“問題導學”讓教學標準明確、有法可依

陳茵

[摘 要]教學是一門科學，又是一門藝術；科學講究規則，藝術講究創造.課堂教學既要做到“教學有法”，又要做到“教無定法”.在“問題導學”的背景下，在數學課堂的新課引入、概念形成、概念深化、應用探索等環節中應抓“關聯性”“合理性”“內涵、外延”“模型化”，從而解決為什么要學的認知需求問題，讓學生知其然知其所以然，幫助學生多視角理解、認識概念，使學生領悟解決問題的思想方法.通過“問題導學”，使得數學課堂教學標準明確、有法可依.

[關鍵詞]問題導學；核心素養；標準；有法

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02000303

我是一名2016年大學畢業剛入職的青年教師.初為人師，我既興奮又緊張，興奮是因為實現了從小就立下的理想——成為一名人民教師，而緊張則在于人們對于名校教師的期待，這讓無教學經驗的我不禁有些擔憂.幸運的是，我參加了學校開展的《問題導學：發展學生核心素養的實踐研究》課題研究工作，有機會多次參與廣西教科院組織的“問題導學”新授課教學模式的研討活動，并擔任了其中一節現場展示課的主講教師.在這個過程中，我逐步學習和了解了“問題導學”的原理和方法，并對如何將其有效運用到教學實踐中有了自己的思考.下面以《拋物線的簡單幾何性質》一課的教學為例，談談我的一些認識和體會.

一、“新課引入”要抓“關聯性”——解決為什么學的認知需求問題

【教學實錄1】師：今天，老師給大家介紹一個傳奇人物.他是一位哲學家，也是一位數學家，我們熟悉的坐標系就是他創立的，他被稱為“解析幾何之父”，他的名字叫笛卡爾.他的貢獻在于：借助坐標系，將點與數建立了聯系，將曲線與方程建立了聯系，從而實現了用代數方法研究幾何問題的設想.今天，我們借助笛卡爾的研究方法，看看怎樣用代數的方法來研究拋物線的簡單幾何性質.

【評點】新課引入是一節課的思維起點，萬事開頭難.本節課從數學史引入，既介紹了笛卡爾創立解析幾何的研究方法，又點明了主題：用坐標法來研究幾何性質，開宗明義，一目了然.

二、“概念形成”要抓“合理性”——讓學生知其然知其所以然

【教學實錄2】實驗：選取p>0的值，作出拋物線y2=2px的圖像（如圖1），觀察圖像研究它的幾何性質.

問題1：拋物線的定義、標準方程的結構與橢圓、雙曲線的類似，猜想拋物線的幾何性質是否與橢圓、雙曲線的類似？你認為應該研究拋物線的哪些幾何性質？

【評點】知識不是孤立出現的，需要教師設置問題引導學生將新知識與舊知識建立聯系，形成新的認知結構.拋物線作為圓錐曲線的一種，其幾何性質的研究內容和研究方法應該與橢圓、雙曲線的類似.

問題2：觀察圖像，拋物線伸展的范圍是有限還是無限的？拋物線方程y2=2px中的變量x、y的取值范圍是有限還是無限的？

【評點】通過問題設置，引導學生經歷研究曲線幾何性質的發現過程：觀察圖像，從“形”入手分析；研究方程，從“數”入手分析.這樣，既培養了學生的幾何直觀能力，也培養了學生的代數運算能力.

問題3：拋物線方程y2=2px中變量x的取值范圍是什么？你能判斷拋物線的開口方向嗎？

【評點】由代數式x中的取值范圍得到拋物線的開口方向，讓學生觀察發現由“數”到“形”的過程，體會數形結合思想.

問題4：觀察圖像，拋物線是否是軸對稱圖形？是否是中心對稱圖形？任取拋物線上一點（x，y），其關于x軸的對稱點（x，-y）是否在拋物線上？說明了什么？

【評點】讓學生觀察發現，拋物線是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.將方程中的y換成-y，方程不變，說明拋物線上任意一點（x，y），其關于x軸的對稱點（x，-y）在拋物線上，曲線關于x軸對稱.

問題5：請你嘗試采用這樣的研究方法，說明拋物線是非中心對稱圖形.

【評點】問題4讓學生學習用代數方法去研究曲線的對稱性，而問題5則讓學生運用這種方法去嘗試解決新問題，很好地鞏固了學生對研究方法的掌握.

在給出拋物線的頂點和離心率概念后，我設置以下例題.

【例1】 一條拋物線關于x軸對稱，頂點為原點，并且經過點（1，2），求拋物線方程.

【評點】設計此例的目的有二，一是強化拋物線幾何性質的學習；二是引導學生發現“過焦點且垂直于對稱軸的直線，與拋物線相交的兩點，其橫縱坐標之比為1∶2”，并為解決例2做準備.

問題6：拋物線y2=2px上有幾個點橫、縱坐標之比是1∶2？它們在什么位置？

【評點】問題6連接了例1的已知點，從代數角度分析已知點橫、縱坐標的關系，從幾何角度分析已知點位于焦點的正上方，從而找到拋物線焦點的方法.問題設置著眼于學生的最近發展區，將難度分解到若干個小問題中，小問題間又有相應的邏輯聯系，解決了小問題，難題也就迎刃而解了.

由此可見，問題的設置不僅要有關聯性，還需要有梯度.接下來的例2難度不低，要解決它，就必須鋪設一些“階梯”.

