淺談高數(shù)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和邏輯思維

摘要：高數(shù)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維與邏輯思維有重要意義，這也是新課程背景下高數(shù)教學(xué)的一個重要任務(wù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面是向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識，而更重要的是利用數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及解決實際問題的能力，以使學(xué)生的素質(zhì)得到全面提升，這對于他們將來的學(xué)習(xí)與工作有很大幫助。文章是從高數(shù)中相關(guān)定理的逆命題及逆否命題的理解與應(yīng)用的角度闡述了培養(yǎng)學(xué)生逆向思維與邏輯思維的途徑。

關(guān)鍵詞：高數(shù)；逆向思維；邏輯思維；培養(yǎng)

當(dāng)代社會是一個要求不斷創(chuàng)新的社會，在高數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維與邏輯思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與綜合素質(zhì)。高等數(shù)學(xué)中的許多定理的逆命題很多時候是偽命題，然而在數(shù)理邏輯理論上命題的逆否命題又是正確的。因此，高數(shù)教師通過講解逆命題與逆否命題的相關(guān)知識，對培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和邏輯思維有很重要的作用。

一、 概述高數(shù)中相關(guān)定理的逆命題與逆否命題對于培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要性

通常來說，從思考規(guī)律角度看思維包括了順向思維與逆向思維兩種，形象化地說順向思維是考慮問題的思維方式是由A到B，而逆向思維考慮問題的思維方式則是由B到A。在講解高數(shù)中的相關(guān)定理時，為了使學(xué)生對定理有更深刻的理解并更好地掌握，需要數(shù)學(xué)教師講解分析定理的逆命題與否命題的真?zhèn)涡约懊}成立的相關(guān)條件。這部分內(nèi)容本身就不好理解，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常容易混淆。因此學(xué)好定理的逆命題與否命題的相關(guān)知識，能夠有效提高學(xué)生的逆向思維與邏輯思維能力。

二、 通過理解、應(yīng)用高數(shù)中相關(guān)定理的逆否命題培養(yǎng)學(xué)生逆向思維與邏輯思維

從數(shù)理邏輯角度講，逆否命題與命題并沒有本質(zhì)上的區(qū)別，定理是正確的其逆否命題的正確性也是毋庸置疑的，因此在實際運用中不需要再證明定理的逆否命題。例如，如果數(shù)列xn是收斂的，它一定也是有界的，它的逆否命題則是如果該數(shù)列是無界的，它一定是發(fā)散的。由此可以看出，學(xué)生在了解定理的逆否命題后可以直接使用，不需要再證明其正確性。高數(shù)教師在教學(xué)的過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生在證明某些命題時多使用相關(guān)的逆否理論。例如，假設(shè)級數(shù)∑∞n=1xm是收斂的，就可以推導(dǎo)出limn→∞xm=0，那它的逆否定理就是如果limn→∞xm≠0，則級數(shù)∑∞n=1xm就是發(fā)散的；所以要證明級數(shù)∑∞m=1sinn是發(fā)散的，這時就可以通過它的逆否定理來證明，這是因為如果limn→∞sinm≠0，則必有級數(shù)∑∞m=1sinm發(fā)散的結(jié)論。高數(shù)教師在向?qū)W生講解某些原定理及其逆否定理的應(yīng)用的過程中就培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力。

但在某些情況下，有些定理的逆否命題看似不正確。例如，假設(shè)m小于0，那么方程y2+（2m+1）y+m=0的兩個實根肯定是不同的，它的逆否命題是如果方程y2+（2m+1）y+m=0沒有兩個不同的實根，那么m是大于等于0的。但是事實上如果方程y2+（2m+1）y+m=0沒有兩個不同的實根，Δ是小于0的，根據(jù)演算可以得出Δ=4m2>0，這與Δ是小于0是不是真的相互矛盾呢？由于方程y2+（2m+1）y+m=0沒有兩個不同的實根本身就是一個假命題，因此Δ是小于0的結(jié)論也是假的。因此，通過高數(shù)教學(xué)讓學(xué)生了解并掌握一定的數(shù)理邏輯知識是非常重要的，有利于學(xué)生更好地運用邏輯思維方式分析數(shù)學(xué)命題，在學(xué)好知識的同時邏輯思維能力得到有效提高。

三、 通過理解、應(yīng)用高數(shù)中相關(guān)定理的逆命題與否命題培養(yǎng)學(xué)生逆向思維與邏輯思維

通常而言，高數(shù)包括了可逆定理與不可逆定理等兩種定理。我們所使用的教材中給出了某些定理的逆定理，還有很多定理的可逆性教材中并沒有相關(guān)內(nèi)容。所以，高數(shù)教師也會常常提醒學(xué)生一定要注意定理逆命題的應(yīng)用，切不可隨意使用。證明高數(shù)命題的正確性是一個十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C過程，但是要證明某個命題是錯誤的就相對容易得多，只要有一個相反的例子就能推翻錯誤的結(jié)論。在高數(shù)中，有相當(dāng)一部分定理的逆命題都是偽命題。教師在講解相關(guān)定理內(nèi)容后，需要學(xué)生對其逆命題的正確性進行思考論證。例如，假設(shè)數(shù)列xm是收斂的，則可以推導(dǎo)出xm必是有界的；而它的逆命題則是：如果數(shù)列xm是有界的，則可以推導(dǎo)出xm必是收斂的，假設(shè)xm=sinn是有界的，事實上xm是發(fā)散的，因此逆命題是不成立的。高數(shù)教師在授課過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生進行反向思考，針對不成立的逆命題引導(dǎo)學(xué)生深入思考并找出相反的例子。通過進行反向思考，學(xué)生的思維潛力得以充分發(fā)揮，使學(xué)生的思維能力得以全面發(fā)展，同時學(xué)生在高數(shù)方面的能力也得到提升。

逆命題與命題的條件之間也存在一定的關(guān)系，即如果某定理的逆命題是成立的，則該定理的條件就是充分必要條件；從另一個角度分析，只有在某定理的條件是充分必要條件時，其逆命題才是成立的。從本質(zhì)上看，逆命題與否命題其實是等價的。因此，在研究高數(shù)中的逆命題時，有時從問題的反方向或否定的角度去思考反而更容易理解。在了解數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上，通過逆向思考加深對知識的理解，有利于更好地利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。

綜上所述，高數(shù)教師在教學(xué)過程中要重視對學(xué)生逆向思維與邏輯思維的培養(yǎng)，這也是新課程背景下對教師提出的一個重要要求。因此教師在授課過程中要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生進行反向或否定方面的思考，突破單項推理的思維模式，既可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，同時對于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和邏輯思維有重要作用。學(xué)生思維能力的不斷提升對于他們的全面發(fā)展有重要意義，學(xué)生只有具備較高的綜合素質(zhì)才能更好地服務(wù)于社會主義現(xiàn)代化建設(shè)。

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作者簡介：

苗俊嶺，副教授，廣東省中山市，中山開放大學(xué)。