讓直觀式猜想叩開幾何證明的大門

汪彥那

[摘 要] 在數學幾何教學活動中，學生自身思維過程尤為重要. 教師講解幾何題時，需要重視學生的直觀式猜想過程，即在引導學生猜想的同時，教會學生有效的直觀式猜想方法，并帶領學生用自己的直觀式猜想叩開通往證明之路的大門.

[關鍵詞] 幾何直觀；猜想；證明；合情推理

數學課程標準將直觀想象列入數學六大核心素養，并指出直觀想象是“分析和解決問題的重要手段”，“是探索和形成論證思路，進行數學推理的思維基礎”. 由此在學生數學學習初期，重視和發展學生的直觀能力尤為重要. 徐利治先生提出，“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識”. 數學教育家波利亞的“啟發法”中的一個推理模式即“合情推理”中，曾強調了“猜想”的重要性，他呼吁“讓我們教猜想吧！”. 可見，猜想也給了證明推理以靈感，是數學探究過程中一種必不可少的能力. 若是在幾何教學活動中，將學生的幾何直觀與在此直觀感知上的猜想相結合，并對此直觀式猜想過程予以充分重視，將其發展，無疑能使學生幾何問題解決能力得到提升.

對基礎薄弱的學生，面對有一定難度的幾何問題，雖不能及時解決，但在觀察圖形時，即是現今所說幾何直觀過程. 通過這一過程，產生對幾何問題解決路徑的猜想，在頭腦中產生對幾何圖形的識別和把握，進而在此幾何直觀的基礎上，根據所學幾何知識的積累經驗進行大膽的猜想. 由此，留給學生對幾何直觀感知與猜想結合的時間和機會，為幾何問題的解決打開思路. 同時，學生往往不敢肯定自己的猜想，更未對其進行深入思考，最終放棄解決. 所以該過程中更重要的是，教師要充分重視學生的直觀式猜想，順其思路進行探究和證明，并在適當的時機給學生以正確的引導，教會學生直觀式猜想的有效方法，去叩開證明的大門. 整個過程即為直觀式猜想. 通過這樣一個符合學生思維方向的過程，學生發現自己可以解決問題，積累了經驗，增強信心.

現今中學幾何證明課堂中，一部分教師注重直接教予學生證明方法或口訣，充滿探索樂趣的數學變得索然無味. 張奠宙先生將幾何學習分為四個過程：“直觀感知，操作確認，思維論證，度量計算”. 他指出，中國的幾何教學常常忽略前兩個步驟，變成純粹的思維論證. 忽視了學生自身的直觀感知和猜想帶來的靈感. 尤其是對幾何基礎較弱的學生而言，教師直接解答的思維過程突兀且難以貫通，他們所需要的正是自身在面對一道幾何證明題時能夠獲得機會和勇氣去表達并應用自己的直觀感知和想法，和對這種想法的肯定，最終能夠獨立解決問題.

放下講解的粉筆，給學生以直觀

式的猜想時間和表達的機會

“全等三角形”的證明是初中學生幾何學習的一個難點，尤其是作輔助線. 部分基礎薄弱的學生面對題目一籌莫展. 無從下手的結果便是放棄，教師提筆便講解的過程枯燥無比，由此產生對數學的抵觸感. 要避免此等現象，第一步便是讀完題目之后給學生時間，對眼前的幾何圖形進行直觀把握. 并借助以往全等三角形的相關學習經驗，大膽說出自己的猜想，也就是：“三角形ABC和三角形EFG像是全等的”，“可能是用‘邊邊角來證明全等”，“輔助線可能是通過延長AB”等等.

案例1 已知CE，CB分別是三角形ABC、三角形ADC的中線，且AB=AC，∠ACB=∠ABC，求證：CD=2CE.

分析 此問題為利用全等三角形證明兩線段相等問題，兩線段CD，CE不在同一直線上，顯然需要用到輔助線，將其轉化到同一條直線，方可進行大小比較. 對于基礎較弱的同學，以往經驗促使他們想到需要輔助線才能解決該問題，困難在于如何作輔助線. 教師可以由此給學生幾何直觀時間，并鼓勵說出猜想.

師：要證明CD=2CE，這可如何比較長短呢？

生：兩條線段都沒在同一條直線上，可能需要添輔助線了.

教師通過鼓勵引導學生說出直觀感知，給學生思考時間后，在幾何直觀的基礎上說出他們的猜想.

