.從上述討論過程可誘導出數列極限的下述精確定義.

數列極限的精確定義：

設{an}為一數列，如果存在常數c，對事先任意給定的正數ε（無論ε多么小），總存在正整數N，當n>N時，不等式|an-c|<ε都成立，則稱當n→∞時數列{an}以常數c為極限.

（三）數列極限ε-N定義的幾何解釋

數列極限 limn→+∞an=c的精確定義為：ε>0，存在正整數N，當n>N時，|an-c|<ε，即c-ε0，存在正整數N，數列{an}落在ε-鄰域（c-ε，c+ε）之外的項最多為N項（如圖1所示）.

圖1 數列極限ε-N定義的幾何解釋

由此可得出數列極限 limn→+∞an=c的幾何定義：如果數列{an}和常數c滿足：ε>0，存在正整數N，數列{an}落在ε-鄰域（c-ε，c+ε）之外的項最多為N項，即數列{an}從N+1項開始以后所有的項都落在ε-鄰域（c-ε，c+ε）之中，則稱數列{an}當n→+∞時以常數c為極限.

（四）數列極限ε-N定義的否定形式

為加深理解數列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義，下面討論數列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義的否定形式.數列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義為：ε>0，存在正整數N，當n>N時，|an-c|<ε.將數列極限 limn→+∞an=c的ε-N語言反過來表述就得到數列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義的否定形式：ε>0，對任意正整數N，n>N，滿足|an-c|≥ε，則稱當n→+∞時數列{an}不以常數c為極限.

在課堂教學中應通過某些教學實例向學生進一步解釋數列極限的否定形式.

（五）數列極限ε-N定義的應用舉例

數列極限 limn→+∞an=c的精確定義或ε-N定義為：ε>0，存在正整數N，當n>N時，|an-c|<ε.為學生易于理解，在應用數列極限的ε-N定義討論具體數列極限問題時，常常是從不等式|an-c|<ε出發找N，先用分析法找出解決問題的思路，然后再用綜合法寫出整個證明過程，下面就用具體數列極限例子來說明這一點.

例1 證明： limn→+∞3n2n2-3=3.

分析 由于3n2n2-3-3=9n2-3=9（n-3）（n+3），當n≥3，n-3>1，3n2n2-3-3=9（n-3）（n+3）<9n+3<9n，ε>0，要3n2n2-3-3<ε，只需9n<ε，即n>9ε，從上面分析為了保證不等式n-3>1及n>9ε同時成立，取N=max9ε+1，3，于是用綜合法寫出整個證明過程如下：

ε>0，取N=max9ε+1，3，當n>N時，3n2n2-3-3=9n2-3<9n<ε，因此，limn→+∞3n2n2-3=3.

注：例1中學生不易理解為何取N=max9ε+1，3，這時要注意給學生強調這樣取N的目的是為了保證不等式n-3>1及n>9ε同時成立.

例2 證明： limn→+∞nn=1.

分析 令αn=nn-1，則αn≥0，nn=1+αn，

n=（1+αn）n=1+nαn+n（n-1）2α2n+…≥n（n-1）2α2n.

由此得0≤αn≤2n-1，n≥2.

ε>0，要|nn-1|=|αn|=αn<ε，只需2n-1<ε，

即n>2ε2+1，

因此，應取N=2ε2+1+1，由于N≥2，當n>N時，自然成立n≥2，將上述分析過程用綜合法寫出來如下：

ε>0，取N=2ε2+1+1，當n>N時，|nn-1|=αn≤2n-1<ε.由數列極限ε-N定義可得 limn→+∞nn=1.

注：例2中利用二項展開式找N的方法應注意向學生解釋，“數學分析”課程中數列極限一類問題都可以用該方法進行處理.

三、函數極限ε-M定義的教學探索

討論了數列極限ε-N定義之后，按教育心理學中知識遷移理論，應接著討論函數極限的ε-M定義，之后再討論函數極限的ε-δ定義，這是因為從數列極限ε-N定義到函數極限ε-M定義是近遷移，從數列極限ε-N定義到函數極限ε-δ定義是遠遷移，知識點之間近遷移容易，遠遷移困難.

（一）函數極限ε-M定義的描述性定義

下面以函數極限 limx→+∞f（x）為例加以討論，對函數極限 limx→-∞f（x）及 limx→∞f（x）也可類似地進行討論.考察函數f（x）=1x當x→+∞的變化情況.當x越來越大時，f（x）=1x就越來越小，可以想象當x→+∞時，函數f（x）=1x的極限為0.由此例子可引導出函數f（x）當x→+∞時以常數A為極限的描述性定義：如果當x→+∞時，函數f（x）越來越接近于常數A，則稱常數A為函數f（x）當x→+∞時的極限.

