凸顯過程，滲透優化

黃迪

摘 要：布魯納說過：“掌握基本的數學思想方法，能使數學更易于理解和記憶，領會基本數學思想方法是通向遷移大道的‘光明之路。”在小學數學教學中滲透數學思想方法，應堅持可接受性原則，根據小學生的接受能力把握好滲透的度，注意將抽象的數學思想方法與具體的教學內容緊密整合，凸顯過程，滲透思想，在活動過程中使學生對數學思想方法獲得初步認識或感悟，并隨著認知的發展，讓學生對這些思想方法的認識更清晰，理解逐步深刻。

關鍵詞：數學活動；數學思想；優化

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將基本數學思想作為“四基”之一，提出了要在小學數學教學中更加關注學生在數學學習過程中對數學思想方法的感悟。數學思想方法是數學的精髓，在數學中居于核心地位，具有深遠的教育意義。學習數學不僅要學習它的知識內容，而且要學習它的精神和思想方法。“烙餅問題”是經典的優化問題，看似熱鬧的烙餅中究竟隱藏著怎樣的數學思想，如何凸顯過程，滲透優化思想？針對以上思考，我在本課教學中進行了以下嘗試。

【案例回顧】

片段一：建立烙2張餅的最優模型，探究雙數張餅的最優烙法

1.2張餅的最優烙法

學生以書為鍋，利用圓紙片操作交流，展示。

師：剛才大家找到了6分鐘和12分鐘兩種方法，像這樣創造多種解決問題的方法，這個過程在數學上叫作“統籌”，統籌是為了選擇最優方案，那對比兩種烙法，你會選哪一種？為什么？

