小學數學《三角形的內角和》課例研究

李織蘭 楊起群 蔣曉云 馮濤勵

【摘要】本文根據數學課程標準的要求，結合課例論述教師在小學階段教學“三角形的內角和為180°”時啟蒙學生理性精神、培養其推理意識的途徑，提出結合“帕斯卡的推理”引導學生論證三角形內角和為180°的教學策略。

【關鍵詞】三角形內角和 理性精神 演繹推理 “帕斯卡的推理”

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）12A-0030-03

2005年3月初，姜伯駒院士在全國政協會議上的提案中指出，“三角形內角和等于180°”這樣的基本定理，只讓學生用測量、計算、拼接實驗的方法“歸納猜想，發現規律（結論）”，不說理，不證明，數學課就失去了理性的精神。反思這十多年的小學數學課程改革，小學數學教學淡化了數學中的邏輯推理、理性思維。所以，經過修訂的《義務教育數學課程標準》（2011版）明確要求：在第一學段和第二學段，可以逐漸滲透給學生知道，合情推理的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，還需要依靠演繹推理去證明或者證否。

我們選取人教版數學四年級下冊《三角形的內角和》一課，以在小學數學教學中“啟蒙理性精神，初步培養學生演繹推理的意識和推理能力”為主題進行課例研究。

一、教學內容與素材分析

人教版、北師大版小學數學教材中的《三角形的內角和》這一教學內容，都有“操作驗證”“得出結論”環節。操作驗證主要包括兩個環節，分別是“量一量”和“拼一拼”。

二、課堂觀察與診斷

我們選取一節小學數學優質課的視頻作為課堂觀察材料，進行課堂觀察與診斷。

（一）教學片段

教師在探究“三角形的內角和是180度”這一環節，設計了四個步驟：量角求和、拼折驗證、課件展示、歸納小結，讓學生在“量一量”“拼一拼”“折一折”的實驗操作過程中，探究從不同的途徑驗證結論和解決問題的方法。

其中，在歸納小結中出現下面這樣一個小片段。

師：我們剛才用了這么多種方法來驗證，現在我們可以肯定地說，三角形的內角和是180°。請同學們用肯定的語氣來讀一讀這句話。

生（齊讀）：三角形的內角和是180°。

（二）教學診斷

“我們剛才用了這么多種方法來驗證，現在我們可以肯定地說：三角形的內角和是180°。”真的只通過“量一量”“拼一拼”“折一折”就能肯定“每一個三角形的內角和都等于180°”嗎？不能！實驗歸納的結果不一定靠譜，用這種方法得到的結論可能是對的，也可能是錯的，還需要依靠演繹推理去驗證。

雖然小學階段關注通過合情推理發現結論，培養演繹推理能力是中學幾何教學的核心追求。但是，如果小學階段不說理、不證明、不啟蒙學生的理性精神，甚至錯誤地完全肯定實驗歸納所得到的結論，到了初中階段學習“三角形內角和定理”的證明時，學生會認為完全沒有必要。

在學習“三角形的內角和等于180°”這樣的基本結論時，教師讓學生用測量、計算、拼接實驗的方法“歸納猜想，發現規律（結論）”是沒有錯誤的，但教師最后小結的那段話是違背數學課程標準要求的嚴重錯誤。

（三）教學建議

教師可從“發現數學規律”和“啟蒙理性精神”兩方面改進教學。在總結發現的規律時，教師可以跟學生說：“我們剛才用了這么多種方法，現在我們發現（猜測）三角形的內角和是180°。”隨后給出一些“測量會產生誤差”“從特殊到一般歸納不一定完全”和“眼見未必為實”的例子，讓學生明白“實驗歸納的結果不一定靠譜”，所以只通過“量一量”“拼一拼”“折一折”的實驗歸納是不能肯定“每一個三角形的內角和都是180°”的。教師再告訴學生：“2000多年前，數學家歐幾里德寫了一套名為《幾何原本》的書，在他的書中，用‘邏輯推理的方法對這個結論作了證明，從而保證了每一個三角形內角和都等于180°，現在我們可以相信它是對的。這個證明方法我們將會在初中階段學習。”

三、課堂改進

數學證明能力的形成往往要經歷許多年，需要從找到初步的感覺，到舉例論證，再到一般的證明。我們主張在小學階段開始讓學生接觸數學證明的思想。也正因為如此，我們吸收部編版教材采取的類似于少年帕斯卡首先使用的“推理論證”方法，幫助學生從理性的角度研究三角形的內角和。

