高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)文化觀

【摘要】高等數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容有微積分、常微分方程、級(jí)數(shù)和空間解析幾何等，本文探討高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)文化觀。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；微積分；常微分方程

高等數(shù)學(xué)是高校理工科專業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課。高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)涉及面廣泛，主要內(nèi)容有微積分、常微分方程、級(jí)數(shù)和空間解析幾何等內(nèi)容。教師做到從文化的層面了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)，以便能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中將數(shù)學(xué)文化滲透每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，以拓寬學(xué)生的知識(shí)面，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。下面具體分析高等數(shù)學(xué)四大主要知識(shí)：微積分、常微分方程、級(jí)數(shù)和解析幾何中的數(shù)學(xué)文化。

一、微積分中的數(shù)學(xué)文化

微積分的創(chuàng)立，是為了解決17世紀(jì)主要的科學(xué)問(wèn)題。當(dāng)時(shí)主要有四種主要類型的問(wèn)題。第一類是物理中的問(wèn)題，變速直線運(yùn)動(dòng)中已知加速度求速度和距離。第二類是求曲線的切線。第三類是求函數(shù)的最大值和最小值。第四類是求曲線長(zhǎng)、物體的中心、引力。這些問(wèn)題被很多個(gè)數(shù)學(xué)家諸如羅貝瓦爾、巴羅、費(fèi)馬、卡瓦列里、沃利斯研究過(guò)，其中貢獻(xiàn)最大的是牛頓和萊布尼茨。牛頓受沃利斯的影響比較多，他主要運(yùn)用無(wú)窮小的方法來(lái)研究微積分。萊布尼茨從1684年開(kāi)始發(fā)表微積分論文，他非常注重微積分的規(guī)范，建立了微積分的法則和公式。他很早就意識(shí)到，微分和積分是相反的過(guò)程。他的工作借助于伯努力兄弟做了大量的發(fā)展。對(duì)于微積分的優(yōu)先權(quán)一直在爭(zhēng)論，萊布尼茨被認(rèn)為是剽竊者。后來(lái)的查證發(fā)現(xiàn)他們二人都是獨(dú)立的完成微積分的創(chuàng)立工作。所以現(xiàn)今把他二人作為微積分的創(chuàng)立人。

在有了定積分和不定積分后，兩者之間有什么關(guān)系呢？求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)下的路程過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們定義了定積分。定積分和微分學(xué)本無(wú)直接聯(lián)系。不定積分，萊布尼茨早就發(fā)現(xiàn)不定積分是“導(dǎo)數(shù)”的反問(wèn)題。兩者之間的關(guān)系在牛頓—萊布尼茨公式中找到了答案。

二、常微分方程中的數(shù)學(xué)文化

18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家謀求用微積分解決越來(lái)越多的物理問(wèn)題，很快他們發(fā)現(xiàn)不得不對(duì)付一類新的問(wèn)題。微分方程就應(yīng)運(yùn)而生了。有幾類物理問(wèn)題促進(jìn)了微分方程的研究，比如：彈性理論這一領(lǐng)域的問(wèn)題；擺的問(wèn)題；月球的運(yùn)動(dòng)。常微分方程最早的著作出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們彼此的通信中或者出現(xiàn)在那些常常重登書(shū)信中建立的或說(shuō)明的結(jié)果的刊物中。

三、級(jí)數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

在18世紀(jì)，甚至到今天，無(wú)窮級(jí)數(shù)一直被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分。實(shí)際上，牛頓研究級(jí)數(shù)是和他的流數(shù)法分不開(kāi)的，因?yàn)閷?duì)于稍微復(fù)雜一些的代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，只有把他們展成無(wú)窮級(jí)數(shù)病進(jìn)行逐項(xiàng)濰坊或積分，他才能處理他們。數(shù)學(xué)家們學(xué)會(huì)歐諾個(gè)有盡的形式來(lái)研究初等函數(shù)。雖然如此，級(jí)數(shù)仍然是某些函數(shù)的唯一表達(dá)式，而且是級(jí)數(shù)初等超越函數(shù)最有效的工具。17世紀(jì)后期和18世紀(jì)，擺在數(shù)學(xué)家面前的問(wèn)題之一是函數(shù)表的插值。為了適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的進(jìn)展，要求三角級(jí)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和航海表的插值有較大的精度。格雷戈里—牛頓內(nèi)插公式由泰勒發(fā)展成一個(gè)把函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的最有利的方法。

四、空間解析幾何中的數(shù)學(xué)文化

18世紀(jì)歐拉，克萊羅等數(shù)學(xué)家在空間解析幾何中的貢獻(xiàn)非常大。1700年前就已經(jīng)有了二次曲面的概念。惠更斯引進(jìn)了微積分來(lái)處理平面曲線?？巳R羅開(kāi)創(chuàng)了空間曲線的理論。和空間曲線的理論意義，曲面的理論經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的開(kāi)端。曲面理論是從曲面（主要是地球）上的測(cè)地線的研究開(kāi)始的。曲面論的一個(gè)主要方面是由于繪制地圖的需要而發(fā)展起來(lái)的，這就是研究可展曲面，即可以將其平攤在平面上而不產(chǎn)生畸變的曲面。歐拉是研究這個(gè)問(wèn)題的第一人。

高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)是18世紀(jì)西方數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)容。其發(fā)展過(guò)程曲折?，F(xiàn)今我們所學(xué)知識(shí)得益于數(shù)學(xué)家們的獨(dú)創(chuàng)性。這些知識(shí)點(diǎn)都是數(shù)學(xué)家們?cè)诮鉀Q當(dāng)時(shí)熱點(diǎn)問(wèn)題所提出來(lái)，并且作了不斷的理論完善和論證。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

作者簡(jiǎn)介：歐陽(yáng)云（1982—），女，江西萍鄉(xiāng)人，河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，副教授，研究方向：微分方程。