2017年高考“數(shù)列”試題（理科卷）分析與啟示*

☉南昌師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 孫慶括 劉 山

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是考查學(xué)生邏輯思維和演繹推理能力的重要載體，在歷年各個(gè)省市的高考數(shù)學(xué)試卷中都占有相當(dāng)重要的地位.另外，數(shù)列作為一種特殊的離散函數(shù)，同時(shí)又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，既有相對的獨(dú)立性也具有其較強(qiáng)的綜合性，不但試題靈活，而且解題思想和方法多樣化，故這類題目往往很難把握.因此，如何抓住數(shù)列命題的一般趨勢，剖析其本質(zhì)規(guī)律，成為了師生們研究的重點(diǎn).通過對2017年各地高考理科數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)列試題的特征分析，筆者給出一些教師教學(xué)和考生復(fù)習(xí)的建議.

一、試題特征分析

數(shù)列在2017年全國高考理科數(shù)學(xué)卷Ⅰ（安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、廣東、河南）、卷Ⅱ（甘肅、青海、西藏、黑龍江、吉林、遼寧、寧夏、新疆、內(nèi)蒙古、重慶、陜西、海南）和卷Ⅲ（云南、四川、廣西、貴州）及6套自主命題的北京、江蘇、浙江、上海、天津、山東卷中都有考查.為了更直接地體會全國各地高考數(shù)學(xué)理科試卷中的數(shù)列試題，按類別列出下表（見表1），并總結(jié)出數(shù)列試題的一些考查特征：

第一，從知識點(diǎn)的題型分布來看，數(shù)列多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，以考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算為主，幾乎每一套試卷都考查了等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式知識.同時(shí)，包括壓軸題在內(nèi)的解答題中也出現(xiàn)了數(shù)列，在考查數(shù)列基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上還考查了數(shù)列與函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、常用邏輯用語等交叉融合性知識，如北京卷、浙江卷和上海卷.可喜的是，2017年的試題在保留選擇題和填空題的考查題型的基礎(chǔ)上，還開創(chuàng)了新定義題和數(shù)學(xué)文化背景題，這是一大亮點(diǎn).

表1 2017年全國高考理科數(shù)學(xué)數(shù)列試題考查特征統(tǒng)計(jì)

第二，從考查的數(shù)學(xué)思想方法角度看，重點(diǎn)考查了錯(cuò)位相減法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、遞推法、分組求和法、放縮法等數(shù)學(xué)思想方法，如全國卷Ⅰ第12題，全國卷Ⅱ第15題，全國卷Ⅲ第14題，天津卷第18題和山東卷第19題.

第三，從分值來看，不同省份的試卷對數(shù)列的考查分值有所差異，從總體上看數(shù)列題普遍占2道，在選擇題、填空題和解答題中都有分布，分值在9分與21分之間.進(jìn)一步，天津卷和山東卷均僅以一道解答題的形式呈現(xiàn)，分值分別為13分和12分.

第四，從試題難度來看，除全國卷Ⅰ第12題以外，所有試卷的選擇題、填空題都是常規(guī)題且難度不大，都可以用解決等差和等比數(shù)列的公式法來解決，一些考查等差和等比數(shù)列的解答題也是如此.但是被放在了壓軸位置的數(shù)列題，難度較大，對學(xué)生邏輯思維和分析及解決問題的能力要求較高.

二、試題賞析與評析

（一）考查等差與等比數(shù)列通項(xiàng)及求和公式等基礎(chǔ)知識

通項(xiàng)公式與求和公式作為數(shù)列的基礎(chǔ)知識，基本為必考內(nèi)容，在各套試卷中均有涉及，難度不大.

例1（2017年全國卷Ⅱ）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

評析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式和裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，難度適中.先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出前n項(xiàng)和Sn，得到

例2（2017年江蘇卷）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，已知

評析：本題意在考查對等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用能力，但并不一定用到求和公式，可根據(jù)S6-S3=14，求出q=2和a1=4，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即得a8=32.這種“設(shè)而不求，整體代入”的數(shù)學(xué)思想，大大減少了計(jì)算量，類似地還有2017年上海卷第10題.進(jìn)一步，對等比數(shù)列或等差數(shù)列的求和的考查，可以是直接考查求和公式，也可以是結(jié)合通項(xiàng)公式來考查，如全國卷Ⅲ第9題.總體上看，難度適中，個(gè)別偏難.

例3（2017年全國卷Ⅰ）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）.

