2023年高考全國甲卷理綜第20題的深入分析

摘 要：2023年高考全國甲卷理綜第20題以帶電粒子在圓形磁場區域內的運動為背景，考查了粒子在圓筒內進行分段圓周運動的周期性。盡管圓周運動是一個經典的物理問題，但該題的出題角度新穎，富有創意。在解析試題的基礎上，本文對粒子在圓形磁場區域內的運動進行一般性的探討，可以充分拓展學生的思考空間，引導他們深入分析可能出現的各種情況，從而培養學生的科學思維能力。

關鍵詞：高考物理試題；帶電粒子；圓形磁場；科學思維

2023年高考全國甲卷理綜第20題通過帶電粒子在圓形區域磁場內的運動來設計學習探索問題情境，涉及的必備知識包括帶電粒子在勻強磁場中運動軌跡的半徑、圓周運動的周期與粒子運動速度、磁場的磁感應強度等物理量之間的關系。該題主要考查學生的理解能力、推理論證能力以及物理學科素養中的物理觀念、科學思維，突出考查了綜合性和創新性能力。［1］

1 試題解析

（2023年高考全國甲卷理綜第20題）（多選）光滑剛性絕緣圓筒內存在著平行于軸的勻強磁場，筒上P點開有一個小孔，過P點的橫截面是以O點為圓心的圓，如圖1所示。一帶電粒子從P點沿PO射入，然后與筒壁發生碰撞。假設粒子在每次碰撞前、后瞬間，速度沿圓上碰撞點的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反；電荷量不變。不計重力。下列說法正確的是（" ）。

A. 粒子的運動軌跡可能通過圓心O

B. 最少經2次碰撞，粒子就可能從小孔射出

C. 射入小孔時粒子的速度越大，在圓內運動時間越短

D. 每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心O的連線

答案：B、D

解析：根據帶電粒子在圓形區域的勻強磁場中運動的特點和性質，粒子從P點沿半徑PO方向射入，必然沿半徑方向與圓筒壁發生碰撞。由于粒子在每次碰撞前、后的瞬間，速度沿圓上碰撞點的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反，所以每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定沿半徑方向，即平行于碰撞點與圓心O的連線，故選項D正確。既然粒子在每次碰撞前、后瞬間的速度沿半徑方向，那么粒子的運動軌跡是處于不同位置頭尾相接的相同的圓弧，不可能通過圓心O，故選項A錯誤。要使粒子能從小孔射出，那么粒子在磁場中全部軌跡圓心連接成的正多邊形，是以筒壁為內切圓的正多邊形，最少為正三角形（如圖2所示），即最少經2次碰撞，粒子才可能從小孔射出，故選項B正確。

本題的亮點是選項C的設計，該選項給學生留出了較大的思考空間，引導學生深入分析可能出現的各種情形。可以初步判斷，粒子的速度越大，做圓周運動的半徑越大，碰撞次數可能會增多，甚至不一定能從小孔射出，所以粒子在圓內運動時間不一定越短，故選項C錯誤。

下面對粒子在圓內運動可能出現的各種情形進行一般性的探討。

2 深入分析

當粒子以大小不同的速度從P點沿PO射入時（如圖3所示），每段圓弧軌跡的圓心角θ滿足0＜θ＜π，粒子與圓筒壁碰撞的相鄰兩個碰撞點與圓心O的連線之間的夾角為α，由幾何關系可知θ＋α＝π，那么α的取值范圍也滿足0＜α＜π。若粒子能從小孔射出，則必須滿足nα＝2kπ，其中n為圓弧軌跡的段數，k為粒子在圓筒中轉的圈數，而且n、k均為整數。

若粒子轉一圈后從小孔射出，則k＝1，即nα＝2π。由于0＜α＜π，所以n的取值滿足n≥3的整數即可，列舉幾種情況如圖4所示。

若粒子轉兩圈后從小孔射出，則k＝2，即nα＝4π。由于0＜α＜π，所以n的取值滿足n≥5的整數即可，列舉幾種情況如圖5所示。

若粒子轉三圈后從小孔射出，則k＝3，即nα＝6π。由于0＜α＜π，所以n的取值滿足n≥7的整數即可，列舉幾種情況如圖6所示。

綜上所述，可知n的取值范圍是n≥2k＋1，且n為整數，本文不再贅述。而當粒子射入小孔的速度變化時，粒子在圓內運動的時間如何變化？這需要區分不同的情況。

由洛倫茲力提供向心力qvB＝mv2r，可得軌跡半徑r＝mvqB，周期T＝2πrv＝2πmqB。粒子做圓周運動的軌跡半徑與速度成正比，圓周運動周期與速度無關，那么粒子在圓內運動的時間t＝nθ2π·T。

由以上討論可知，只有在“粒子轉一圈后從小孔射出”的條件下，才滿足粒子的速度越大，在圓內運動的時間越短。即k＝1，n＝3時，則α＝2π3，θ＝π－α＝π3，所以最短時間為tmin＝T2＝πmqB。然而，本題沒有這個限制條件，那么可能出現速度變大、粒子在圓筒內轉的圈數更多而運動時間更長的情況，所以不能簡單地認為粒子速度越大，在圓內運動的時間越短，故選項C錯誤。在選項的設計上，將選項C置于選項B之后，學生很容易受思維定式的影響而犯錯。

本題雖然源于學生熟悉的情境，但在試題設計上展現了創新，要求考生全面考慮粒子在圓形區域磁場內運動的各種可能情形。該題的設計對考生的發散思維能力提出了較高的要求，是一道能有效考查物理核心素養中“科學思維”能力的優秀題目。［2］

參考文獻

［1］教育部教育考試院. 高考試題分析：理科綜合（2024年版）［M］. 北京：語文出版社，2023：20-22．

［2］段石峰.帶電粒子在“電磁場”中運動模型的實例分析［J］.高中數理化，2022（24）：36-39.