培養邏輯推理意識讓學生學會說理

肖寶瑩 蔣曉云 楊起群 徐瑩姿

【摘要】本文敘述“三角形穩定性的再認識”一課的教學過程，讓學生根據“全等三角形判定定理”，用數學證明的方法重新得到“三角形具有穩定性”的結論，從理性的角度指導學生研究三角形的穩定性，提出教師在教學中應向學生“說理”并鼓勵學生養成良好的“說理”習慣的教學策略，以發展學生理性思維，培養其邏輯推理意識。

【關鍵詞】三角形穩定性 邏輯推理意識 理性精神

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）12A-0036-04

在以“基于核心素養培養的初中數學課例研究”為主題的教學研討和展示平臺“寶賢課堂”上，廣西師范大學漓江學院2015級的學生徐瑩姿展示了《三角形穩定性的再認識》這一節課，并在桂林師范高等專科學校專業教師團隊的指導下進一步優化了教學設計。

人教版數學八年級上冊教材中，對《三角形穩定性》的內容設計為：讓學生通過對木條釘成的三角形和四邊形“拉一拉”的實驗方法，發現“三角形木架的形狀不發生改變，而四邊形木架的形狀會改變”，從而得出“三角形具有穩定性，而四邊形不具有穩定性”。然而，實驗歸納的方法會受到環境、材料等因素影響，導致實驗結果不可靠。隨著學生知識的增長和邏輯推理能力的增強，我們選擇在學生學習了“三角形全等判定”等知識后，安排“三角形穩定性的再認識”一課，讓學生用“數學證明”的方法重新認識“三角形具有穩定性”，培養邏輯推理能力，發展數學核心素養。

一、教學設計與設計意圖

（一）沖突重現，感悟推理必要

師：在八年級的學習中，我們用實驗的方法得出“三角形具有穩定性”的結論。如圖1，將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后拉動它，它的形狀不會發生改變。如圖2，將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后拉動它，形狀可以發生改變。于是我們得出“三角形具有穩性，而四邊形不具有穩定性”的結論。

師：有一名同學在學習過程中不認可教材中的做法。他也做了一個實驗。他拿的是這樣的金屬四邊形框架（如圖3），拉動它，發現也“拉不動”，所以他得到的結論是“四邊形也是有穩定性的”。你同意這位同學的觀點嗎？這個四邊形金屬框具有穩定性嗎？

（學生陷入迷茫，有的認同，有的不認同。）

師（提出問題一）：做同樣的實驗探究同一個問題，為什么得到的結論卻不同？實驗會受測量儀器精度、環境、材料等各種因素的影響，導致結果不一定可靠。如水的沸點會因為環境壓強的不同而不同，在化學實驗中可能會因為溫度條件的不同發生不同的化學反應。我們的實驗會因三角形或四邊形的材料不同而得到不同的結論。因此，今天我們用理性的方法來重新認識一下三角形的穩定性。

【設計意圖】

之所以要再認識“穩定性”，是因為“拉不動=穩定性”這個論斷是不嚴謹的，構成三角形或四邊形的不同材質會成為干擾判斷的因素之一。通過拉“金屬四邊形”實驗讓學生感知通過實驗觀察得到的結論可能不同，由此引發學生對實驗結果可靠性的審視，體會理性思考的必要性。

（二）明確概念，謹立推理前提

師：既然“拉不動≠穩定性”，我們要研究圖形的穩定性，就必須先弄明白“什么是圖形的穩定性”。

師：通過查閱文獻資料可知，幾何圖形的穩定性指的是圖形結構、形狀和大小不會改變。

師（提出問題二）：回顧一下，什么是三角形？什么是四邊形？如何理解它們的結構、形狀和大小？

（三條線段首尾相連所圍成的圖形稱為三角形;四條線段首尾相連所圍成的圖形稱為四邊形。三角形和四邊形的形狀、大小由組成圖形的線段決定。）

【設計意圖】

要追求永恒的、確定的、可靠的知識，即數學知識邏輯的嚴密性和結論的可靠性，就要明確概念。教師通過問題“什么是三角形？什么是四邊形？如何理解它們的結構、形狀和大小？”引導學生復習相關概念，為后續學習鋪墊。

