寓美于教，構建高中數學“生本課堂”

蘭淋海

福建省古田縣玉田中學 (352200)

在教學實踐中發現，學生對于美的事物總是比較容易接受的.數學和所有美的事物都存在著一定的聯系，數學蘊含的美能夠帶給人們一種美的享受，能夠全面培養人們的思辨能力以及理性思維.數學不但是一種趣味的推理演算，而且數學還有著嚴密的辯證性和邏輯性、高度的抽象性以及廣泛的應用性等.從審美角度上看，數學中充滿著大量的美，教學中運用恰當將收到事半功倍的教學效果.因此，每位數學教師都要將數學美展示給學生，以期達到數學學習目標.

一、數學美在高中數學教學中的地位和作用

數學中蘊含著豐富的美.圖形的優美，計算公式的簡潔美就能直接給人以美的享受.數學方法的靈巧(簡潔、類比、歸納、靈活等)、數學思想的精煉與抽象、邏輯思維的嚴謹及數學與其它學科的多種聯系，等等，都無不呈現數學美的魅力！在高中數學教學中合理地挖掘和利用數學美的內容，符合新課標下“生本課堂”的要求，對于當前高中數學的教學改革將起到推動的作用.在新課標下，把數學美的欣賞同學生學習的態度情感、信心的培養有效結合起來，必然會對當前的高中數學教學起到“潤滑”的效果.總的來說，數學美在高中數學教學中占據著重要的地位，是一種全新的教學理念.

數學美在高中數學教學中具有重要的作用和意義，單就下面幾點可見一斑.

1.揭示數學美是學習高中數學的一種動力.

愛美之心人皆有之，學生對美的事物總是比較感興趣的.“培養學生的學習興趣是長期以來許多教育工作者普遍關注的一個話題.興趣是一種不竭的動力，它能激發人全身心地投入到一件事物當中而樂此不疲”.高中數學的內容是小學初中無可對比的，其廣度與深度的提升是質的飛躍.為了適應高中的學習需要，教師引導高中學生通過對于數學美的認識，領悟到數學美的真諦，激發起對于美的追求和欣賞，培養其學習數學知識的積極的情感行為，將學習轉化成為一種主動的行為，有利于激發學生努力學好高中數學.

2.數學美在高中數學教學中具有文化功能，體現在數學的精神觀.

數學美的文化功能是數學歷史發展中積淀下來的，具有繼承性和傳遞性，是一種經驗感受的累積.在高中數學教育中，引導高中生們感受數學美，能夠產生一種特殊的經驗，積累起良好的數學解題經驗，有助于推動對于數學知識的良好掌握.

3.“以美啟真”是數學美方法功能的核心.

運用美的思維啟發人們探索數學真理，運用美的方式去找尋數學規律、解答數學問題.高中生們通過對數學美的感悟，形成固定的數學思維方法，是當前高中數學教學的重要目標.

4.在新課標中，明確指出要在教學中構建起生本課堂，營造出美好的人文課堂環境.

在中學數學教學中，引入數學美恰恰是生本課堂的具體體現，有助于啟迪他們的智慧，開發出潛在的能動性和創造力，對于課堂教學有著非常重要的意義.學生通過追求數學美，發揮幾何想象能力，開創思維方向，增強創新能力；學生敢于打破思維定勢，另辟蹊徑，找到最佳解題方案.

二、“生本課堂”下的數學美

生本課堂要求“以學生的發展為本”，全面構建起和諧、美好的人文課堂.作為數學教師，要善于發掘數學中的美，加強數學的理性與感性的融合，積極地培養學生對于數學的審美意識，引導學生主動體會數學的美，從而提高學生數學學習的興趣.

1.數學內容和諧美

早在兩千多年前，畢達哥拉斯就提出了這樣的觀點：美是和諧與比例，這恰恰符合了數學當中的一些規律.在數學內容龐大的知識體系內部，數學的和諧美始終貫穿其中，具體體現在各個定理和定義以及數、式、形之間，多個知識塊之間既自成體系、互相獨立，又由于一定的邏輯關系而互相派生、互相貫通，具體體現為高度的和諧統一.以元素與集合的關系為例：x∈A?x?UA，x∈UA?x?A，??A≠?.這些公式之間不但體現出知識的結構美，更加蘊含著高度的和諧統一美，引導學生們發覺數學中的和諧美，能夠更好地幫助他們接受公式，幫助他們更好地記憶.