生：題目中是CE的兩倍與CD比較，可能首先需要延長CE至原來長度的兩倍.

教師馬上將該想法付諸實踐，以此對學生想法以鼓勵和重視.

學生容易發現此時只需證CF=CD.

師：咱們繼續！那要如何證明CF=CD 呢？

生：好像直接證明很困難，可能還需要輔助線.

教師繼續鼓勵學生說出對輔助線作法的猜想.

生1：“連接AF試試”，

生2：“我猜是連接FB”，

生3：“感覺應該連接FD”

從上述過程可以看到，每一種想法都真實地反映了學生自己獨立完成這道題的難點，以及自然反應，猜想與思考. 幾何證明題在他們眼里雖如同一座不可逾越的大山，但注意觀察就會發現，他們并未停止思考，而是建構自己的思維. 暗自以猜測的方式來揣度題目，用懷疑的語氣說出自己的猜測. 但從古至今往往是猜想才能帶給人們以靈感和解決問題的方向. 作為一名教師，何不先避開直接講解的枯燥，鼓勵學生的猜想呢. 通過這樣一個師生共同探討的過程教會學生如何根據自己的想法去突破難點.

教會學生直觀式猜想的方法，叩

開證明的大門

鼓勵學生拋開畏難情緒，用心思考，并勇敢地說出自己的直觀感知，以及在此基礎上產生的猜想，已是邁出了成功的第一步，此時，作為教學的主導者——教師，需要緊緊抓住學生隨之涌出的解決問題的熱情，繼續鼓勵學生勇敢向前，學會有效、合理的猜想.

顯然，學生在直觀感知后會產生各種各樣的猜想，并不是所有猜想都能叩開證明的大門. 僅僅是猜想，會給學生造成證明只需胡亂猜測的誤解，歪曲了猜想的意義. 教師更重要的職責在于教會學生直觀式猜想的方法. 一步一步正確引導并與學生共同探究猜想. 好似帶領學生，用自己的猜想去敲擊證明的大門，他們不禁思考：究竟怎樣的猜想才能叩開證明的大門？為何這樣的猜想叩開了證明的大門？有了猜想又如何去叩開證明的大門？通過該過程，去教會學生直觀式猜想，所得到的有理、有效的猜想，方能叩開證明的大門.

教師詢問即為學生如此作輔助線的原因.

生1：CE=FE，AE=EB，就會形成一對全等三角形△CEB和△FEA，可能對證明CD=CF有所幫助.

生2：我的想法也差不多，此時△CAE和△FEB全等.

生3：我猜想可能通過證明三角形CFD為等腰三角形來證明CF=CD.

通過學生對自己猜想原因的表達，來引導學生猜想的方式和正確方向. 領悟到猜想也需有根據，為叩開證明的大門做準備.

此時，教師根據學生的方法進行證明，引導學生叩開證明的大門.

教師讓學生觀察第一幅圖，讓學生思考如何證明CF=CD.

學生通過之前的幾何直觀過程可以猜想到通過全等三角形來證明線段相等，必然是證明CF與CD所在的兩個三角形全等. 教師需要應用學生此時對幾何圖形的直觀感受以及猜想證明△CAF？艿△DBC，思維似乎已經是豁然開朗了，解決問題的信心陡然增長.

伴隨學生開始出現的靈感和信心，繼續解決問題關鍵：如何證明△CAF與△DBC全等. 此時，教師繼續引導學生進行下一步的猜想，進一步邁向證明的大門.

對于三角形全等的證明也即是“角角邊，邊角邊，角邊角，邊邊邊”四種方法，在做題過程中考慮用哪種方法才能證明三角形全等，或者用哪種方法更容易證明三角形全等是常見的考察方式，也是中下水平學生的難點. 教師在主體角色中同樣引導學生根據對幾何圖形的直觀感知猜想哪種方法較為合理.

學生首先可以發現，要證明兩三角形一條對應邊相等，首先排除方法“邊邊邊”. 其次教師引導學生發現題中關于角度大小給出了一個條件，但似乎并不能直接用于證明△CAF與△DBC的全等，可以猜想到運用“角角邊”與“角邊角”兩種方法可能較為困難. 容易想到用“邊角邊”這一個方法. 當然即是找到余下兩組對應邊BD與AC，BC與AF以及夾角相等，.