【例2】 已知拋物線和它的對稱軸.試用幾何作圖法作出拋物線的焦點和準線.

【評點】再次深化拋物線的幾何性質，借助坐標系，將幾何問題轉化為代數問題求解，最后再翻譯成幾何語言，讓學生體驗由“形”到“數”及由“數”到“形”的過程.

教學中，教師要讓學生了解作圖依據：以拋物線頂點為坐標原點，頂點到焦點的方向為x軸的正方向建立直角坐標系，設拋物線方程為y2=2px，焦點坐標為（

p2，0），準線方程為x=-p2.過焦點作平行于y軸的直線與拋物線相交，得到兩個交點P1（p2，y1），

P2=（p2，-y1）

，其中y1>0.由y21=2p·p2得y1=p.因此，P1（p2，y1）在直線y=2x上，是直線y=2x與拋物線的交點；還要讓學生明確作圖步驟（如圖2）：

（1）拋物線的對稱軸與拋物線相交，得到頂點O.

（2）在對稱軸上任取一個與O不重合的點A，使OA指向拋物線的開口方向，從A點作AB⊥OA，作|AB|=2|OA|，射線OB與拋物線相交于點P.

（3）過P點作PF⊥OA，與射線OA相交于F，則F為拋物線焦點.

（4）延長FO到D使OD=FO.過D作⊥OD，則l為準線.

【評點】以“問題”為導向，讓學生理解概念形成的“合理性”與“必然性”，這是本環節的主要內容.教師設計的問題要符合學生的認知水平，要從學生熟悉的舊知識出發，尋找與新知識的聯系和沖突，并逐步感受新知識的產生是合理的，是在同化和順應的過程中重新建構認知圖式.這是建構主義學習理論所提倡的支架式教學模式.

三、“概念深化”要抓“內涵、外延”——幫助學生多視角理解、認識概念

【問題系列】

（1）拋物線y2=2px的焦點坐標為（p2，0），準線方程x=-p2；

【評點】回顧拋物線定義，幫助學生回憶另外三個開口方向不同的拋物線的焦點坐標公式和準線方程，引導學生發現拋物線焦點非零的坐標值與拋物線標準方程一次項系數是1∶4的關系.

（2）如圖3，四邊形DFME是正方形；

（3）焦準距為p；

（4）通徑：過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦.拋物線的通徑長為2p.

【評點】深挖拋物線中蘊含的結論，深化拋物線的幾何性質.

通過前面的幾何觀察和代數研究，我們得到了拋物線的簡單幾何性質，學會了運用幾何作圖法尋找拋物線焦點的位置.那么，在“概念深化”環節，我們要解決哪些重點問題呢？我認為，要重在引導學生挖掘概念的內涵與外延.例如，從內涵入手，拋物線的本質是它的定義，從定義我們可以得到它的離心率、焦準距等幾何性質，從標準方程我們可以得到焦點坐標和一次項系數的聯系.除此之外，我們還要引導學生對它們各自的結構、特點和關鍵信息做出明確的認定，強化學生對概念的認識，并由此出發，引導學生思考還可以得到哪些重要的結論，歸納這節課研究的數學思想方法等，從而讓學生學會全方位地去認識和理解概念，提高思維的水平.

四、“應用探索”要抓“模型化”——使學生領悟解決問題的思想方法

【例3】 拋物線形拱橋如圖4，當拱橋離水面2.5m時，水面寬4.5m，如果水面上升0.5m時，水面寬多少？（精確到0.01m）

解析：如圖4建立直角坐標系，1m為單位長.則現在水面與拱橋在第四象限的交點A的坐標為（2.25，-2.5），代入方程x2=-2py，得2p=2.025.水面上升0.5m后，水面與拱橋在第四象限的交點B（x2，y2）的縱坐標為y2=-2，代入方程，得

x2=-2py2≈

-2.025×（-2）≈2.01，

故水面寬為2.01×2=4.02（m）.

【評點】通過解決實際問題，鞏固拋物線簡單幾何性質的內容，促進學生領悟借助坐標系解決幾何問題的思想方法.

例題，是進一步強化學生對新知識的理解、實現數學思想方法類化的重要載體，需要教師的精心設置與分析講解.本節課設置的應用例題是生活中常見的問題，學生需要通過抽象出拋物線模型，運用拋物線的幾何性質解題.教師要有意識地給學生傳遞數學的實用性，引導學生用數學的思維方式來解決實際問題，這也是數學應用的重要體現，是培養學生應用意識的有效手段.

五、“總結歸納”要抓“知識建構”——引導學生建立思維導圖

問題7：這節課你學到了哪些內容？涉及哪些數學思想方法？

知識點小結：拋物線的幾何性質，如范圍、對稱性、頂點等.

技能點小結：類比思想、數形結合思想、建模思想、坐標法、待定系數法.

【評點】讓學生自主總結歸納本課所學知識點和這節課所學到的思想方法，能幫助學生自主建構新的認知圖式.

“總結歸納”是一節課必不可少的環節.建構主義學習理論認為，學習是學習者主動進行意義建構的過程，學習者只有主動對學習內容進行加工、整理，進而建立新的認知圖式，內化成自己的東西，才是真正的收獲.

總之，通過這樣的研修學習，讓我心中對教學有了明確的標準，學會了自我評價、自我修正，對教學組織有了更高的目標和追求，也有了屬于自己的獨特方法.我堅信，只要堅持研究、實踐，自己的從教之路一定會走得更加堅實、更加穩健！

（責任編輯 黃春香）