2.數學內容結構美

不同的數學問題之間往往存在著某種關聯，它們是能夠實現溝通及化歸的.在日常解答一些數學問題中，采用單一的常規方法往往難以有效解決，然而，充分地運用各種方法就能夠使得問題的條件以及結論在新的協調形式下實現互相溝通，將復雜問題簡單化，進而快速地解決問題.以下面這個數學題目為例.

已知函數f(x)滿足下面關系：①f(x+1)=f(x-1)；②當x∈[-1,1]時，f(x)=x2，則方程f(x)=lgx解的個數是( ).

A.5B.7C.9D.10.

解析：由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0，1]的函數.又f(x)=lgx，則x∈(0，10]，畫出兩函數圖像如圖1，則交點個數即為解的個數.由圖像可知共9個交點.故選C.

圖1

解題過程中遇到復雜函數(如指數、對數、根式、三角)討論方程解的個數，其基本解題途徑是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式，然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖像，圖像的交點個數即為方程解的個數.

上面這個例題是依照題目自身所呈現出的結構美而產生出解題思路，運用線段圖，結合相關的數學知識，讓高中生們欣賞到了問題的形式美，也由此產生出的數學美感激發起新的解題思路即常用的數形結合方法；運用不同的方法解答數學難題，開發出一種創造性的思維.

3.數學思維活力美

生本課堂教學的目標就是培養并拓展高中生的思維能力，提升數學素質.解答數學問題的過程中，就是將豐富的數學知識應用到現實世界中，培養起高中生們的探究能力，猜測及試驗解題思路的過程，高中生的數學思維能力能夠得到全面的發展.所以一個數學問題能夠成功地得到解決，需要運用數學思維，對問題實施解剖和分析，對豐富的數學知識進行總結歸納，由普遍性推向特殊性，或由特殊到一般，對于多種數學信息實施篩選、加工及構造，最后將知識連接起來，運用獨特的方法，構建起富有活力及生機的全新方法體系，是一種充滿活力的創造性思維過程，真正體現數學思維的活力美.例如，筆者在人教A版《數學必修3》的循環結構程序框圖教學中，引導學生設計1+2+…+100的程序框圖后，提出了以下變式：12+22+32+…+1002；2+4+6+…+200；1×2×3×…×100；④1+2+3+…+n.讓學生學會開動腦筋，由個案的循環結構的設計推廣到一類的設計，需要學生對循環體、變量的初始值以及控制循環條件作縝密的思考，最后到一般性的設計(n的未確定)需在終端框后增加輸入n的輸入框，學生的思維活躍了起來，對于布置的類似的循環結構的程序框圖：(n>2且n∈N),1×3×5×…×99等，學生躍躍欲試進行嘗試完成作業，思維火花迸發出光芒.

三、構建“生本課堂”，在高中數學教學中滲透數學美

“生本課堂”是新課標下對于教育提出的更高要求，是對全新教學理念的一種貫徹.在當前的高中數學教學中，要全面構建起人文和諧的課堂環境，不斷滲透數學美的理念，幫助高中生們感受到數學美的同時更好地掌握到豐富的數學知識.

1.展示凸顯外在美

在高中數學當中，外在美具體表現在一些數學概念、公式以及幾何圖形的簡單性、統一性、對稱性上，具有令人悅目的美.結合當前的教材及情境，積極發掘圖形的變換、圖形的性質，發現數學中的外在美.此外，生活當中的一些實物也體現出了數學外在美，如圓柱形筆筒，長方體紙盒，精致藝術品，宏偉建筑等等，都是數學中的一些幾何圖形和立方體.這些都是展開數學美教育的最好素材.

2.挖掘數學內在美

數學自身存在著內在美，具體表現為完備的體系、嚴謹的邏輯、奇異的思維、巧妙的解題方法、精髓的思想.數學的內在美令人賞心悅目.

在高中數學教育中，應當主動引導高中生感悟數學思想方法，領略數學方法和數學命題的美學價值；在具體的解題過程中，從多個角度找尋解答難題的方法，讓高中生們感受到數學方法的優美、靈活和精巧，充分地向他們展示出數學的內在美.