同樣，對于第二種猜想的作輔助線的方法，教師引導學生觀察發現要證明△CBF？艿△CBD想到用“邊角邊”的方法，且通過證明△CAE≌△FBE來證明BF=BD以及∠CBF=∠CBD.

再看如下這道幾何證明題，難度較上述例子更大. 也充分體現了對于中下水平學生解決這道題時，直觀式猜想對于打開證明的思路的重要性.

案例2 等腰直角三角形ABC，∠ABC等于90°中，BA=BC，D為ABC外一點，AD⊥DC，AD交BC于N，連接BD，過B作BM⊥BD，交AD于M，若CD=BM，求證：AC=AB+BN.

對案例2，教師依然可以鼓勵學生觀察圖形并猜想如何通過作輔助線幫助證AC=AB+BN，

有學生的猜想和上述案例1一樣，通過延長AB至G點，使得BG=BN，即直接通過題目的問題，猜想可能所需的輔助線；有的學生則猜想是延長BM，與AC交于點G.

而對于第一種方法，學生猜想到要通過證明△AGN≌△ACN來證明AG=AC，從而找到解決問題的大致框架，打開了證明的思路. 此外，學生證明三角形全等的過程較為困難，若通過對圖形的直觀感知，不難想到△ABM與△CBD可能為全等三角形，從而為證明△AGN≌△ACN提供了條件，以及如何猜想該用四種方法的哪一種證明全等提供了思路，成功叩開證明的大門. 可謂一環扣一環，對于基礎較薄弱的學生來講，這個過程妙不可言.

可以看到，何時讓學生大膽猜想；如何從幾何圖形的直觀感知篩選有用的信息；教會學生應該如何用所得信息去猜想；根據幾何直觀，學生面對所要解決的問題，如何充分調動所學知識和經驗等等，都體現著教師教學的智慧.

反思直觀式猜想以及證明過程，

領悟其真正意義

從上述兩個案例不難發現，在整個猜想引出證明的過程中，教師的主導地位需得到充分發揮. 教師對于學生的引導也尤為重要. 值得學生和教師注意的是，直觀式猜想并不是避開數學思維與邏輯，而進行胡亂猜想，如此學生會產生這個過程存在運氣好壞的錯覺，且需要耗費大量的時間. 例如，案例1中的方法3，表面看來似乎可行，但稍加斟酌可以發現，本題缺乏角度數以及邊長等條件，要證是等腰三角形恐怕相當困難. 如此一來，抹殺了直觀式猜想的真正意義，當然，這樣的猜想也就未必能叩開證明的大門了.

作為一名教師，需要思考然后教會學生做到有效的猜想，領悟到真正意義.

首先上述解決過程體現了幾種猜想的思維形式. 常見的即通過圖像的整體直觀感受來猜想以及經驗判斷，而這種猜想方式無疑與學生的基礎知識掌握程度有關. 作為教師首先應確保學生知曉最基本的知識點. 若學生未能掌握證明全等三角形的四種方法，恐怕連猜想的想法都沒有. 這就需要不斷地去培養學生，扎實基礎，積累豐富的經驗.

其次，教師設置的情節是否恰當合理，也會影響學生是否會產生有效的猜想. 教師在引導學生解決問題的過程中，何時給出時間讓學生大膽猜想也是關鍵. 例如問題的最開始需要學生的猜想，這是學生獨立解題思維受到阻礙時必然遇到的情形. 另外輔助線的完善這一步，交給學生自己猜想既是對思維能力的鍛煉，也給了學生以成就感.

最后，培養學生的自信心，勇于面對困難，不帶畏難情緒去認識、學習數學，鼓勵他們大膽說出自己的猜想也是教師必不可少的責任. 而教師將學生猜想及時應用于題目的證明方法，符合學生的思維過程，給予學生以莫大的鼓勵，更是升華了猜想的真正意義.

“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”，猜想并非僅僅是“發明家”的專屬名詞，數學的探究與學習過程同樣需要猜想. 數學的歷史發展長河之中，許多結論都是從猜想開始的. 針對基礎薄弱或是對幾何學習失去興趣的學生，更不應是機械地被動地接受課本中的知識，鼓勵他們對幾何圖形直觀式猜想，予以重視并正確應用這樣的猜想去解決問題，逐步培養自主解決問題的能力和信心，才能使學生的數學能力得到真正提升，數學教育得到更好的發展. 用直觀式猜想叩開幾何證明的大門， 給證明以靈感，澆灌思維的花朵！