多角度認(rèn)識圓錐曲線的切線

楊艷萍

江西省九江第一中學(xué) (332000)

新課標(biāo)中的“四基”強(qiáng)調(diào)，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要獲得數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”，還要獲得數(shù)學(xué)“基本思想”和積累“基本活動經(jīng)驗”.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生在探究過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，應(yīng)滲透到教學(xué)的方方面面.本文，首先引導(dǎo)學(xué)生自己動手體驗二次曲線在一點處切線的形成過程，由此推導(dǎo)出二次曲線在一點處的切線.其次，利用一般到特殊的數(shù)學(xué)基本思想得到圓錐曲線在一點處的切線方程.然后，結(jié)合圓錐曲線定義和角平分線等基礎(chǔ)知識推導(dǎo)出圓錐曲線的切平分線.最后，將一點處切線方程和切平分線應(yīng)用到具體解題中.

1.從定義入手，推導(dǎo)切線方程

學(xué)生動手在紙上畫一條二次曲線，曲線上一點P，過點P作直線交曲線于點Q，讓學(xué)生將尺子與直線PQ重合，當(dāng)點Q沿著曲線向點P靠近時，學(xué)生用手推動尺子繞著點P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點Q無限的靠近點P時，尺子由曲線的割線趨近于點P處的切線.學(xué)生通過自己動手體驗二次曲線切線的形成過程，能直觀的得到結(jié)論：曲線在點P處切線的斜率是當(dāng)點Q沿著曲線無限趨近點P時，割線PQ的斜率.

證明：設(shè)過點P的直線交曲線E于點Q(xQ,yQ)，則

由(1)-(2)得

由推論得以下結(jié)論(簡稱：代一半留一半)：

特別地圓E：(x-a)2+(y-b)2=R2在點P(xP,yP)處的切線方程為(x-a)(xP-a)+(y-b)(yP-b)=R2；

(4)拋物線E：x2=2py在點P(xP,yP)處的切線方程為xPx=p(yP+y).

2.從幾何入手，探究切線性質(zhì)

圓錐曲線切線的性質(zhì)很多，限于篇幅，本文僅討論圓錐曲線的切平分線：

(1)拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F，P是拋物線E上任意一點，則拋物線E在點P處的切線與直線PF傾斜角的角平分線平行.

圖1

即拋物線E在點P處的切線與直線PF傾斜角的角平分線平行.

圖2

(3)證明與(2)相似.

3.從試題入手，強(qiáng)化切線的應(yīng)用.

切線的應(yīng)用，主要圍繞幾何性質(zhì)與代數(shù)方程這兩個方面，有時需要兩者兼顧.

3.1 切線幾何性質(zhì)的應(yīng)用

例1 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，P是拋物線上任意一點，過F作拋物線在點P處的切線的垂線，垂足為點Q，求證：點Q在定直線上.

分析：解析幾何問題就是幾何問題，應(yīng)結(jié)合圖像理順各條件之間的關(guān)系.本題中拋物線上任意一點P處的切線都與直線PF傾斜角的角平分線平行,從平行線入手，借助平行線的性質(zhì)，便可得到FT=PF，從而推出點Q在定直線y軸上.

圖3

分析1：充分利用幾何條件，發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，是研究幾何問題的重要之舉.在幾何圖形中，有關(guān)幾何要素之間的關(guān)系，有很多優(yōu)美的性質(zhì)，其中一類性質(zhì)是：隨著某些要素位置或數(shù)量的改變，其他某些要素會表現(xiàn)出不變性.

本題中ΔFAB的周長就不隨著直線AB的改變而改變，從該定值入手，借助三角形三邊關(guān)系，便可求|AB|的最大值.

3.2 切線方程的應(yīng)用

分析2:由上知例2解題的關(guān)鍵是：如何處理三個圖形的位置關(guān)系，在此過程中，三個點(A,B和切點)的恰當(dāng)使用是關(guān)鍵中的關(guān)鍵.從題目問題來看，題目考查運動變化過程中，變量之間的函數(shù)關(guān)系，如何構(gòu)造函數(shù)關(guān)系和如何求最值，是解決本題的兩個重要環(huán)節(jié)，首先需要解決構(gòu)造函數(shù)的問題，最值則需要視函數(shù)形式而定.

顯然，一切變化皆因m而起！m的變化必導(dǎo)致切線AB的變化，所以線段AB的長一定是參數(shù)m的函數(shù).有了這個信念，我們就可以自信地一步一步地將各有關(guān)的量用參數(shù)m表示，最后即可得到|AB|關(guān)于參數(shù)m的函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值即可完成解題任務(wù).

假設(shè)各個要素的構(gòu)造順序是：切點P——切線l——交點A,B——弦AB.因此可以從設(shè)圓的切線入手，其與橢圓相交成弦AB，將弦長|AB|表示為變量m的函數(shù)，再求弦長的最大值.

(1)求橢圓C的方程；

分析：解決本題(2)(ⅱ)的關(guān)鍵是：如何處理三個點(A,B和切點P)的關(guān)系是關(guān)鍵.從題目問題來看，題目考查運動變化過程中，變量之間的關(guān)系，如何建構(gòu)函數(shù)關(guān)系式和如何抵消變量是解決本題的兩個重要環(huán)節(jié)，首先需要解決構(gòu)造三角形面積函數(shù)問題，再利用變量之間的關(guān)系抵消變量.

假設(shè)各個要素的構(gòu)造順序是：切點P——切線l——交點A,B——弦AB.因此可以從設(shè)圓的切線入手，其與橢圓相交成弦AB，將弦長|AB|和原點O到直線l的距離d表示為點P坐標(biāo)的函數(shù)，再抵消變量得到定值.