A.440 B.330 C.220 D.110

評析：本題是全國卷Ⅰ選擇題的壓軸題，對學(xué)生的綜合分析問題的能力要求較高，意在通過實(shí)際生活背景考查分組求和法和等比求和公式的運(yùn)用，關(guān)注到k，m的取值范圍和確定2k+2m-k-2取值范圍是解題關(guān)鍵.把數(shù)列的項(xiàng)分為k組，共有項(xiàng).設(shè)數(shù)列第N項(xiàng)是第k組的第m項(xiàng)，則有k≥14，可得N項(xiàng)和為2k+2m-k-2.由1≤m≤k和k≥14，可得2k-1＜2k+2m-k-2＜2k+1，故2k+2m-k-2=2k.進(jìn)而對m≥4逐個(gè)代入，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)m≥5時(shí)才滿足N＞100，因此m=5，k=30時(shí)，最小整數(shù)此題作為選擇題，用排除法較為簡潔.

（二）考查數(shù)列與函數(shù)、不等式等交匯知識

數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合也是高考常考內(nèi)容，主要運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)思想、函數(shù)的性質(zhì)（特別是單調(diào)性）及不等式證明的技巧和方法等知識解題，要求學(xué)生具有深厚較強(qiáng)的知識遷移和邏輯推理能力，其難度往往較大.

例4 （2017年浙江卷）已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）.證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

（1）0＜xn+1＜xn；

評析：本題是一道非常典型的用構(gòu)造函數(shù)的方法來解決數(shù)列問題的考題，考查學(xué)生對函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用能力，難度較大.第（1）問先構(gòu)造函數(shù)（fx）=x+ln（1+x），x＞0，再根據(jù)它的遞增性并結(jié)合題目所給的遞推關(guān)系式來完成證明.第（2）問構(gòu)造函數(shù)g（x）=［x+ln（1+然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識判斷其單調(diào)性從而得出g（x）＞g（0）=0，于是就有2xn+1-xn=xn+1-ln（1+第（3）問利用第（2）問的結(jié)論得到x之后，再根據(jù)函數(shù)h（x）=x-ln（1+x）＞0得出2xn+1＞xn，通過遞推即得

例5（2017年北京卷）設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1-a1n，b2-a2n，…，bn-ann}，其中{x1，x2，…xs}表示x1，x2，…，xs這s個(gè)數(shù)中的最大的數(shù).

（1）若an=n，bn=2n-1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；

（2）證明：或者對于任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)；或者存在正整數(shù)m，使得c，c，c，…mm+1m+2是等差數(shù)列.

評析：本題考查數(shù)列與不等式的綜合知識，難度較大.第（1）問根據(jù){cn}的通項(xiàng)形式來證明它是等差數(shù)列，理解到{cn}的定義并求出通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.分別求得a1=1，a2=2，a3=3且b1=1，b2=3，b3=5，代入得c1，c2，c3的值，由（bk-akn）-（b1-a1n）≤0，得b1-na1≥bk-nak，則cn=b1-a1·n=1-n，于是cn+1-cn=-1（n≥2）.又因?yàn)閏2-c1=-1，故{cn}是等差數(shù)列.第（2）問考查“放縮法”在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用，涉及分類討論及轉(zhuǎn)化思想.設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1，d2，由bi-ai·n=［b1+（i-1）d2］-［a1+（i-1）d1］·n=（b1-a1n）+（i-1）（d2-d1n），分類討論d1=0，d1＞0，d1＜0這三種情況.①當(dāng)d1=0時(shí)，對d2＞0和d2≤0分別進(jìn)行分析，由等差數(shù)列性質(zhì)，可得存在m使得cm，cm+1，cm+2，…是等差數(shù)列；②當(dāng)d1＞0時(shí)，-d1·n+d2為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的一次函數(shù)，所以必然存在m使cm，cm+1，cm+2，…是等差數(shù)列；③當(dāng)d1＜0，-d1·n+d2為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為正一次函數(shù)，此時(shí)根據(jù)上述的分析可0，B=d1-a1+d2，C=b1-d2）.對C≥0和c＜0這兩種情況進(jìn)行討論，采用“放縮法”即可證明對于任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m時(shí)，有

（三）借助新定義題彰顯創(chuàng)新能力

例6（2017年江蘇卷）對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”.

（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；

（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

評析：借助新定義數(shù)列創(chuàng)新題來考查常用數(shù)列的相關(guān)概念和性質(zhì)，近幾年備受命題者的青睞.本題給出了P（k）數(shù)列的定義，第（1）問要判斷等差數(shù)列是否為P（k）數(shù)列，考生只需運(yùn)用等差數(shù)列的重要性質(zhì)：an-1+an+1=2an，即可完成證明.因?yàn)閍n-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=（an-3+an+3）+（an-2+an+2）+（an-1+an+1）=6an=2·3an，即{an}是“P（3）數(shù)列”.而第（2）問要證明它是等差數(shù)列，同樣是運(yùn)用等差數(shù)列等差中項(xiàng)性質(zhì)來證明.因?yàn)閍n-2+an-1+an+1+an+2=4an（n＞2，n∈N*），則an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an（n＞2，n∈N*），即有4an-1+4an+1=8an，故有an-1+an+1=2an，即{an}是等差數(shù)列.