（三）活動探究，尋求推理思路

師（講解活動一）：每四個人一組，每組成員用四根木棍或可看作“線段”的其他材料去圍四邊形，即四條木棍首尾相連圍成的圖形，同小組的觀察看看“四根棍子能圍出多少個四邊形”，思考“四條線段能構造出多少個四邊形”。

（預設回答：很多個四邊形。）

師（總結發現）：給定四條線段可以擺出兩個或者多個四邊形，擺出的不同圖形，它們的形狀、大小發生了改變。所以，可以說這四條線段組成的四邊形不具有穩定性。

師：找到一個四邊形不具有穩定性的例子，我們就可以下結論“四邊形不具有穩定性”。

（活動二：同樣的分組，每組成員都用三根木棍或可看作“線段”的其他材料去圍三角形，即將三條線段首尾相連圍成一個圖形，同小組的觀察看看三根棍子能圍出多少個三角形。）

（預設：一個或多個。）

師（提示學生）：將擺出來的三角形畫在紙上。因為是用小棒擺著去畫，小棒會移動，那么擺好后確定三個頂點的位置，用直尺連接起來就可以了。

師（提出問題三）：這些用同樣三根棍子圍成的三角形之間有什么關系？

（預設：畫出的這些三角形可以重合。也就是說，它們只是擺的位置不同，實際上是全等的，所以它們的形狀、大小都一樣。）

師（提出問題四）：你能肯定任意三根棍子都只能擺出一個三角形嗎？

（教師用“從特殊到一般的歸納不一定完全”的例子告訴學生：實驗歸納的結果不一定靠譜，需要證明或者證否。）

師（提出問題五）：能證明嗎？從實驗過程，你有什么證明思路？

（預設：證明全等。）

【設計意圖】

實驗結果雖然不可靠，卻為發現證明思路提供“土壤”，尤其在課堂教學中，恰當的數學活動有益于學生尋求思路、激發興趣。通過兩個動手實驗，學生思維火花被點燃，為接下來進行數學證明創造條件。

（四）理性思考，推理證明過程

師：我們假設給定1、2、3三條線段可以圍成兩個或者兩個以上三角形，只要證明得到的這兩個三角形完全相同就可以了。

師：兩個三角形怎樣才稱得上完全相同？（三角形全等）那又該怎樣判定這些由給定的三條線段圍成的三角形是全等的？（“SSS判定定理”）現在我們來一起寫一下證明過程。

師：給定三條線段所圍成的所有三角形都是全等的。全等意味著能重合，對應邊、對應角、面積……都相等。所以，它們的結構、形狀和大小都不變，從而三角形具有穩定性。

師：給定一個三角形，意味著給定了構成這個三角形的三條線段（三條邊），這樣的三角形就唯一確定了，因此三角形具有穩定性。于是，我們通過數學證明的方法得到了“三角形是具有穩定性的”。

【設計意圖】

教師帶領學生根據“SSS判定定理”證明了給定三條邊長的兩個三角形全等，讓學生用理性的眼光重新審視已知結論，明確結論成立的原因，從而培養學生的邏輯推理能力，發展理性精神。

（五）小結反思，鑄就理性精神

師（提出問題六）：我們曾通過實驗歸納的方法得到“三角形具有穩定性”，請同學們分組討論，通過實例來說一說“實驗歸納”存在哪些缺陷？重溫我們前面學習過的一篇數學課文《為什么要證明》，談一談為什么我們今天還要從理性的角度重新認識“三角形具有穩定性”。

1.受實驗的環境、實驗的器材等影響，實驗結果可能不一致，實驗的結果不可靠

生1：在本節課中，將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后拉動它，形狀可以發生改變，從而得出“四邊形不具有穩定性”的結論。而將四根鋼條焊成一個四邊形框架，然后拉動它，形狀不容易發生改變，得出“四邊形具有穩定性”的結論。

生2：我們在小學六年級時，老師讓我們畫圓的半徑，有的同學的鉛筆比較粗，他得到的結論是“圓的半徑只有有限條”，這顯然是錯誤的。

2.受測量儀器的精確度、測量操作規范程度和技術等影響，實驗結果可能不一致，結論不可靠

生1：我們在學習“三角形內角和”時進行了“量一量”“算一算”實驗操作，多數測量和計算的結果不是剛好180°，而是在180°左右，測量結果不一致。實驗操作時，受測量儀器的精確度的影響而出現誤差是實驗活動中不可避免的現象，如果事先不知道“三角形內角和是180°，通過“量一量”“算一算”實驗是很難發現三角形內角和定理的。

