關(guān)于排列組合的解法的探究

白艷娟

[摘要]排列組合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)之一，由于解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)方法靈活，切入點(diǎn)多，且抽象性強(qiáng)，在做題過(guò)程中發(fā)生重復(fù)或遺漏現(xiàn)象不易被發(fā)現(xiàn)，所以成為學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，在解決排列組合問(wèn)題時(shí)，注意常見(jiàn)的問(wèn)題解決策略，能有效減少學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的難度。一些具體的解題方法的指導(dǎo)，再加上做題經(jīng)驗(yàn)的累積，解決這類(lèi)問(wèn)題就不會(huì)那么困難了。

[關(guān)鍵詞]排列；組合；解法；元素

學(xué)生之所以“怕”學(xué)排列組合，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么，解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是將抽象問(wèn)題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，而且充分發(fā)揮了學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，能讓學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。

一、對(duì)于兩個(gè)原理的分析

在具體的教學(xué)過(guò)程中，要注意主體轉(zhuǎn)換的等效性和可操作性。為此，我們可以先從兩個(gè)原理中分析：

1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第一類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事情共有N=m+n種不同的方法。

2.分步計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m*n種不同的方法。

3.兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)

（1）對(duì)于加法原理有以下三點(diǎn)：

①“斥”——互斥獨(dú)立事件；

②模式：“做事”——“分類(lèi)”——“加法”；

③關(guān)鍵：分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)，分類(lèi)不遺漏，不重復(fù)。

（2）對(duì)于乘法原理有以下三點(diǎn)：

①“聯(lián)”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關(guān)鍵：分步抓住特點(diǎn)，是每步互相之間有聯(lián)系又彼此獨(dú)立，設(shè)計(jì)合理得當(dāng)。

只有弄清楚了這兩個(gè)事件的關(guān)系與區(qū)別，才能熟練運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題。

二、解題策略

1.選擇主要元素

例1.公共汽車(chē)上有3個(gè)坐位，現(xiàn)在上來(lái)6名乘客，每人坐1個(gè)座位，有幾種坐法？

例2.公共汽車(chē)上有6個(gè)座位，現(xiàn)在上來(lái)3名乘客，每人坐1個(gè)座位，有幾種坐法？

分析：在例1中，6名乘客將被視為6個(gè)元素，3個(gè)空缺作為3個(gè)地點(diǎn)，然后問(wèn)題將從6個(gè)不同元素中的3個(gè)元素中選取3個(gè)位置，坐著的方式完全不同。

2.相鄰問(wèn)題捆綁法

要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

例3.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法。

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共480 種不同的排法。

3.不相鄰用插空法

對(duì)于一些元素（或位置）不相鄰的排列、組合問(wèn)題，應(yīng)先將其他元素（或位置）排好，再把不相鄰的元素（或位置）在已排好的元素（或位置）間插空。

例4.5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生互不相鄰共有多少種站法？

解：先將5名女生排好，將3名男生插在5名女生之間的6個(gè)空位中，則站法有多少種。這個(gè)問(wèn)題是插空法的典型例題。

4.“至少”型組合問(wèn)題用隔板法

將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為C。

例5.4名學(xué)生分6本相同的書(shū)，每人至少1本，有多少種不同分法？

解：將6本書(shū)分成4份，先把書(shū)排成一排，插入3個(gè)隔板，6本書(shū)中間有5個(gè)空隙，則分法有10種。

5.注意合理分類(lèi)方法

元素（或位置）的“地位”不相同時(shí)，不可直接用排列組合數(shù)公式，則要根據(jù)元素（或位置）的特殊性進(jìn)行合理分類(lèi)，求出各類(lèi)排列組合數(shù)。再用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出總數(shù)。

例6.求用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字組成的比2015大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)。

解：比2015大的四位數(shù)可分成以下三類(lèi)：

第一類(lèi)：3×××，4×××，5×××，共有：180個(gè)。

第二類(lèi)：21××，23××，24××，25××，共有：48個(gè)

第三類(lèi)：203×，204×，205×，共有：9個(gè)

∴比2015大的四位數(shù)共有237個(gè)。

6.涂色問(wèn)題

對(duì)于這類(lèi)題型主要是給出幾種顏色，然后把這些顏色分別地涂上，可以先取后排的進(jìn)行。

例7.如圖：一個(gè)地區(qū)分為五個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？用3種顏色涂呢？

分析：先涂其中的一個(gè)區(qū)域共有4種方法，其他區(qū)域共有12種，共有48種。當(dāng)使用3種顏色的時(shí)候是4種情況，先涂區(qū)域3種，相對(duì)區(qū)域2種，共有24種，一共有72種涂法。

以上是一些具體的題型，實(shí)際中還有特殊的問(wèn)題。特殊的問(wèn)題都要特殊解決。

7.分堆問(wèn)題

例8.一共有6本書(shū)，下面進(jìn)行分類(lèi)：一堆一本，一堆兩本，一堆三本。甲得一本，乙得兩本，丙得三本，一人得一本，一人得兩本，一人得三本。平均分給甲、乙、丙三人，平均分成三堆，分成四堆，一堆三本，其余各一本。

這個(gè)問(wèn)題要注意的是分堆的時(shí)候是否是平均分的問(wèn)題，因?yàn)槿绻瞧骄纸M問(wèn)題，平均分組的時(shí)候要除以幾的階乘，這是問(wèn)題的關(guān)鍵。一般是先選后排。

8.編號(hào)問(wèn)題

例9.四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種？ （答案：144）

數(shù)字1， 2， 3和4填寫(xiě)在四個(gè)標(biāo)有1， 2， 3和4的正方形中。每個(gè)網(wǎng)格填充了多少種填充物，每個(gè)網(wǎng)格的數(shù)量與它填充的數(shù)字不同？

9.幾何問(wèn)題

例10.四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，有多少種不同的取法？

例11.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

對(duì)于這類(lèi)題也是特殊點(diǎn)特殊考慮，解決起來(lái)也簡(jiǎn)單，并不復(fù)雜。

（1）（直接法）含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有 30種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有 30+3=33（種）

（2）（間接法）從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有 120種，除去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有 60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對(duì)棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形（對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為141種。

10.構(gòu)造模型

例12.馬路上有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？

解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有C種。

一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決。

解決排列組織問(wèn)題的方法還有很多，通過(guò)這些方法的介紹，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中有抓手，有據(jù)可依，有法可尋，學(xué)習(xí)起來(lái)能輕松愉快一些，學(xué)生也可根據(jù)自己學(xué)習(xí)到的一些新的方法進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié)，使自己在學(xué)習(xí)中有更大的收獲。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮寅.關(guān)于映射與排列組合的交叉問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2003，（08）.

（責(zé)任編輯 馮 璐）