3.打造出美的教學情境

生本課堂最根本的要求就是打造出美的教學情境，讓學生們能夠在一個輕松的環境中自由地學習.美的教學情境包含物質環境和心理環境.物質環境比如整潔的教室環境，它們有助于高中生保持良好的心態，進入到數學學習狀態并美化心靈；心理環境比如師生間、同學間的和諧關系，有助于構建起一個美的“數學學習共同體”.

此外，還可以安排一些很好的數學游戲，從游戲中體會到數學的思維方式，感悟到數學的美，學習到更多的數學知識.

4.解題中體會數學美

數學題包含著豐富的數學知識，體現出數學解題的思維方式，展現出了數學中蘊含的美.通過多種形式的數學解題，讓學生從中領悟到：數學結構和諧美和統一美，進而培養起高中生對于數學的鑒賞能力以及崇高的審美情操.

在解題中，充分地利用圖形，找到突破口.

圖2

例如，如圖2，在等腰直角△ABC中，M是腰AC的中點，過直角頂點C作CD⊥BM于D，CD的延長線交AB于E.求證:∠AME=∠CMB.

證法一:過點A作AF⊥AC，交CE的延長線于F，如圖所示.

∵在ΔBCM中，∠BCM=90°，CD⊥BM，∴∠1=∠2=90°-∠ACD.在ΔBCM與ΔCAF中，∵∠1=∠2，BC=CA，∠BCM=∠CAF=90°，∴ΔBCM?ΔCAF(ASA)，∴MC=FA，∠CMB=∠F.∵MC=MA，∴MA=FA.∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°,且∠CAF=90°,∴∠MAE=∠FAE=45°.又AE=AE，∴ΔAEM?ΔAEF(SAS)，∴∠AME=∠F，∴∠AME=∠CMB.

點評：證明中充分地利用圖形的特征，巧妙地構造全等三角形，利用全等三角形的對應邊、對應角分別相等的性質，完美地通過角的等量代換得到結論.體現了圖形的美的變換，學生無不為之拍案叫好！

證法二：如圖3，設∠AME=α，∠CMB=β，則∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=180°-(∠ACE+∠A)=45°+β.在△AEM和△ACE中，由正弦定理，得AE∶sinα=AM∶sin(135°-α)①,AE∶sin(90°-β)=AC∶sin(45°+β)②,

圖3

點評：證明中利用圖形的特殊角和邊的數量關系，在包含待證相等角的兩個三角形中分別應用正弦定理，轉化為只含這兩個角的正弦的關系式，再通過化簡式子得到這兩角的正切關系式，而其中一個角的正切值是可以直接計算出的，這樣就會算出另一個角的正切值，從而發現它們相等，再由正切值相等及角的取值范圍，充分得證結論.由此感受到應用數學公式和掌握好三角函數的運算帶來的直截了當的美好的數學解題思路，學生心中美滋滋的.

圖4

證法三：以直角頂點C為原點，兩條直角邊CA、CB所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標系，如圖4所示.設直角邊長為2a(a>0)，則C(0,0)，A(2a，0)，M(a，0)，B(0，2a).

由以上各點坐標，得下列向量的坐標：

點評：證明中通過建立直角坐標系，設出直角邊長，則A、B、C、M四點的坐標都可由已知給出，只要求出點E的坐標就可以利用向量求出待證相等的角的余弦值，從而發現它們的余弦值相等，故得證.其中建立兩直線CD與AB的方程是求點E的坐標的首要任務.顯然，學生已具備求直線方程及解方程組的能力及運用向量工具的本領，證法中反映了數學綜合性的內在美，學生從中也獲得了思維的拓展滿足感.

通過這一不同方法的證題過程中，充分地將數學的多種解法展現給學生，讓他們感悟到數學思維的角度美、解題方法的多樣美、數學公式的潛在美和數形結合的和諧美等.這樣必然會激發起學生學習數學的興趣.通過數學美的教學，全面構建起生本課堂，促進學生全面發展.

高中數學“課標”明確指出數學課程應適當反映數學的美學價值.數學是一門蘊含了豐富美學的學科，幾乎覆蓋了所有的美學知識，數學中的美形式多樣，如圖形和曲線的對稱美、數學內容和諧美、數學思維的活力美、解題途徑簡潔美等等，都令人賞心悅目.在高中數學中注重數學美的教學，有利于培養學生們對美的感知，樹立起良好的審美觀念，在美中接受到豐富的數學知識，有助于教師更好地完成新課標的教學目標.