廣泛閱讀各種教材，揚長避短，我們進一步優化《三角形的內角和》教學設計如下。

（一）創設情境，提出問題

教師通過“三種類型的三角形爭論內角和大小（如圖1）”的趣味情境作為導入，讓學生作為“調解員”為它們解決爭議，激發學生學習數學的興趣，使其明白為什么教材要求“畫幾個不同類型的三角形，量一量，算一算”，很自然地進入新課學習。

（二）動手操作，合作探究

1.量一量

4人小組合作完成“量一量”“算一算”實驗操作，由小組長向全班展示。教師及時點評，關注每個小組的結果，讓學生闡述為什么選擇不同類型的三角形，滲透“分類討論”和“歸納”的思想，培養學生周密、嚴謹、有條理地思考問題的思維，引發猜想：三角形的內角和可能都是180°。

教師預設學生可能測量結果不一，鼓勵學生匯報自己測量的真實數據，及時討論產生誤差的原因，讓學生認識到出現誤差是實驗活動不可避免的現象，培養學生的科學態度。

2.拼一拼

“拼一拼”就是通過求“和角”是“平角”來說明三角形內角和是180°。“和角”是一個“數”，“平角”是一個“形”。我們安排了圖2的操作來實現“量一量”與“拼一拼”之間的自然過渡，突出“拼一拼”的教育價值。

隨后，教師引出問題“只有一個三角形，能否組成平角”，如圖3。

（三）巧妙設疑，讓學生真有思考

教師先通過實例讓學生思考：“查看我們班的數學成績冊，我發現1號同學數學及格，2號同學數學及格，3號同學數學及格，4號同學數學及格，5號同學數學及格，6號同學數學及格，7號同學數學及格，8號同學數學及格，我就得到全班所有同學數學成績及格。事實證明我是錯的，為什么老師會做出錯誤的判斷呢？”學生明白了我們只能對我們測量過的對象下結論，“從特殊到一般”的“實驗歸納”并不完全。因此，通過“量一量”“拼一拼”不能保證每一個三角形的內角和都是180°。

接著，教師讓學生觀察圖4，學生大多覺得∠AOB=180°，∠COD不等于180°，實際上，∠AOB=179.5°，∠COD=181°，以此讓學生明白“平角”不是看出來的，也不是用工具測量出來的（測量工具有誤差）。

學生感受到“眼見未必為實”，認為“把三角形的三個角剪下來拼湊在一起，然后通過觀察得到它是一個平角”這種方法是不可靠、不嚴謹的。

（四）推理論證

教師結合“帕斯卡的推理”，帶領學生驗證“三角形的內角和是180°”，過程如下。

教師通過幾何畫板演示：任意一個直角三角形，作一個與其全等的直角三角形，把兩個全等的直角三角形重新組合，拼成一個矩形，這個矩形的四個內角都是直角，它的內角和是360°。學生交流、反饋，得到“每一個直角三角形的內角和是180°”的結論。

接著，教師引導學生尋找一個“一般”的三角形并證明它的內角和也是180°（如圖5）：任意一個銳角三角，作三角形的一條高把它分成兩個直角三角形，因為直角三角形的內角和是180°，所以兩個直角三角形的內角和是360°，因為有兩個直角拼在一起了，所以銳角三角形的內角和是180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°×2=360°，∠4+∠5=90°+90°=180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，讓學生體會轉化的思想和方法。

“現在我們能說每一個三角形的內角和都是180°了嗎？為什么？我們只能說‘每一個銳角三角形的內角和也是180°，還需要論證‘每一個鈍角三角形的內角和是180°。”教師通過設問引導學生繼續探究鈍角三角形的內角和。

這樣的教學安排，使學生意識到數學論證需要經過全面、周密、嚴謹的思考，保證數學結論具有科學性。

（五）升華情感

教師向學生講述少年帕斯卡的故事：“300多年前，法國有一位偉大的數學家、物理學家、哲學家和散文家叫帕斯卡，他在12歲的時候就發現這一規律，他還用‘推理的方法確保每一個三角形的內角和都是180°。”以此激勵學生刻苦鉆研。

（六）解決問題、拓展應用（略）

整個教學過程，通過情境讓學生感悟到實驗歸納得到的結論可能不靠譜，適度吸收部編版教材的“證明法”，即少年帕斯卡的推理進行說理論證。我們稱之為“實驗法+證明法”。

小學“圖形與幾何”教學的核心目標不是培養演繹推理能力，少年帕斯卡的推理論證也許談不上是“演繹推理”的證明，我們采用“實驗法+證明法”進行教學重在引導學生合情推理、發現規律，符合課標要求的“啟蒙理性精神和演繹推理意識”。

（責編 劉小瑗）