（二）函數極限ε-M定義的精確定義

下面就如何從函數極限的描述性定義引導出函數極限的精確定義做進一步討論.當x→+∞時，f（x）=1x就越來越接近于0，只是一種描述性語言，不是精確的數學定義，這里，當x→+∞時，f（x）=1x越來越接近于0，可用數學語言來表述.如，要1x-0=1x<110，只要x>10就可做到，要1x-0=1x<1100，只要x>100就可做到.ε>0，一般要1x-0=1x<ε，只要x>1ε就可做到.這樣就有函數f（x）當x→+∞時以常數A為極限的精確定義：f（x）為一函數，A為一常數，如果ε>0，M>0，當x>M時，|f（x）-A|<ε成立，則稱函數f（x）當x→+∞時以常數A為極限，記為 limx→+∞f（x）=A或f（x）→A（x→+∞）.

注1：函數極限精確定義中的可任意小的正數ε事先可任意給定，但給定就給定了（ε有相對穩定性），ε是可任意小的正數，ε的作用在于控制函數f（x）與常數A之間的距離|f（x）-A|使其任意小，即使函數f（x）越來越接近于常數A.

注2：ε>0，要使不等式|f（x）-A|<ε成立，自變量x必須大于某一正數M，一般來說，ε越小，M就越大，M常記為M=M（ε）.但對ε>0，使不等式|f（x）-A|<ε成立的M并不唯一.

（三）函數極限ε-M定義的幾何解釋（幾何定義）

函數極限 limx→+∞f（x）=A的精確定義為：ε>0，M>0，當x>M時，|f（x）-A|<ε成立，即A-ε0，M>0，當x>M時，函數y=f（x）的幾何圖像落在兩條直線y=A-ε與y=A+ε之間（如圖2所示）.

圖2 函數極限ε-M定義的幾何解釋

由此可得出函數極限 limx→+∞f（x）=A的如下幾何定義：如果函數y=f（x）與常數A滿足ε>0，M>0，當x>M時，函數y=f（x）的幾何圖像落在兩條直線y=A-ε與y=A+ε之間，則稱函數f（x）當x→+∞時以常數A為極限.

（四）函數極限ε-M定義的否定形式

為深刻理解函數極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定義，有必要討論函數極限 limx→+∞f（x）=A的否定形式.函數極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定義為：ε>0，M>0，當x>M時，成立|f（x）-A|<ε.將上述函數極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M語言反過來敘述就得到函數極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定義否定形式：ε>0，M>0，xM>M，滿足|f（xM）-A|≥ε，則稱函數f（x）當x→+∞時不以常數A為極限.

在課堂教學中需進一步用某些教學實例向學生解釋函數極限ε-M定義的否定形式.

（五）函數極限ε-M定義的應用實例

例1 證明： limx→+∞1x=0.

分析 因x→+∞，可設x>0，ε>0，要不等式1x-0=1|x|=1x<ε成立，只需x>1ε.用函數極限的ε-M定義寫出證明過程如下：ε>0，取M=1ε，當x>M時，1x-0=1|x|=1x<ε.因此， limx→+∞1x=0.

例2 證明： limx→+∞arctanx=π2

分析 ε>0，要不等式arctanx-π2<ε成立，即要不等式

π2-ε

成立，此不等式右半部分對任何x都成立，只要考察其左半部分x的變化范圍，因ε是事先任意給定的充分小正數，可限制ε<π2，從左邊不等式π2-ε

ε>0ε<π2，取M=tanπ2-ε，

當x>M時，即x>tanπ2-ε，

arctanx>π2-ε，π2+ε>arctanx>π2-ε，

ε>arctanx-π2>-ε，

|arctanx-π2|<ε.

因此，limx→+∞arctanx=π2.

四、函數極限ε-δ定義的教學探索

（一）函數極限ε-δ定義的描述性定義

考察函數f（x）=2x在x=1附近的變化情況，這里f（1）=2.對ε=110，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<110，只需|x-1|<120；

對ε=1100，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<1100，只需|x-1|<1200；

對ε=11 000，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<11 000，只需|x-1|<12 000.