生2：在小學六年級通過測量圓形實物的周長和直徑并計算它們的比值來計算圓周率，我們得到的圓周率只是“三倍多一些”，我們當時每一次的實驗數據都不一樣。用實驗的方法得不到“圓周率是一個固定不變的數”這個結論。

3.“眼見未必為實”，而實驗結果往往依靠觀察，因此結果未必靠譜

師：同學們觀察圖6這兩個角，判斷它們是否是平角。（多數學生認為它們是平角）實際上∠AOB=179.5°，∠COD=181°。“眼見未必為實”，通過觀察得到的結論是不可靠、不嚴謹的。

4.實驗操作后還需歸納概括才能總結出“一般”的具有普遍性的結論，“從特殊到一般的歸納”并不完全，結論未必可靠

師：從前有一個人想吃李子，于是打發他兒子到果園去買，“要甜的，好吃的，你才買。”兒子到了果園，園主說，“我這里樹上的李子個個都是甜的，你嘗幾個看。”兒子選了三棵樹上的3個李子品嘗，果然都是甜的，從而認為“樹上的李子個個都是甜的”，于是他就買了一筐李子回去。回到家吃的時候，他發現有部分李子是酸的。

師：雖然歸納是發現數學結論的一個重要方法，我們一定要意識到“歸納推理所得的結論并不可靠，仍需演繹推理來論證”。在數學學習中，同學們要養成用理性思維去思考問題的習慣，鑄就理性精神，崇尚理性、數學證明。

【設計意圖】

數學教學要給學生“說理”，鼓勵學生用理性的思維去思考問題，鑄就理性的精神，讓學生從“顯然正確，不用驗證”轉變為“崇尚理性、數學證明”，讓學生在數學課堂中經歷一次思想上的飛躍。

師（提出問題七）：今天的課，我們做了實驗嗎？為什么我們還要做實驗？

生：做了，“圍一圍”的實驗過程讓我們找到了證明的思路。

生：在證明結論之前，我們做了“拉一拉”的實驗，猜測哪些圖形可能具有穩定性，哪些圖形可能不具有穩定性。

師：在解決問題的過程中，“實驗歸納”與“邏輯推理”功能不同，相輔相成。“實驗歸納”用于探索思路，發現結論;“邏輯推理”用于證明結論。在提煉與獲得數學結論過程中，猜想與證明是兩大基本支柱，數學結論的孕育有賴于猜想，數學結論的確立離不開證明。

【設計意圖】

數學課程標準明確要求：初中階段應該明確地告訴學生，實驗歸納對于探索規律和發現結論是不可或缺的。但是，實驗歸納的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，還需要依靠邏輯推理去證明或者證否，要讓學生對此有清醒的認識。

師（提出問題八）：在一場答辯中，要求參加答辯的數學教師用理性方法證明三角形具有穩定性，一些教師居然沒能給出證明。導致這些教師回答不出來的原因是什么？給我們的啟示是什么？

……

師：青取之于藍而勝于藍，同學們想要避免這些教師答辯時碰到的尷尬，平時學習數學要養成良好的“說理”習慣。

【設計意圖】

教師通過實例鼓勵學生在平時學習數學時養成良好的“說理”習慣，對學生進行情感滲透，進一步完善課堂。

二、課后反思

教材中的短短的一段話是否值得教師花費一個課時進行教學？事實上，本課立足于學生對三角形的穩定性產生懷疑，進而明確數學中穩定性的概念，并對實驗歸納得到的結論不一定正確產生直觀的認知，用初中階段學過的三角形全等知識和邏輯推理方法證明“三角形具有穩定性”，解決了學生的疑惑，在一定程度上鼓勵學生“存疑求真”。另一方面，隨著學生知識的增長和邏輯推理能力的增強，用數學證明的方法引導學生重新認識“三角形具有穩定性”，能夠培養學生的邏輯推理意識、鑄就理性精神，對發展學生數學核心素養具有重要的意義。

（責編 劉小瑗）