高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對策略

王安拓 張華

摘 要：在當(dāng)前的高考壓軸題當(dāng)中函數(shù)導(dǎo)數(shù)是其主要的考點之一，近些年在各個地區(qū)的高考題當(dāng)中不斷創(chuàng)新，并且在這當(dāng)中，從歷屆高考數(shù)學(xué)實際的得分情況來看函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的得分情況不是很高，大部分考生的得分往往都比較低，通過近些年的考試總結(jié)分析，在這當(dāng)中主要有兩個方面的問題，第一，解題的思路不是很清楚；第二，對于函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)題目在實際的解答當(dāng)中對于其方法的掌握不是很清楚，雖然對方法平時掌握很多，但是在實際的問題當(dāng)中往往不知如何應(yīng)用，因此本文主要就選取近些年若干道壓軸題，對高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對策略進(jìn)行分析和探討。

關(guān)鍵詞：高考函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；壓軸題；應(yīng)對策略

一、運用轉(zhuǎn)化與化歸的方式解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問題

對于等價轉(zhuǎn)化思想，其主要就是對于一些未知的問題有效的轉(zhuǎn)變?yōu)楫?dāng)前已經(jīng)有的可以處理問題的范圍之內(nèi)的一種解題思想，采用合理的轉(zhuǎn)化，將一些比較復(fù)雜以及不規(guī)范的問題合理的轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^熟悉的問題。通過歷屆高考試題可以發(fā)現(xiàn)，等價轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的非常多。其轉(zhuǎn)化方式主要有以下幾個方面：①等價轉(zhuǎn)化；②將空間圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形；③實現(xiàn)整體和局部之間的有效轉(zhuǎn)變；④一般和特殊之間的轉(zhuǎn)變；⑤非等價轉(zhuǎn)變；⑥代換以及換元等方式的有效應(yīng)用；⑦正反之間的轉(zhuǎn)變；⑧數(shù)形之間的轉(zhuǎn)變；⑨相等和不等之間的轉(zhuǎn)化；⑩常量和變量之間的轉(zhuǎn)化；?對數(shù)學(xué)問題和實際的問題之間的有效轉(zhuǎn)變。

例1已知函數(shù)f（x）=2x3-3x。若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍。

解：曲線y=f（x）和點P（1，t）的直線相切點為（x0，y0），則y0=2x03-3x0，即切線的斜率為k=6x02-3，所以該方程主要是y-y0=（6x02-3）（x-x0）。將點P（1，t）代入，得t-y0=（6x02-3）（1-x0），整理得4x03-6x02+t+3=0。這樣其就有效的換變使得這個方程有三個不相同的解題方式。設(shè)g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”等價于“函數(shù)g（x）有3個不同零點”。

因為g'（x）=12x2-12x=12x（x-1），當(dāng)x變化時，g（x）與g'（x）的變化情況如下：

所以，g（0）=t+3是g（x）的極大值，g（1）=t+1是g（x）的極小值。

當(dāng)g（0）>0且g（1）<0，即-30，由于g（x）在區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，+∞）上單調(diào)，因此g（x）分別在區(qū)間（-1，0），（0，1）和（1，2）上各有1個零點，即g（x）分別在區(qū)間（-∞，0），（0，1），[1，+∞）上各有1個零點。

由此可以知道，在過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切時，t的取值范圍是（-3，-1）。

在對于這類問題進(jìn)行實際的研究和處理當(dāng)中，應(yīng)用科學(xué)合理的方式，能夠使得相應(yīng)的問題從相關(guān)的狀態(tài)當(dāng)中轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗獾膗昂太，即在完成轉(zhuǎn)化之后實現(xiàn)其他情形的相關(guān)問題能夠獲得合理的處理，采用這種方式對于問題的處理非常良好，并且也是一種科學(xué)合理的思想解題方式。在轉(zhuǎn)變當(dāng)中其通常特點主要就是多樣性以及層次性和重復(fù)性等，同時，在這當(dāng)中，按照相應(yīng)的解題原則實現(xiàn)函數(shù)的解答。對于上文中的題目轉(zhuǎn)化，能夠使得切線自身的條數(shù)有效的轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的零點數(shù)量，從而為函數(shù)題的處理奠定基礎(chǔ)。

二、運用分類與整合思想解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問題

對于分類和整合思想的應(yīng)用也是非常主要的一種數(shù)學(xué)解題思想方式，在問題相對應(yīng)的對象很難實現(xiàn)統(tǒng)一處理時，在這當(dāng)中，通常就需要對對象有效的分類處理，并且對于相關(guān)的類別實現(xiàn)研究，從而在此基礎(chǔ)上獲得這一類的結(jié)果，最終將各個結(jié)果有效的綜合起來，使得整體問題能夠?qū)崿F(xiàn)解答。從近些年高考試題當(dāng)中可以看出，對于分類以及整合思想在考察中主要有以下幾個方面：①對分類意識加強考察，在遇到相應(yīng)的分類問題時，需要確保對分類的目的以及問題合理的獲得；②采用何種方式實現(xiàn)分類，也就是對分類科學(xué)的實現(xiàn)，對分類標(biāo)準(zhǔn)需要確保其相同；③在完成分類之后對題目怎樣開展，加強討論，逐次開展，不能跳級；④如何整合。

例2已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx-2的圖像過點（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f'（x）+6x的圖像關(guān)于y軸對稱。

求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

若a>0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值。

錯解：一些學(xué)生認(rèn)為極值點相應(yīng)的應(yīng)該在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)，這樣就會出現(xiàn)解題錯誤。因此對于這一類問題，通常，相對于動區(qū)間的問題很多學(xué)生往往接觸不到，對于極值點的確定通常都需要有效的探討。

正解：運用分類與整合思想由上式得：m=-3，n=0，f（x）=x3+3x2-2，故f'（x）=3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2。當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：當(dāng)0

當(dāng)a=1，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無極值；

當(dāng)1

當(dāng)a≥3時，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無極值。

綜上得：當(dāng)0

在這當(dāng)中，因為區(qū)間（a-1，a+1）是動區(qū)間，f（x）的極值是否在區(qū)間（a-1，a+1）不能確定，所以相對于a∈R很難獲得f（x）的極值，這就需要對a實施分類，這樣才能夠?qū)τ趂（x）的極值點是否在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)有效確定，以此來對題目實現(xiàn)解答，在這當(dāng)中，對于分類的標(biāo)準(zhǔn)主要就是0和2是否屬于區(qū)間（a-1，a+1）。

三、結(jié)語

總而言之，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)當(dāng)中導(dǎo)數(shù)以及應(yīng)用是非常重要的內(nèi)容，是學(xué)生在大學(xué)階段學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在現(xiàn)階段高考試卷當(dāng)中其通常主要就是以壓軸題的方式所存在的，所以一般其信息量以及思維方式和運算量都很大，這就需要采用比較高的數(shù)學(xué)分析以及處理問題方式，因此在實際的問題處理中，一般就需要采用多個方式共同結(jié)合來處理，在這當(dāng)中，對其只要應(yīng)用科學(xué)合理就能夠獲得很高的效果。

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作者簡介：王安拓，山東省德州市第一中學(xué)。