論數學文化與數學教育

麥蔚鋒

摘 要 數學是人類的一種文化，數學文化的內涵有其特性。從數學文化本質去了解其歷史觀、哲學觀、學科觀、美學觀和創新觀，更能讓人們知道數學文化在數學教育中的作用和地位，讓數學文化融入到數學教育教學實踐中，從而實現數學在學科中的進步。

關鍵詞 文化 數學文化 數學教育

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.01.028

On Mathematical Culture and Mathematics Education

MAI Weifeng

（Shiqiao Qiaolian Middle School， Guangzhou， Guangdong 511400）

Abstract Mathematics is a kind of human culture； the connotation of mathematical culture has its own characteristics. From the nature of mathematical culture to understand its concept of history， philosophy， discipline， aesthetics and innovation， but also to enable people to know the role of mathematical culture in mathematical education and status， mathematics and culture into the mathematical education and teaching practice， thus achieve the progress of mathematics in the discipline.

Keywords culture； mathematical culture； mathematics education

二十世紀美國數學家M.克萊因（Morris·Kline）認為：“數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵?！钡聡鴶祵W家外爾說過：“數學除了語言與音樂之外，人類心靈自由創造力的主要表達方式之一，……，數學必須保持為知識、技能與文化的主要構成要素，而知識與技能是得傳授給下一代的，文化則是需要下一代傳承的?！?/p>

因此，數學是以一種文化體系的形式屹立于人類文化之中，并影響著人們的生活與生產活動，從而讓人們不斷認識、追求與傳承數學文化。

1 數學文化的涵義

1.1 什么是數學文化

《原始文化》中記載：“文化是知識、信仰、藝術、道德、法律、習俗和任何人作為一名社會成員而獲得的包括能力和習慣在內的復雜整體?！睂W者認為，數學是一種文化，數學對象是人類抽象思維的產物，是人類文化的組成部分。數學不僅是關于數的世界、形的世界或更廣闊的科學，數學還是一門充滿人文精神的科學。

美國學者R.Wilder認為：“數學是一個由于其內在力量與外在力量共同作用而處于不斷發展和變化之中的文化系統。”李興懷先生認為：“數學文化是社會群體在各種數學活動中所創造的物質財富和精神財富的總和。”[1]此種說法表明，數學文化包括數學知識體系、數學的思想方法等精神內容。

顧沛教授從狹義和廣義兩方面談及數學文化，他認為，狹義的數學文化，即數學的思想、觀點、方法、語言及其形成和發展過程；廣義的數學文化，還包括數學史、數學家、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分以及數學與各種文化的關系。

顯然，數學文化不是單一的“數學”+“文化”，其內涵呈現開放、多元和動態的數學內部及其與外部的聯系。《課程標準》提出：“數學是人類的一種文化，它是現代文明的重要組成部分?！?/p>

數學是人類寶貴的文化財富。數學文化究其本質，是指數學作為人類認識世界和改造世界的一種科學語言、思維工具、思想方法、理性精神、活動產品，是數學在人們在實踐中所創造的物質財富和精神財富的積淀，是數學與人類的結合。

2 數學文化的學術氣息

2.1 數學文化的發展觀

整個數學的發展史是和人數物質文明和精神文明的發展史交融在一起的。數學不僅是一種精確的語言和工具、一門博大精深并應用廣泛的科學，而且更是一種先進的文化。它在人類文明的進程中一直起著積極的推動作用，是人類文明的一個重要支柱。[2]

數學發展經歷了一個漫長的時期。它影響著每一個時期的思想、觀念與精神，數學具有獨特的歷史使命。

從數學的發展上，經歷四個歷史時期。第一個時期為數學的起源與早期發展，主要以古埃及的幾何學、古巴比倫的代數學、古印度的阿拉伯數字為代表。第二個時期稱為初等數學時期，又分三個不同的歷史時期：古希臘時期（公元前6～6世紀）數學、中世紀（3～15世紀）東方數學和歐洲文藝復興時期（公元15～16世紀）。第三個時期稱為近代數學時期（公元17～18世紀），即變量數學時期，經歷了兩大步驟：第一步是解析幾何的產生；第二步是微積分的創立。第四個時期稱為現代數學時期（公元19世紀20年代以來），數學發展的主要特征是空前的創造精神和高度的嚴格精神相結合。其中典型的成就包括分析學的嚴格化、射影幾何的復興及非歐幾何的誕生、代數中群論和非交換代數學的產生以及公理化運動化的開端等。[3]

