把握認知起點開展自主學習

李文鏗

摘 要：在小學數學的課堂教學中，教師如能根據學生的認知起點來設計教學活動，就能更好地促進學生自主學習、思考。在這一點上，數學史給了很好的啟示。把數學史融入“圓的周長”的教學中，從學生的認知起點出發，開展自主學習活動。

關鍵詞：認知起點；自主學習；數學史；圓周率

“圓的周長”是人教版教材六年級上冊“圓”中的內容，本課的其中一個教學重點是對圓周率意義的理解。教材通過計算圓的周長，引導學生嘗試用不同的方法測量圓的周長，進而引導學生從圓本身的特征去想辦法求圓的周長，最終發現圓的周長與直徑的比值是一個固定的數，叫作圓周率。

但在實際的教學當中，筆者發現，在測量完圓的周長后，很難激發學生對“圓周率”探究的積極性。究其原因，是因為這樣的編排沒有從學生的認知起點出發設計教學活動。學生“聽話地”按照教師的安排繼續去測量直徑，缺乏有效串聯，不僅不利于接下來教學環節的開展，更無法促進學生主動學習和主動思考。

該如何解決這個問題呢？數學史帶來了很好的啟示，因為數學史不僅可以向學生展示概念的發展過程，以加深他們對概念的理解，而且融入數學史的數學課堂具有激發學生的學習動機、為學生提供探究機會的教育價值。接下來，筆者針對如何突破本課重點——對圓周率意義的理解，進行了如下的教學嘗試。

一、情境穿越，激發思考

圓周率，最早在公元前1900年就已經出現了，一塊約產于公元前1900年的古巴比倫石匾清楚地記載了圓周率=■=3.125。經歷了近4000年的發展，圓周率這一數學概念出現在小學的課本當中，究竟它是怎么來的？古人是怎么會想到去研究它的？這些問題都可以作為學生學習圓周率的認知起點。而打開這一知識大門的鑰匙就是一個日常最常見的輪子。對于古代人來說，輪子是一個偉大的發明，由于輪子的普遍應用，人們很容易想到一個問題：直徑越大的輪子，滾動一周的距離越長，輪子的直徑與輪子滾動一周的長度存在著什么關系？它們之間的比率是不是恒定的呢？

課始，筆者先播放一小段關于輪子發明的紀錄片視頻，為后面創設穿越情境做鋪墊。接著，創設一個穿越到古巴比倫的場景，用動畫的形式出示一大一小兩個輪子，并讓兩個輪子在平面上滾動一周，讓學生結合前面所學的數學知識，說說自己的想法。

師：同學們，在這個動畫里，你發現了什么關于圓的數學信息？

（先讓學生與同桌說說自己的想法，再指名匯報）

生1：兩個輪子其實就是兩個圓，大圓的直徑比小圓的大。

（教師板書：直徑）

生2：輪子滾動一周的距離就是它的周長。

（教師板書：周長）

生3：大圓滾動的距離比小圓的長，所以大圓的周長比小圓的長。

師：還有更深入的發現嗎？

生4：圓（輪子）的直徑越大，周長越大。

師：大家的發現很了不起，古巴比倫人也有類似的發現。

有了前面“圓的認識”的學習，學生不難有以上發現。在此基礎上，筆者引導學生根據剛剛的發現提出數學問題，目的是引發學生關于圓的周長和直徑的猜測，盡管不能說出預設的問題，但這樣的思考正是學生認知的起點，也是對課堂生成很好的運用。

師：我們來看看古巴比倫人會有什么問題？

（利用動畫的形式出示古巴比倫人關于直徑與周長的問題：既然輪子的直徑越大，輪子滾動一周的距離越遠，那么輪子滾動一周的距離和輪子直徑之間的比值是不是恒定的？）

師：同學們，你能和古巴比倫的智者一起解決這個問題嗎？

生：能！

師：好！要解決這個問題，我們得先測量圓周長與直徑。

通過創設一個穿越到古巴比倫的情境，把圓周率這一概念最初的發展歷程重現在學生眼前，讓學生親身體驗概念發展的過程，把握住學生的認知起點，引發觀察、發現、猜測，并有效串聯了接下來的教學環節。

二、古今同步，驗證猜測

對于圓的周長，大部分學生都能很快想到測量的辦法，如繞線法、滾動法等，在指名個別學生演示測量的方法后，追問學生：“為什么測量圓的周長時需要繞線或滾動，而測量三角形、正方形等圖形時不用？”這個問題的目的是讓學生更深刻地感悟“化曲為直”的轉化思想。

