破解“想不到” 尋求“最優解”

☉江蘇省張家港市塘橋初級中學 王 東

對于學生（也包括教師）而言，有時有的題目僅僅需要一點提醒，這類題目學生不是不會，而是由于某個知識點沒有想到，導致學生不能正確求解或采用了較為復雜的方法.比如，對于相似三角形的性質，大多局限于對應角相等、對應邊成比例，而容易忽略相似三角形的對應線段（高、中線、角平分線等）成比例、面積比等于相似比的平方及周長比等于相似比，而這其中更容易忽略的是相似三角形的周長比等于相似比，下面給出該性質的應用三例，并與參考答案或網上流傳的解法進行簡單比較，同時給出一些初步思考，以期引起學生及一線教師的重視.

一、案例呈現

例1（2017年東營市中考試題）如圖1，直線分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線經過A、B兩點.

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是直線BC上方拋物線上一點，過點M作MH⊥BC于點H，作MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值.

分析：下面只給出第（3）問的求解思路.根據（1）（2）易得拋物線的解析式為而且容易發現△DMH∽△ABC，進而結合題目所求（△DMH周長）聯想到應用相似三角形的性質：周長比等于相似比，即

設點M的坐標為（0＜m＜3），則點D的坐標為，進而

由，得

當0＜m＜3時，函數的最大值為，所以△DMH周長的最大值為

參考答案提供的解法：參考答案中根據題干條件得到直角三角形DMH中∠HMD=30°，所以，進而得到，此式與上述求解過程中的①是相同的.

圖1

圖2

例2（2016年濟南市中考試題）如圖2，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B.在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M.

（1）求a的值及直線AB的解析式；

（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若，求m的值；

（3）略.

分析：下面只給出第（2）問的求解思路.易得拋物線的解析式為，直線AB的解析式為y=，且△PMN∽△AEN，結合條件，容易想到應用相似三角形的性質：周長比等于相似比，即

由題意易得點N的坐標為，點P的坐標為，所以3.

將上述各式代入，解得m=2（m=4舍掉）.

網上流傳答案的解法：網上流傳的參考答案中對AN的計算應用了勾股定理，即顯然經過計算與②式是等價的，可以看出應用三角函數表示AN的方法大大減少了計算量，但是需要一定的思維量.

例3（改編題）如圖3，三角形ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是邊BC上任意一點，連接AD，作線段AD的垂直平分線交邊AC于點N，設BD=x，CN=y，請寫出y與x的函數關系式.

圖3

圖4

分析：如圖4，連接MD、ND，則△BMD∽△CDN，再結合垂直平分線的性質發現兩個三角形的周長容易表示，進而想到應用相似三角形的性質：周長比等于相似比.

△BMD的周長為4+x，△CDN的周長為8－x，所以

網上流傳答案的解法：網上流傳的參考答案中是想法將BM用x表示出來，利用，可以看出此法易想難算.

二、兩點思考

1.破解“想不到”.

通過上面的介紹，可以看出“相似三角形的周長比等于相似比”這一性質學生在求解過程中“想不到”，針對這一問題，筆者認為一線教師在教學中應該為學生構筑完整的知識體系，讓學生知道相似三角形的性質有對應角相等、對應邊成比例、對應線段（高線、角平分線、中線等）等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方等，同時教學中用力要均衡，不要讓學生更多地關注某一條，就實際教學而言，一線教師更側重于對相似三角形對應高的比等于相似比及面積比等于相似比的平方的練習，而忽略了其他的性質，這應該引起一線教師的足夠重視.

2.尋求“最優解”.

數學是“求簡”的，解題教學也不例外.筆者認為“最優解”的一個明顯特征就是計算量較小，不用“暴利計算”.可以看出，上述三個案例應用相似三角形的周長比等于相似比這一性質之后，計算量明顯減少，當然，例2還利用了銳角三角函數的知識，進行了“化斜為直”，避免了煩瑣的平方、開平方、去絕對值等運算，使得計算過程更加簡潔.同時，“最優解”的背后，需要學生有更多的思考及思索，而通過深度思考，促進學生思維能力的提升正是數學學科的責任，需要教師在后續教學中有更多的嘗試.

1.張小川，張媛媛.一道壓軸題的思考過程、啟發教學及拓展［J］.中學數學（下），2018（1）.

2.徐亮.多思少算：一種值得追求的解題教學策略［J］.中學數學（下），2016（7）.

3.羅綿景.滲透數學思想，提升核心素養——基于核心素養的初中數學教學設計［J］.中學數學（下），2018（1）.

4.陳建江.錯題淘金：讓探究能力自然生長［J］.中學數學教學參考（中），2018（3）.F