2.2 數學文化的哲學觀

古希臘時代，哲學思想一定程度上來自數學，數學與哲學密不可分。數學文化的哲學觀，就是把數學看作一門思維學科。

2.2.1 數學與哲學的聯系

著名數學家B.Demollins說，“沒有數學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透?！睌祵W與哲學之間緊密聯系，彼此相互促進，共同推動科學的發展。數學與哲學都具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，數學是研究事物的量及其關系的具體規律，哲學則是研究自然、社會和思維的普遍規律。所以數學與哲學是個性與共性、特殊與普遍的關系。[4]

哲學依賴數學等具體學科為其提共大量豐富的具體知識與具體規律，在此基礎上加工改造，才能抽象、概括出整個世界最一般的本質和最普遍規律。數學學科能夠解釋并驗證人們對客觀世界的一般認識規律。

然而，哲學必然為數學學科發展提供正確的世界觀和方法論上的指導。例如，推導一個圓的面積公示時，將圓分割成n個扇形，拼成類似長方形，當n不斷增大時，弧線拼接轉化成直線，n→∞時，多個扇形的面積之和轉化為矩形的面積，從而推導圓的面積公示為S= r2。由近似值轉化為精確值，這個過程蘊藏了矛盾的對立統一和量變質變的規律，其中哲學思想在數學研究中的指導作用是非常重要的。

2.2.2 數學與哲學的區別

一方面，兩者的思維方式不同，數學是從量的角度去分析問題，而哲學是從質的角度去分析問題。另一方面，兩者的研究問題的著眼點和采用的研究方法不同，數學注重單純的數量關系，使用分析工具是各種運算法則，包括數學定理、公式等。哲學注重不同質之間的關系，使用的工具是大腦的抽象能力，即分析與綜合能力，在數學悖論領域，兩者所研究的問題和分析方向大不一樣。

康德對于數學與哲學差別的觀點：哲學知識是出自概念的理性知識，數學知識則是出自概念的構造的理性知識；哲學知識只在普遍中考察特殊，而數學知識則在個別中考察普遍。

還有一些觀點認為，數學與哲學研究對象不同，研究方法也不同。更有人認為：“哲學從一門學科的退出，意味著這門學科的建立；而數學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟?！?/p>

2.2.3 數學的哲學思維

數學的哲學思維包括抽象思維、直覺思維、形象思維、邏輯思維四方面。

抽象思維是數學文化哲學思維的靈魂。抽象思維的本質是將事件中核心要素加以歸納，從而擴大推廣，達到普遍應用。比如數學史上的“將軍飲馬問題”，故事中的將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后再到B點宿營。請問怎樣走才能使總的路程最短？通過抽象，把河邊看著一條直線，在線上尋找一點P，使PA+PB最小，轉化為最短路徑問題。通過對最短路徑問題的解決，發現問題的本質是點關于直線對稱（對稱性）問題，以后遇上類似的問題就可以使用對稱性，從而解決問題。

直覺思維是數學文化哲學思維的又一組成部分。直覺思維屬于非邏輯，其特點是突然出現和非預期性。數學家龐加萊一直堅持：“邏輯可以告訴我們走這條路，或告之那條路保證不遇到任何障礙，遺憾的是，卻不能告訴我們哪一條道路能引導我們到達目的地。數學教導我們瞭望的本領是直覺，直覺實際上是一種機敏的洞察力，是一種無法言傳身教的，同時是每個數學家所必不可少的素養。”

形象思維可以激勵人們的想象力和創造力，它借助數學想象，包括視覺想象、聽覺想象和觸覺想象。數學的形象思維是真實存在，它在乎對數學的相關性質、密切聯系以及知識融合過程的形象化感覺。

邏輯思維作為數學文化的底蘊，是數學哲學的核心部分，能將知識緊密融合在一起，貫穿著數學學科各個分支。數學真理往往通過邏輯思維得到驗證，演繹與歸納方法是首選。此時，邏輯思維實現使數學文化系統化、科學化。通過邏輯推理，可以將分散的數學知識點串起來，構建出一個直觀、形象、抽象的結構系統。羅素對數學邏輯思維有形象的描述：“以人的成長來啟發，即邏輯是數學的青年時代，數學是邏輯的壯年時代，兩者沒有明確分界。”