（四）融入數(shù)學(xué)文化彰顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)

例7（2017年全國卷Ⅱ）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）.

（A）1盞 （B）3盞 （C）5盞 （D）9盞

評析：2017年高考考試大綱增加了“數(shù)學(xué)文化”的要求，并且《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.本題是引用我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中的內(nèi)容來考查等比數(shù)列的求和公式，理解題意是解題的關(guān)鍵，因此，平時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生閱讀像《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》等高考數(shù)學(xué)文化出題率較高的我國古代著名的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)白話翻譯本及中外數(shù)學(xué)歷史名題等著作，如沈康生《歷史數(shù)學(xué)名題賞析》等.設(shè)塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由求和公式=381，得x=3，故答案選B.

三、啟示與思考

（一）緊扣考試大綱，夯實(shí)基礎(chǔ)

一方面，無論教師教學(xué)還是學(xué)生復(fù)習(xí)，都要以課標(biāo)為基礎(chǔ)，圍繞教科書，緊扣考綱，對重點(diǎn)內(nèi)容，如等差、等比數(shù)列相關(guān)概念的性質(zhì)、求公差和公比、通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和等進(jìn)行重點(diǎn)復(fù)習(xí)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識.同時(shí)，注重如錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等常用各類數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)滲透和學(xué)習(xí)，重點(diǎn)加強(qiáng)觀察、分析、歸納、猜想、推理論證能力的培養(yǎng)和運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)練.另一方面，關(guān)注數(shù)學(xué)文化與數(shù)列試題的融合.2017年高考數(shù)學(xué)考綱把“數(shù)學(xué)文化”作為單獨(dú)的一個(gè)模塊列了出來，理應(yīng)受到重視.殊不知，數(shù)學(xué)文化試題不僅包括顯性的數(shù)學(xué)文化背景題，還包括隱性數(shù)學(xué)歷史名題，后者可能是未來高考數(shù)學(xué)文化數(shù)列試題的重點(diǎn).因此，教師上課時(shí)要有意識地對教科書中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化素材或歷史名題進(jìn)行拓展改編，比如根據(jù)布羅卡點(diǎn)的基本性質(zhì)，就可以結(jié)合等比數(shù)列等知識拓展許多變式問題.

（二）注重?cái)?shù)列與交匯知識的綜合性復(fù)習(xí)

2017年高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題大多都是與其他數(shù)學(xué)知識相關(guān)聯(lián)而命題的，體現(xiàn)了知識之間的融合性.因此，一方面，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)多種途徑，如用思維導(dǎo)圖、專題講座等形式不斷溝通數(shù)列與集合、三角函數(shù)、二次函數(shù)、指對冪函數(shù)、三角形邊角關(guān)系、導(dǎo)數(shù)、不等式、極限、平面幾何、解析幾何等知識之間的聯(lián)系，通過例題、習(xí)題、檢測等方式來強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系.另一方面，考生要善于厘清知識間的交匯點(diǎn)，注重多個(gè)知識點(diǎn)的綜合題的訓(xùn)練與解題方法的積累.如數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合問題，它綜合了函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等方面的知識與方法，對考生綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力有較高的要求，對高分學(xué)生有很好的區(qū)分度，因而考生要以數(shù)列為背景的不等式的證明問題以及以函數(shù)為背景構(gòu)造數(shù)列的高考壓軸題的訓(xùn)練.

（三）注意高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接教學(xué)

“高觀點(diǎn)”是指與高等數(shù)學(xué)相聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題，這樣的問題或以高等數(shù)學(xué)知識為背景，或體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法.由于高考的選擇功能，這類題往往備受命題者青睞.因此，教師在平時(shí)教學(xué)中要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“高觀點(diǎn)”意識，可以適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一些“高觀點(diǎn)”數(shù)列專題教學(xué).比如關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，除了常規(guī)的求法之外，可以適當(dāng)講授一些高等數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)法和母函數(shù)法.對于遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求法，就可以講授齊次線性遞推數(shù)列的特征方程法.同時(shí)，講授一些特殊的新數(shù)列，像斐波那契數(shù)列、周期數(shù)列、階差數(shù)列等也是十分必要的.

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