一般地，對事先任意給定的充分小正數ε，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<ε，

只需|x-1|<ε2，即x越接近于1，f（x）=2x越接近于2.由此可引導出函數極限的ε-δ描述性定義：設函數f（x）在x0的某一去心鄰域內有定義，如果當x→x0時，函數f（x）越來越接近于某一常數A，則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的極限.

注：函數f（x）在x=x0處是否存在極限與函數f（x）在x=x0處是否有定義無關.

（二）函數極限ε-δ定義的精確定義

仍考察函數f（x）=2x在x=1附近的變化情況，對ε=1100，當自變量x滿足不等式|x-1|<1200時，不等式|2x-2|=2|x-1|<1100成立；對ε=11 000，

當自變量x滿足不等式|x-1|<12 000時，不等式|2x-2|=2|x-1|<11 000成立.由此可引導出函數極限ε-δ定義的精確定義：設函數y=f（x）在x0的某一去心鄰域內有定義，如果函數y=f（x）與常數A滿足：ε>0，δ>0，當0<|x-x0|<δ時，|f（x）-A|<ε，則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的極限.

注：上述定義中不等式0<|x-x0|<δ意味著函數y=f（x）在x0處可以無定義，即函數f（x）在x=x0處是否存在極限與函數f（x）在x=x0處是否有定義無關.

（三）函數極限ε-δ定義的幾何解釋（幾何定義）

函數極限 limx→x0f（x）=A的精確定義為：ε>0，δ>0，當0<|x-x0|<δ時，|f（x）-A|<ε.上述定義的幾何解釋為：ε>0，δ>0，當x0-δ

圖3 函數極限ε-δ定義的幾何解釋

由此可得出函數極限 limx→x0f（x）=A的幾何定義：ε>0，δ>0，當x0-δ

（四）函數極限ε-δ定義的否定形式

為深入理解函數極限 limx→x0f（x）=A的ε-δ定義，下面對函數極限ε-δ定義的否定形式加以討論.函數極限 limx→x0f（x）=A的ε-δ定義為：ε>0，δ>0，

當0<|x-x0|<δ時，|f（x）-A|<ε.將函數極限ε-δ定義的以上表述形式反過來敘述就得到函數極限ε-δ定義的否定形式：如果函數y=f（x）與常數A滿足ε>0，δ>0，xδ滿足0<|xδ-x0|<δ，但是|f（xδ）-A|≥ε，則稱當x→x0時函數y=f（x）不以常數A為極限.

（五）函數極限ε-δ定義的應用舉例

例1 證明： limx→23x=6.

分析 ε>0，找正數δ=？當0<|x-2|<δ時，|3x-6|<ε，即3|x-2|<ε，|x-2|<ε3.從上述分析過程應取δ=ε3，用綜合法寫出證明過程如下：ε>0，取δ=ε3，當0<|x-2|<δ時，|3x-6|=3|x-2|<ε.

因此， limx→23x=6.

例2 證明：limx→3x2=9.

分析 ε>0，找正數δ=？當0<|x-3|<δ時，

|x2-9|=|（x-3）（x+3）|=|x-3||x+3|<ε.

為找上述δ，首先在以3為中心，1為半徑的鄰域內考慮該問題，即限制|x-3|<1，從該不等式得到|x|-|3|≤|x-3|<1，由此不等式推出|x|<4（要使該不等式成立，x必須滿足|x-3|<1）.這時有|x2-9|=|x-3||x+3|≤|x-3|（|x|+3）<|x-3|（4+3）=7|x-3|，由7|x-3|<ε，得到|x-3|<ε7.為保證不等式|x-3|<1和|x-3|<ε7同時成立，應取δ=min1，ε7，用綜合法寫出證明過程如下：ε>0，取δ=min1，ε7，當0<|x-3|<δ時，

|x2-9|=|x-3||x+3|≤|x-3|（|x|+3）<|x-3|（4+3）=7|x-3|<ε.因此，limx→3x2=9.

注：在例2中，ε>0，為找合適的正數δ使當0<|x-3|<δ時，|x2-9|<ε成立.

首先在以3為中心，1為半徑的鄰域內考慮該問題，即限制|x-3|<1，從該不等式得到|x|-|3|≤|x-3|<1，由此不等式推出|x|<4，通過計算發現應取δ=min1，ε7，例2的方法對應用ε-δ定義討論一類函數極限問題具有一定代表性.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）：第6版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]高興佑，向長福.如何破解極限定義教學難題[J].數學教育學報，2011（5）：96-99.