2.3 數學文化的學科觀

M.克萊因曾說過：“數學是一種方法，更是一門藝術或一種語言。同時，數學又是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對哲學家、邏輯學家、自然科學家、社會科學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說。”愛因斯坦對數學如此的評價：“在現代經驗科學中，數學已嶄露頭角，能否接受數學方法已越來越成為該學科成功與否的主要判別標準，我們深信不已?！?/p>

很多的事實表明，數學來源于現實世界，在現實世界涌現出在人與自然之間的諸多問題，是數學科學的基礎。人們借助經驗的發展，經過對比、類比、延伸、歸納等方法，結合對現實世界的觀察與探索，從而抽象出概念、定義、公理或定理。2000多年來，數學的定義、公設、定理不斷應用到人們生活實踐中，常見的數學分支有算術和數論、幾何學、拓撲學、群論、概率、統計學、集合論、組合論、邏輯、微積分學等。

數學概念的抽象、歸納，應用到現實生活中，形成了數學模型。數學模型是對現實世界的對象物化后的東西，是數學思想活動的體現，更是一種靈魂。

2.4 數學文化的美學觀

我們研究數學文化，不能離開數學文化美學觀的范疇。對數學的審美追求已成為數學得以發展的重要源動力。維納稱：“數學實質上是藝術的一種?！饼嫾尤R也說過：“感覺到數學的美，感覺到幾何的優雅，數學的美是一種難以用精妙的語句描述，但卻又是數學家能清楚地感受到的?！?/p>

數學美的表現形式是多樣的，從內容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從方法及思維看，有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美；從美好角度看，有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。[5]

數學美有其獨特性，如在命題模型、公式符號、抽象概念、系統結構、思維方式、推理論證等方面，表現出簡異、和諧與優美，它是數學創造的自由形式，它揭示了規律性，是一種科學的真實美。

數學語言的簡潔是一種美。數學語言抽象而精確、簡練而多樣、科學而通用。數學語言大體分為數學文字語言、數學符號語言和數學圖表語言。三種語言各有優勢，文字語言通俗、易懂；符號語言十分簡潔，描述起來給人以結構感；圖表語言更直觀、形象。

數學符號表達的內容極其廣泛而豐富，正是數學美的一個方面。數學的符號美被人們認同的原因有：數學符號的方便性、簡結性、代表性。幾何形體中那些優美的圖案（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）更是令人賞心悅目。

在“對稱”中往往體現出數學的“美”來。幾何中具有對稱性的圖形很多，都給我們一種舒適優美的感覺。從古希臘時代起，對稱性就被認為是數學美的一個基本內容。幾何中的對稱性如軸對稱、中心對稱、鏡像對稱等圖形很多，都給我們一種舒適優美的感覺，在園林建筑等方面體現得無微不至。如箏形、楊輝三角都組成美麗的平面對稱圖形。

和諧美，又稱統一美。和諧性是數學結構美的重要標志，表現為各種數學形式在不同層次上的高度統一和協調，反映了客觀世界的和諧與統一。希爾伯特的觀點：“和諧統一，是這門學科固有的特點，因為這是一切自然科學知識的基礎，不容置疑。”猶如黃金分割理論，其應用于正五角星每條邊的分割、維納斯像雕塑設計、主持人站在舞臺黃金分割位置等，無不體現數學的和諧美。數學推理的嚴謹性和無矛盾性也是和諧美的一種體現，其猶如藝術作品中合理的布局、流暢的線條和層次分明的色階。和諧性則是嚴謹性的必要條件，其和諧性表現特別突出。