接下來，結合前面的情境，讓學生與古人同步，開展一個小組合作實驗。

小組實驗要求：

1.找一些圓形的物品，分別量出它們的周長和直徑，并算出周長和直徑的比值，把結果用大頭筆填入表中（如下表）。

2.小組內輪流動手測量，一人測時其余人需認真觀察或從旁協助，動手能力較強的學生可以先嘗試、做示范。

3.先測量，再一起計算，算完一個物品再測量另一個物品。

學生利用課前準備好的圓形物品測量出圓的周長，再測量出圓的直徑，再計算，最后填表。接著，筆者讓各小組把表格粘貼到黑板上，讓學生把所有結果進行比較，這樣更有利于學生發現規律。同時，為了減少計算錯誤或測量誤差帶來的干擾，筆者在學生進行小組實驗時，要關注各組的計算結果，有不是3倍多一些的結果要進行個別的干預、指導。

師：現在把各組的表格都粘貼在黑板上了，請仔細分析剛剛的問題，有答案了嗎？

生1：我認為圓的周長與直徑之間的比值不是恒定的，因為算出來的結果基本都不一樣。

師：謝謝你的分析，其他同學有不同的看法嗎？

生2：我認為這個比值是恒定的，雖然大家的實驗結果不完全一樣，但都是3點多，比較接近。

師：你的分析很準確，我們可以發現這個比值都是3倍多一些，結果不完全相同，是因為測量的不精確造成的。（板書）

師：古巴比倫的智者也有了發現，我們來看看。

古巴比倫智者在沙面上畫一個大輪子，根據這個虛擬的輪子測量圓的周長和直徑，經過多次測量和計算，發現圓的周長和直徑之間的比值是一個固定值，為■=3.125。

學生利用實驗的手段，通過測量、計算，發現規律，驗證了圓的周長和直徑的關系，這是一個不完全歸納的過程。而在這個過程當中，筆者讓學生和古人“同步”開展實驗，不僅提高了學生的實驗積極性，古人智者的發現也起到了揭示結果的作用，讓學生更好地接受圓的周長與直徑的比值是一個固定值這一結論。

三、了解歷史，明晰概念

師：這個比值既然是一個固定值，那我們給它起一個貼切的名字吧。

在筆者的“號召下”，學生們冒出各種“奇思妙想”，也有一些同學直接喊出“圓周率”，筆者都一一給予肯定?！敖o這個比值命名”，比直接介紹更能讓學生對“圓周率”這個概念感到親切，對圓周率的認知也到了一個新的起點。

“從古巴比倫人的石碑到今天小學數學課本，圓周率在這四千年里到底經歷了什么樣的發展？”這個時候，學生對圓周率應該是滿腦子“胡思亂想”，而這樣的“胡思亂想”正是他們的認知起點。因此，通過觀看一個關于圓周率發展歷史的微課，讓學生從數學史的角度了解圓周率，不僅更合學生的“胃口”，也有利于學生建立動態的數學觀。

圓周率發展歷史的微課內容：

1.公元前1900年，巴比倫人用測量的方法測得圓周率為3.125；

2.公元前263年，中國數學家劉徽深知用測量的方法計算圓周率的局限性，改用“割圓”的方法算得圓周率為3.1416；

3.公元前466年，中國數學家祖沖之將圓周率算到3.1415926至3.1415927之間，這一記錄在世界上領先了一千年之久；

4.1706年，英國數學家瓊斯用“π”表示圓周率，圓周率是一個無限不循環小數；

5.時至今日，人類通過計算機算出數十億位小數，但在日常的計算中，我們把π約等于3.14。

本文將關于圓周率的歷史資料，根據教學目的進行了適當的改編，并與“圓的周長”的教學整合在一起，在學生面前重構了圓周率這一概念的發展過程，把握住學生的認知起點，更好地開展自主學習活動。這樣的結合，使數學史不再是點綴課堂的附加物，它具有提供探究機會，幫助學生認識、理解數學等多重功能，讓數學不再是冷冰冰的概念和數字，也有了人文性的一面。

參考文獻：

Fauvel J.Using History in Mathrmaticts Education[J]. For the Learning of Mathrmaticts，1991，11（2）.

編輯 張珍珍