生：選6分鐘更節省時間，因為題目說了“至少”。

師小結：哦，根據題目的具體需要“至少”來選擇，同學們，選擇最優方案就是“優化”，看來優化有方向。

師：剛誰聽懂了6分鐘的烙法？請你上來烙一烙。

學生（上臺邊演示邊說）：同時把這兩張餅放進去，烙3分鐘，再翻過來烙反面。

師（課件演示）：大家看明白了嗎？讓我們一起回顧一下6分鐘的烙法，請看！

師：6分鐘比12分鐘省時的秘密在哪里呢？

生：2張餅一起烙。

師：看來這個“一起”真重要，保證最多、不浪費。

那每次鍋里放幾張餅才能保證最省時間？

生：2張。

師小結：看來想要節省時間，就要充分利用鍋的空間！

師（表格總結）：2張餅一起烙的這種方法叫作“2張同時烙”，也就是2張餅的最優方法，烙了2次，一共6分鐘。

2.4張、6張餅的最優烙法

師：有了剛才烙2張餅的經驗，那烙4張餅呢？

生：12分鐘，2張2張地烙。（師PPT同步演示，并表格小結）

師：烙完了2張餅和4張餅，那烙6張餅呢？

生：也是2張2張地烙，2+2+2，要烙6次，18分鐘。

3.總結雙數張餅的規律

師：請同學們觀察這張表，2張餅的最優方法是這樣的，4張餅的最優方法是這樣的，6張餅的最優方法又是這樣的，你一定發現了什么規律，想想烙8張餅的最優方法是？

生：2+2+2+2。

師：次數和總時分別是多少？

生：8次，24分鐘。

師：看來同學們已經找到規律了，烙像這樣的雙數張餅時怎樣分比較合理？

生：2張2張地烙。

師：同學們真聰明，把烙雙數餅問題轉化成了烙2張餅的問題，也就是說如果要烙餅的張數是雙數，可以2張2張地烙。

片段二：建立烙3張餅的最優模型，探究單數張餅的最優烙法

1.3張餅的最優烙法

師：烙3張餅最少需要幾分鐘？同學們先靜靜地獨立思考，然后小組同學一起借助圓紙片擺一擺。

師：哪個同學愿意和大家分享一下你們小組的方法？

生1：要12分鐘，先同時烙2張，6分鐘。剩下一張單獨烙，6分鐘，共12分鐘。

生2：我們只要9分鐘，請看！先烙1號餅和2號餅的正面，再把烙一半的2號餅拿出來，把3號餅放進去，3號的正面和1號的反面一起烙，最后再烙3號的反面和2號的反面。

師：剛剛我們利用集體的力量又做了一次統籌！找到了12分鐘和9分鐘兩種烙法。你會選哪一種？為什么？

生：9分鐘，更節省時間！

師：看來優化有需要，這里需要是“至少”。誰聽懂了9分鐘的烙法？請你再說一說。

學生邊講教師邊板書，數形結合。

師：同學們，你們會烙了嗎？想不想再烙一次？

同桌邊烙邊說一說。

師：來，讓我們一起借助課件回顧這種非常有創意的烙法。如圖2。

師（表格總結）：我們把9分鐘的這種方法叫作“3張交替烙”，也就是烙3張餅的最優方法，烙了3次，總時9分鐘。

師：剛剛為什么我們要在中間把一張半熟的餅取出來？

生：不取出來，就會剩下第3張餅自己單獨烙，鍋不滿，也就變成了12分鐘的烙法。

師：那看來節省時間的關鍵在哪里？

生：鍋里一直要有2張餅。

師小結：看來節省時間的關鍵是鍋里始終要烙2張餅，不讓鍋有空余，原來優化的方法是充分利用資源！

2.5張和7張餅的最優烙法

師：思考一下，5張、7張怎么烙最省時？至少需要多長時間？下面小組合作探究，填寫探究單。

學生匯報。

生1：5張餅先2張2張地烙，剩下1張單獨烙，要18分鐘。

生2：我覺得2張、3張地烙更省時，3張餅的烙法我們剛才學過，是9分鐘，要15分鐘。

師：哪種更好？

生：第二種，更省時。

師：那7張餅呢？

生：7張餅可以2張、2張、3張地烙。

3.總結單數張餅的規律

請同學們觀察這張表，同學們發現了什么規律？

師：看！3張餅是交替烙，5張餅時分成2和3，7張餅分成2、2、3，那9張餅呢？怎么分？

生：2+2+2+3。

師：那你發現了烙單數張餅的最優方法是什么？

生：先2張2張地烙，最后剩下3張時，就用烙3張餅交替烙的最優方法來烙。

師：同學們把烙單數餅的問題轉化成了烙2張餅和3張餅的問題，太厲害了！

片段三：拓展n張餅最優烙法的規律

師：觀察PPT上表中張數、次數和時間，你有什么發現？討論一下。

生1：2×3=6，3×3=9，4×3=12…

生2：餅數×3=總時。

師：那烙1張餅呢？

生：1張餅要6分鐘，要除外。

師：也就是說總時=餅數×3（一張餅除外）。那為什么烙餅的次數和餅的張數一樣？這是巧合還是有內在聯系呢？

……

生：以3張餅為例，3張餅共有2×3=6（個）面，鍋里每次能烙兩個面，而一張餅正好兩個面，就可以想象成一次正好烙了1張餅，所以烙幾張餅正好就需要烙幾次。

師：看來因為“每張餅2個面”和“每次鍋里放著2張餅”的這個內在聯系，使餅數和次數必然相同。

片段四：反思回顧研究過程

師：回顧剛才的研究過程，現在你知道優化是什么意思了嗎？我們剛剛是怎樣優化的？在優化之前要干什么？優化要注意什么？有方法嗎？

生1：要注意要求是“至少”。

生2：有可能有不同的方法，要比較。

生2：烙的時候不能讓鍋里有空余，要充分利用鍋的空間才行！

師小結：看來優化有前提，是統籌，找出不同方法；優化有方向，是需求，注意具體要求；優化有方法，是充分利用資源。不管生活中還是學習中，當同一件事有不同的安排方法時，我們需要對比分析，尋找最合理的安排，這就是“統籌學”，是由著名的數學家華羅庚提出來的。

【分析與思考】

由我執教的“烙餅問題”設計幾經修改，最終呈現出了較好的效果，教學嚴謹扎實，學生學習興趣盎然，原來“烙餅”中隱藏著這么大的學問。反思自己成功的關鍵在于，從體驗操作到建立基本模型，再到發現規律，最后到回顧反思。學生經歷了“感悟思想—提煉思想—明晰方法”這樣一個由淺入深的過程，在知識形成過程中初步感悟“優化”，到解決問題中提煉“優化”，最后在反思中明晰“優化”。每個環節始終聚焦優化三大要素，一是優化有前提，讓學生在經歷中找到多種解決問題的方案，感悟“統籌”；二是優化有方向，讓學生在比較中選擇一種最優方案，感受“至少”；三是優化有方法，讓學生在思考中發現要充分利用鍋的空間，領悟“充分利用資源”。