奇異美也是數學美的一個基本內容。數學中，我們經歷了出人意料的反例、巧奪天宮妙的解題方法以及不可思議的結論，令人眼前一亮，驚訝不已，這是數學的奇異之美。我們解某一數學問題，如果從某一角度用某種方法難以奏效時，不妨換個角度去思考，換個方法去處理便可能“迎刃而解”，達到事半功倍的效果。又如數學思維的奇異性。數學思維具有高度的簡潔性和概括性，從而保證了數學思維的奇異性和統一性，高度的簡潔性反作用于現實世界，蘊藏著思維的奇異性。克萊因指出：“數學思維的符號化，具有高度的簡潔性，數學語言是通過精心地設計的，其具有簡潔性、嚴密性、抽象性、概括性，如此簡潔性有助于思維的效率?！睌祵W思維由于其高度的簡潔性和概括性保證了數學思維的統一性和奇異性。

2.5 數學文化的創新觀

數學是一門具有創造性的科學，創新是數學文化發展的強大動力，只有不斷創新，數學發展才持久不息。

數學具有典型的學科獨立性，不受其他學科的制約。數學的創新具有兩大特性：一是原創性。人們在生產實踐中直接發明或發現的數學文化原理和內容，具有原創性。我們認識到數學的原創性，比如點、線、面、體的定義及其特性，數學中的公理、定義等都具有原創性。數學方法是一個知識工具，是其他知識工具的源泉，對新興學科起到支撐作用。

與原創性創新相比，繼承性創新同樣具有不可忽視的作用和影響力。從早期歐氏幾何原本理論體系，到希爾伯特的《幾何基礎》，通過繼承、修正，創立了新的幾何學。如我國數學家華羅庚教授對優選法的推廣就是一個例證。因此，一門學科要完善、發展，繼承性創新工作尤為重要。

3 數學文化在數學教育中的作用與地位

人類文化不斷向前發展，人們在文化需求日益突顯，數學文化在數學教育中的作用明顯，地位越來越高，這是事物發展的必然趨勢！我們簡要探討其作用與地位：

3.1 對提高學生的數學能力有利

我們知道，數學能力是多方面的。數學文化對培養學生的數學能力主要表現在：（1）培養學生對數學美的識別能力。（2）培養學生對邏輯思維的推理能力。（3）培養學生對知識奧秘的探究能力。（4）培養學生對數學思想方法的運用能力。（5）培養學生解決現實問題的應用能力。

3.2 對培養學生的學科興趣有利

在常規學習中，人們認為數學學習是枯燥、乏味，參與數學課堂時總顯得消極，表現得無興趣。其實，人們對數學學科可能認識不深，或是課堂授課時沒有傳授數學學科的特性所致。在數學課堂上，教師應讓學生了解數學家的生平故事，感受數學概念的來源以及公式的發現，對數學定理開展探究與推理，將數學與實際生活、生產活動聯系在一起，從而引起學生的積極反映，激發學生的好奇心。數學文化的傳承，可以拓展學生的學科視野，培養學生的邏輯思維能力，使數學課不再枯燥，讓數學成為生動、有趣的學科。

3.3 對提升學生的數學素養有利

在授課中，幫助學生培養數學思想方法，構建數學知識系統。數學文化涵蓋了豐富的數學思想方法，有利于學生通過學習數學文化，鍛煉學生的思維能力。在中學課程中，從算術到代數，從常量到變量，從確定性到隨機性，從平面幾何到立體幾何，教學內容發生了質的變化。

從數學發展史上看，其蘊含的數學思想有方程思想、函數思想、整體思想、分類思想、化歸思想等等，以及從一般到特殊、從特殊到一般、歸納與演繹。

王梓坤院士談到數學教師職責時認為：“培養學生對數學的興趣是數學教師職責所在，學習興趣給了他們長久鉆研數學的動力。一位優秀的數學教師，讓學生能永志不忘，究其原因是他點燃了學生心靈中熱愛數學的熊熊烈焰?！盵6]

4 在數學教育實踐中滲透數學文化

目前，數學教育只停留在學科內容傳授層面，只有深入學科的文化層面，才能真正提高學生的數學素養，提升數學素質，促進數學和諧發展。數學教育不僅要傳遞學科知識，同時也是不斷提高學生的數學素質、文化素質、科學素質和思想素質。因此，重視數學的文化價值，有利于開展數學文化的傳承與深化。

隨著社會科技與人類文化不斷發展，適應時代的要求，有必要建立與時俱進的數學文化課程體系。在課程體系中應解決數學“三性“的關系：科學性、文化性、教育性三者關系，他們互相聯系與作用，從而實現科學、文化、教育三位一體的課程目標。

