“偽涉高題”的初等解法

☉河南省湯陰縣古賢鎮第一初級中學 吳國文

在近年的中考試卷中出現了部分“涉高題”，即需要用到高中的知識解決，這種題大多數以直接寫出結果的形式出現.然而，也有一部分題是披著“涉高題”的外衣，屬于“偽涉高題”，這種題如果用高中知識解決的話思路會非常好想，但是，并不是初等解法所不能解，甚至有的題目用初等解法會有很好的思路，會用到初中階段的核心知識，給人以“美”的享受.下面結合濟南市2016年和2017年的兩道中考試題進行簡單介紹，不當之處，敬請指正.

一、試題呈現

試題1：（2016年濟南卷第26題）如圖1，平行四邊形OABC的邊OC在x軸的正半軸上，OC=5，反比例函數y=的圖像經過點A（1，4）.

（1）求反比例函數的關系式和點B的坐標.

（2）如圖2，過BC的中點D作DP∥x軸交反比例函數的圖像于點P，連接AP、OP.

①求△AOP的面積.

②在平行四邊形OABC的邊上是否存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

圖2

試題2：（2017年濟南卷第26題）如圖3，平行四邊形OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC=3，反比例函數y=的圖像經過點B.

（1）求點B的坐標及反比例函數的關系式；

（2）如圖4，直線MN分別與x軸、y軸的正半軸交于M、N兩點，若點O和點B關于直線MN成軸對稱，求線段ON的長；

（3）略.

圖3

圖4

試題1和試題2分別為2016年和2017年的中考試題，同為第26題，而且兩題的主題干基本一致，第（1）題的難度和設問形式完全一致，試題1第（2）問的第②小問和試題2的第（2）問考查方式也基本一致，都出現了垂直這一幾何要素，特別是網上流傳的答案都用到了高中的知識，即互相垂直的兩條直線其斜率乘積為－1，更是表現出了二者之間高度的一致，這為中考備考指明了一定的方向.

中考命題的一致性值得一線教師重視，而二者之間所體現出的“偽涉高”卻不值得一線教師過度重視，甚至出現有的老師給學生補充過多的高中知識，給學生增加過多的負擔，這應該違背了命題人的本意.那么，上述兩題能用初中的知識解決嗎？答案是肯定的，而且將初中解法和“涉高解法”比較的話，初中解法還會給人“賞心悅目”的感覺，因為這才是命題人的本意；而且，初中解法還涉及初中階段的核心知識，這樣才能夠真正表現出中考試題的價值和對后續備考的指導意義.

二、初等解法

試題1：（1）

（2）①3.

②存在.如圖5，過點P作PM⊥AO，垂足為M.

由題意得解得PM=

所以

設點M的坐標為（x，y），

所以

所以點M1的坐標為

此外易得點M2的坐標為（2，0）.

試題2：（1

圖5

圖6

（2）如圖6，過點B作BP⊥y軸，垂足為P.

由題意得MN⊥BO，設點N的坐標為（0，y）.

由于△NOQ∽△BOP，所以，所以，即點N的坐標為

圖7

圖8

通過上面的介紹可以看出，用初等解法可以將上述兩題完美解決.試題1的求解過程中首先用到了“面積相等，算兩次”的基本方法，這是在教材中證明勾股定理時呈現的方法之一.此外，該方法還考查了學生對如下基本圖形（如圖7）的掌握，若第一象限內線段AO=m（O為坐標原點），其與x軸的正半軸的夾角為α，則A的坐標為（mcosα，msinα）.

試題2的求解則體現了對相似基本圖形及變式的掌握（如圖8）.

三、類題跟蹤

如圖9，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于和B（4，m）兩點，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△PAC為直角三角形時，求點P的坐標.

圖9

上述練習的第（2）問同樣出現了垂直這一幾何關系，我們可以應用試題2中所用的方法或圖8所呈現的基本圖形（圖中的相似三角形）輕松解決，希望一線教師在教學中有意識地引導學生進行總結，而不是簡單粗暴地補充高中的相關知識.

1.于彬，劉錦海.一道中考選擇壓軸題的探究與思考［J］.中學數學（下），2016（6）.

2.徐亮.多思少算：一種值得追求的解題教學策略［J］.中學數學（下），2016（7）.F