挖掘習題資源 優化課程資源

☉江蘇省丹陽市第五中學 林偉民

蘊含著數學知識的例題、習題是學生掌握數學基本知識、方法、思想、技能的主要資源，訓練強化是傳統教學中達成知識的掌握與能力的提升，但是，僅僅利用訓練是無法使學生勝任富含智慧與挑戰性的數學學習的.近年來的很多高考試題都尤其側重于例題、習題的再加工與創造，因此，教師應不斷更新教學觀、教材觀并將教材中的習題教學資源充分挖掘出來以實現課程資源的不斷創造.

一、挖掘重要結論

挖掘習題或復習參考題在解題中的作用能夠使學生更加深刻地認識到數學知識、定理等的本質與價值，因此，教師應在深入研究教材意圖的基礎上逐步提煉典型例題或習題的思維方法并為學生學習與解題作出示范與指導.

比如，在拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作一直線與拋物線相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點這一問題中，就可以挖掘出y1y2=-p2（*）這一結論，教師可以引導學生體會這一結論在解題中的作用以補充課程資源.

例1 過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點.求證

二、挖掘思想方法

教師在教學中應時刻注意教學過程中教與學的雙向性并將數學知識與思想方法融于整個教學過程中，這對學生數學能力的培養、數學思維品質的提高、例題教學效率的提升來說都是極其有利的.例如，下述函數奇偶性的習題教學中就可以著眼于思想方法的挖掘以創

三、改進條件結論

造課程資源.

例2已知偶函數（fx）在（0，+∞）上為增函數，（fx）在（-∞，0）上是增函數還是減函數呢？請證明你的結論.

師：結合偶函數的圖像特征與本題實際請判斷（fx）在（-∞，0）上的單調性.

生：函數（fx）在（-∞，0）上為減函數.

師：要想證明你的結論，應著眼于哪個內容的證明呢？

生：證明當x1＜x2＜0時，（fx1）＞（fx2）.

師：假如已知函數的單調遞增區間為（0，+∞），我們應該怎么把未知區間上的x1＜x2＜0轉化至已知的單調遞增區間（0，+∞）上呢？

生：因為x1＜x2＜0，因此只要乘-1，得-x1＞-x2＞0.

師：題中（fx）在（0，+∞）上為增函數這一條件告訴了我們什么？

生：（f-x1）＞（f-x2）.

師：我們可以借助什么條件來建立（f-x1）與（fx1）、（f-x2）與（fx2）的關系呢？（f-x1）與（fx1）、（f-x2）與（fx2）之間的關系又是怎樣的？

生：根據題中已知的（fx）為偶函數這一條件可知，（f-x1）=（fx1），（f-x2）=（fx2）.

教師與學生在問答之間不斷完善解題過程，數形結合這一思想方法與分析法這一解題方法在解題中得到了很好的運用、領會與理解.學生在數學思維得到鍛煉的同時也提升了自己分析與解決問題的能力.

對教材習題的條件和結論之間的關系進行深入的研究能夠挖掘出一系列的問題，處于這一系列問題核心的教材習題不僅能夠揭示問題的本質，同時還能給學生創造更多橫向、縱向的思考空間.

以（*）為例，假如直線不是經過焦點卻是x軸上的某一定點，結論又會產生怎樣的變化呢？如果命題的條件與結論對換之后命題還會成立嗎？

例3 過x軸上一定點（m，0）作直線與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A，B兩點，若A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2是不是定值呢？

例4 直線l與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A，B兩點，若A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=-p2，直線l是否會經過某一定點呢？若x1x2=p2又會怎樣？

這兩個問題并不難，但教師在教學中應將自己的教學重心從片面注重知識傳授轉變為學生學習能力的培養上，不僅如此，教師還應在關注學生學習結果與過程中引導學生學會觀察、思考、表述以及動手操作，使學生在學會自己歸納、分析問題的過程中學會自主學習，在親身經歷、感受、理解知識的產生與發展中鍛煉自己的數學素養與創新思維能力.

四、探究一般結論

教師在教學時如果能夠在教材的運用上不時調適取向并對教材習題的功效進行有效的挖掘，結合不斷創生取向的教學方式必然能夠開發出更多可以利用的數學課程資源，這些課程資源的合理應用能夠很好地培養學生的思維能力與數學綜合素養.

例5 已知等比數列{an}的前n項和為Sn，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a6成等差數列.

教師和學生根據這一題目是否能夠推廣并最終得到一個一般性的結論呢？教科書習題的使用價值會因為這一問題的推廣得到更大的提升，因此，教師應將單純的作業訂正課進行一定的改進，使得學生能夠全身心地投入到探究性學習的活動課中來.

師：大家覺得推廣這一結論可以從哪些方面切入呢？

生1：將3，6，9改成k，2k，3k來試試看呢？

生2：或者改成k，k2，k3試試看呢？

師：大家覺得這樣變化可以嗎？等會兒我們可以進行檢驗.

師：如果按照大家的想法，那將2，5，8改成什么呢？

生1：我覺得可以改成k-1，2k-1，3k-1.

生2：或者將其對應寫成k-1，k2-1，k3-1.

師：我們的猜想對不對呢？我們應該怎樣檢驗這些猜想呢？

生：可以運用證明來解決.

師：大家有沒有考慮過這些命題的反面是否成立呢？

生：證明它們的逆命題也是可以的.

接著，教師可以引導學生對自己的猜想付諸實踐中探索、整理并達成檢驗的目的，經過師生的共同研究發現生1的做法是可行的，生2的猜想是不能成立的，整理結果如下：

變式1：設Sn為等比數列{an}的前n項和，k∈N，k≥2，如果Sk，S3k，S2k成等差數列，那么ak-1，a3k-1，a2k-1成等差數列.

證明：將等比數列{an}的公比記作q，易知q≠1.

因為Sk，S3k，S2k成等差數列，

所以ak-1+a2k-1=2a3k-1，所以ak-1，a3k-1，a2k-1成等差數列.

令人感覺有趣的還有：

變式2：設Sn為等比數列{an}的前n項和，其公比q≠1，k∈N+，k≥2，且ak-1，a3k-1，a2k-1成等差數列，那么Sk，S3k，S2k也成等差數列.

證明：由ak-1，a3k-1，a2k-1成等差數列可知，

所以Sk、S3k、S2k成等差數列.

教師接著再引導學生從命題1與命題2的探討中歸納出這方面的定理，習題探究的功效也在這一過程中得到了完美的體現.

五、深化問題研究

學生解題能力的鍛煉必須要有一定的練習作為支撐，不過，僅憑練習但不關注內涵很有可能適得其反.比如說，拋物線的焦點弦的一些問題鏈中所包含的思想方法一樣可以推廣至其他圓錐曲線的解題中，因此，教師在教學中應加強多題一解或一題多解的研究使問題變得更加深入，課程資源得到深化、整合的同時也使學生的知識結構得以網絡化.

總之，教材中這些蘊含數學知識的例題、習題同時也隱藏著學生應該掌握的基本思想、方法與技能，傳統教學中的強化訓練往往會把學生鍛煉成機械解題的操作工，這與新課程對教師的教與學生的學所提出的要求都是極不相符的，因此，教師一定要把教材中隱含的資源挖掘出來并將其設計成供學生挑戰的練習，立足教材但又優于教材、超越教材的設計與創新使學生能夠在知識原型上得到思維的深入與拓展，學生在富有思想性的數學知識產生的過程中探索、交流并不斷提升自己的思維能力，課程資料的挖掘與整合也使學生良好的數學素養與品質得以形成和發展.H