一、凸顯知識的形成過程，感悟數學思想方法

將數學思維的教學與具體數學知識內容的教學有機地結合，即以思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，才是更為重要的。[1]數學教學內容始終反映著數學知識和數學思想方法這兩條主線，數學知識和數學思想方法始終緊密聯系，數學知識的發生、發展過程，也是數學思想方法發生和凸顯的過程。凸顯知識形成過程，讓學生感悟數學思想方法，關鍵是應讓學生對數學知識的獲取過程有所經歷和感悟，并在這一過程中抓住滲透數學思想方法的機會。[2]在“烙餅問題”中，有意識地在學生操作體驗中滲透優化思想，每個環節讓學生在經歷中創造，呈現多種結果，體驗優化源于統籌；在比較中選擇，體會需要指引優化；在突破中建構，領悟資源在于利用。烙2張餅學生初步完整感受優化思想過程：經歷統籌（操作探究）、尋找需要（注意問題關鍵詞“至少”）、對比優化（選擇最優方案）、總結方法（充分利用鍋的空間）；烙3張餅時學生在合作中輕松探究出3張餅的最優操作模型，過程中再次完整體驗整個優化的過程，從而初步感悟什么是優化及其具體的三要素，尤其注重節省時間的關鍵是“鍋里始終烙2張餅”，從而再次凸顯優化有方法，要充分利用資源（即鍋的空間）。

二、探究問題的解決過程，提煉數學思想方法

解決問題的過程既是對數學知識和數學思想方法應用的過程，也是學生進一步鞏固數學知識、培養解決問題能力、提煉數學思想方法的過程。解決問題的過程，一方面，數學思想方法起著統攝、定向的作用；另一方面，通過對解決問題過程中所運用到的方法策略進行反思、總結和提煉，可以加深學生對數學知識的理解，讓學生經歷解決問題的具體方法策略向數學思想方法層面轉化的過程。建立2張餅最優烙法的模型后，教師引導學生發現4張餅、6張餅的最優烙法，從而探究烙雙數張餅的規律；建立烙3張餅的最優模型后，學生自主探究5張、7張餅的最優模型，從而發現單數張餅的規律，最后合二為一探究出烙n張餅的規律。這個過程中，烙2張、3張餅的最優模型對后面的探究始終起著指引作用，學生借助這一舊經驗尋找解決問題思考的起點和方向，所以當烙5張餅出現不同方法時，學生在比較中很快發現要滿足優化的“需求”，即找到最省時的方法。最后發現無論烙多少張餅，都可以將當前新的、復雜的問題向能利用已有知識經驗解決的舊問題及簡單問題轉化，突出優化思想對探究新問題的指導作用，學生也在展示提煉中再次體悟優化思想的美妙。

三、關注反思的認識過程，明晰數學思想方法

反思是一種高級的認知活動，即是對自己的思想認識和心理感受的思考，也是對自己曾經經歷、體驗過的事件的再次認識和深度理解。學生反思數學學習過程，就是對經歷的數學學習內容、學習方法、認知策略等多因素進行再次認識和深度理解，一方面可以加深學生對所學知識的理解，另一方面也可以使隱含在數學知識中的數學思想方法更加明晰化，提高這些數學思想方法在學生認知結構中的清晰度。在“烙餅問題”中，除了邊經歷邊滲透，還注意經歷之后及時反思小結，為了促使學生對優化思想有一個更全面的整體思考，最后在全課學完也引領學生回顧反思研究過程，圍繞關鍵詞“優化”進行反思式的追問，一是讓學生對烙餅中的學問獲得清晰認識的同時，進一步理解優化的含義，感受優化的前提是統籌，優化的方向是需要，優化的方法是充分利用資源，促進學生更加明晰優化思想方法；二是讓學生認識到通過烙餅可以對優化思想獲得更清晰的認識，體驗到數學思想方法的作用和價值。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數學思想.數學活動與小學數學[J].課程·教材·教法，2008（5）：37.

[2]陳祥彬.在小學數學教學中滲透數學思想方法[J].課程·教材·教法，2010（7）：39.

編輯 張珍珍