另外，教育者應需要更新理念，形成正確的教學教育觀；不斷充實教學內容，豐富數學文化的內涵；倡導師生互動，開展研究型教學活動；改革評價方式，促進數學文化的滲透。[7]

4.1 借助數學史實，滲透數學文化的人文價值

數學不僅是知識，也是一種文化，同時體現一種哲學。數學史實是一種文化沉淀，它記載了數千年的數學精神與數學力量。通過史學教學，讓學生重新體現數學知識的起源、產生、演變與發展過程，發展學生對數學體系的整體認識，從而激發學生的學習興趣。而且，讓學生領會數學發展的歷史及其偉大成就，深刻體現數學文化的價值源泉。

4.2 啟迪數學思想方法，滲透數學文化的理念價值

數學思想方法作為數學文化的核心組成部分，每一個數學知識的產生、推理、應用都講究思想方法，數學思想方法貫穿整個數學領域。課堂教學中，結合教學內容深入洞悉知識的聯系，對方程函數思想、等價轉化、數形結合思想、分類討論思想等多明析，讓學生領會數學的思想方法，更利于學生掌握數學知識，建立知識結構體系，培養學生系統地分析問題，抽象而有邏輯地構建思維能力，升華至一種文化理念。

4.3 演繹知識的生成過程，滲透數學文化的科學價值

我們知道，掌握數學中的概念、定理發明或發現的精髓，是學習數學的重要手段。因此，課堂教學既要讓學生獲得知識、技能、價值觀，又能通過獲得知識的過程來生成與發展學生的能力。數學思想、精神、理念都依附在知識生成過程中，課堂教學可以通過創設知識的產生、發展的過程，使學生在追尋數學發展的歷史足跡的過程中，感受到數學知識形成的過程，體會到數學知識的發展趨勢，即讓學生觸摸到數學知識的來龍去脈。通過知識的演繹，讓學生親身體會到數學本身的需求和社會發展的需要，這是逐步形成正確的數學觀的關健所在。[8]

4.4 將數學回歸生活，滲透數學文化的應用價值

從古希臘時代起，數學融入生活，很多的數學知識來源于生活，應用于生活。數學的教育教學要接近現實生活與社會生活，讓學生認識到生活中處處有數學。如課程教學中的數據計算、概率統計、實際問題、生活測量、運籌規劃等數學內容與生活相融，無不體現生活即數學的理念。數學課堂要體現“生活化”，勢必引出教師行為方式的變化與轉變，作為教師要善于處理教材，特別要加強聯系實的內容，從生活中收集相關的數學知識，把身邊的數學素材引進課堂，為教學內容注入新的元素，更好地為課堂教學服務。教師在授課的形式上應多樣化，鼓勵學生引入生活題材，提出與實際問題相關的知識內容，更好地為培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。通過建模方法，提升學生運用數學知識解決實際問題的能力，并以此增強學生對數學學習的興趣與動力，這是我們所期盼的。

總而言之，數學文化是構成人類文化寶庫的重要知識源泉，是現代文明的基石。數學文化的思想體系、精神引領以及內容與方法都是人類發展中永恒的主題。從實踐中證明，數學教育不單純是學科教育，更應是數學文化的教育。數學文化價值滲透到教育教學實踐中，以課程的形式體現在課堂教學，教學內容得以豐富，學生通過文化層面進一步理解數學，熱愛數學。數學文化融入數學教育，這是時代發展的必然趨勢。

參考文獻

[1] 李興懷.試論數學文化與中學數學教育[J].寶雞文理學院學報（自然科學版），1997（6）.

[2] 張士軍.漫步數學之美.高等教育出版社，2016.10.

[3] 胡偉文，徐忠晶.數學文化欣賞.科學出版社，2016.11.

[4] 曹媛，侯順利，王強，翟維紅，梁忠先.數學文化.南開大學出版社，2016.10.

[5] 吳振奎.數學中的美.哈爾濱工業大學出版社，2011.

[6] 王梓坤.讓你開竅的數學[M].河南科學技術出版社.武漢理工大學出版社，1997.

[7] 薛瓊，肖小峰.數學文化導論.2016.7.

[8] 百度文庫.淺談數學課堂教學中的數學文化的滲透.2014.12.