對2017年高考全國Ⅲ卷拋物線解答題的思考*
2018-05-02 03:05:35劉剛趙毅
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年3期
劉 剛 趙 毅
北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)
2017年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)20題第(1)問是：已知拋物線C:y2=2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上．
本問實(shí)際上就是證明kOA·kOB=-1．在解答過程中出現(xiàn)了幾個關(guān)鍵點(diǎn)：kOA·kOB為定值；定點(diǎn)(2,0)；點(diǎn)A，B，O在拋物線y2=2x上，如果把這些要素一般化，它們之間有怎樣的關(guān)聯(lián)性呢？經(jīng)過思考與探究，得到了圓錐曲線內(nèi)接三角形的一組性質(zhì)．
性質(zhì)1 已知ΔPAB的三個頂點(diǎn)均在拋物線y2=2px(p>0)上，且P(x0,y0)為定點(diǎn)，直線PA,PB的斜率分別記作k1,k2，直線AB的斜率記作k．
注：(1)性質(zhì)3可參考性質(zhì)2的證明過程，請讀者自行完成；(2)這3個性質(zhì)的逆命題也都成立；(3)在證明性質(zhì)1，2的過程中，用到了齊次化的思想，簡化了運(yùn)算．
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