數學學科德育滲透的實踐與思考*
——以浙教版八年級上冊“平面直角坐標系”為例

☉浙江省寧波市鎮海蛟川書院 陳 麗

成尚榮在《最高目的》中指出：道德是教育的最高目標.課堂是學校教育的主陣地，而數學學科又是學校學習的重要學科.數學的課堂不應該只是邏輯符號，也應該是滲透德育的載體，但是數學學科德育又有別于一般意義的德育.數學學科德育是指挖掘數學課程本身固有的德育元素，在數學觀念、理性精神以及學習品質等方面進行的教育活動.數學課程中的德育元素包括兩個方面，其一是數學課程本身固有的內在德育元素，其二是指能夠激活、弘揚德育元素的教學情境.數學學科的德育課堂，不僅僅是讓學生獲得知識，而應該是超越知識且終身受用的東西，落實立德樹人.那么如何在平時的數學課堂教學中落實學科德育呢？本文筆者以浙教版八年級上冊“平面直角坐標系”為例，談談自己的一些嘗試和感悟.

一、教材分析及學科德育價值挖掘

“平面直角坐標系”是在學生學習了數軸與有關幾何知識，掌握了數軸上的點與實數是一一對應的基礎上，進行函數圖像教學的第一節課.平面直角坐標系是數軸的發展，它的建立，使代數的基本元素（數對）與幾何的基本元素（點）之間一一對應，實現了從一維空間到二維空間的發展，構成更廣闊的范圍內的數形結合、互相轉化的理論基礎.課堂實施中，筆者設計有效的數學活動，讓學生感受不同方面的數學知識之間、數學與生活之間的聯系，體悟數學是發展變化的，但變化中總有一些東西是始終不變的，培養學生嚴謹求實的學習習慣和推理論證能力，在對立與統一中培育學生的數學理性精神.

本節課數學活動貫穿始終，教師以問題引領，引發認知沖突，提出問題，激發學生的探究熱情，通過自主探究和共同討論，找到解決問題的方法，并歸納為規律和經驗，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，對學生數學抽象、數學建模、直觀想象這三點核心素養的培養都有極高的價值.

課中穿插數學文化和數學史的相關情境，通過數學史內容的滲透，積淀學生的數學文化涵養，激發學生的數學研究熱情，感悟數學家的嚴謹態度與不懈追求.

二、基于數學學科德育，創新教學設計

1.問題引領，樹立科學思維

師：如圖1，如果老師將同學們的座位抽象成如圖1所示，約定：排（列）之間等距，同排（列）相鄰兩人之間距離為1個單位.以O同學為基準位置（請O同學戴好小紅帽），那么A同學你的位置相對于O同學來說在哪里？

生：我在O的右邊一個位置.

師：O同學，你是基準位置，你今天是我們班的主角，如果老師首先想用一個數來確定你的位置，你計劃用哪個數？

生：我想用0.

師：如果規定向右為正，那么A同學你的位置可以用一個什么樣的數表示？

生：1.

師：B同學呢？

生：-1.

師：我們把O同學所在的行抽象成一條直線，規定了原點，單位長度，正方向，這是我們學過的什么？

生：數軸.

師：請與O同學同排的同學依次報出自己的位置所對應的數.（學生依次說出自己的位置所對應的數）

師：C同學，你的位置相對于基準O同學來說在哪里？

圖1

生：我在O的前面一個位置.

師：如果規定向前為正，那么C同學你的位置可以怎么表示？

生：1.

師：噢？那老師有困惑了，A同學可以用1表示，C同學也可以用1表示，他們的位置一樣嗎？

生：不一樣

師：既然位置不一樣，那能同時用1來表示嗎？怎么辦呢？可以前后四人小組討論.

（此時學生都滿臉困惑，經過大家討論后，有學生舉手）

生：這里要用兩個數表示，A同學為（1，0），C同學為（0，1）.

師：太棒了，你用到了我們上節課學習的有序數對，為什么A同學為（1，0），C同學為（0，1）呢？

生：我們上節課在學習有序數對時，一般規定列號寫在前，行號寫在后.

師：如果作這樣的規定的話，那么基準位置O同學應該怎么表示？

生：O同學用（0，0）表示.

（這時依次請與O同學同排同列的同學用有序數對來表示自己的位置，并戴上小黃帽）

師：那么D、E、F的位置可以用怎樣的有序數對表示？

生：D（2，1），E（－2，2），F（-1，－2）.

師：我們發現，選擇合適的基準位置，規定向右為正，向前為正，選擇合適的單位長度，同學們的位置就可以用有序數對來確定，其實這樣我們就建立了平面直角坐標系，而今天就讓我們一起來認識平面直角坐標系.

【設計意圖】通過問題引領，激發學生的認知沖突，發現一個數無法表達平面的點，實現從一維到二維的躍遷.讓學生經歷平面直角坐標系的建立過程，體驗平面直角坐標系引入的有效性和必要性，感悟數學的嚴謹、規范，培養理性精神.另外，由于學生對平面直角坐標系與數軸的關系以及兩條坐標軸在三要素上的聯系存在理解上的困難，可以通過這樣的問題引領探究過程，從學生的最近發展區出發，引導學生發現問題、探究問題，并通過已學有序數對的經驗解決問題，進而突破難點，體驗數學家的思考之路.這樣不僅可以引導學生樹立問題意識，還能更好地培養學生發現問題、分析問題及解決問題的能力.

2.活動探究，自主建構概念

2.1 理性概括，感悟數學思想——概念1：平面直角坐標系

師：請觀察兩條數軸有什么特點？

生：互相垂直.

師：很好，你們看到了兩條數軸的位置關系，還有嗎？

生：兩條數軸的原點重合.

師：你們觀察得很仔細，兩條數軸有公共的原點O，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，簡稱直角坐標系.我們把兩坐標軸的公共原點O叫做直角坐標系的原點，水平的一條數軸叫做x軸（又叫橫軸），與x軸垂直的數軸叫做y軸（又叫縱軸），坐標系所在的平面叫做坐標平面.

【設計意圖】引導學生科學嚴謹地給平面直角坐標系下定義，進一步深化平面直角坐標系與數軸的關系以及兩條坐標軸在三要素上的聯系，讓學生體驗數學抽象、數學建模的過程和價值.

2.2 動手作圖，提升學習能力——概念鞏固

選取適當的單位長度，畫一個平面直角坐標系.

【設計意圖】實際操作過程中學生出現箭頭沒標注，或者箭頭標反，刻度值標錯，沒標刻度值，沒有單位長度，只有單向刻度值等問題，通過投影儀展示、比較及糾錯，讓學生準確把握概念，準確使用模型.培養學生的自主學習能力、動手操作能力，提高學生自主學習的積極性和有效性，形成良好的數學學習習慣.

2.3 對比原有知識，生成新概念——概念2：象限

師：x軸和y軸把坐標平面分成幾部分？

生：四部分.

師：從右上區域開始，按照逆時針方向，依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

師：請第一象限的同學起立.

（這時坐標軸上的同學在猶豫自己是否屬于第一象限）

師：這里我們有個約定，規定坐標軸上的點不屬于任何象限.

（依次請每個象限的同學起立，然后分別請x軸、y軸上的同學起立，這時，原點O同學起立了兩次，露出了別樣的神色）

師：你們看O同學得意地笑了，他站起來兩次，請問原點在哪里？

生：原點既在x軸上也在y軸上.

【設計意圖】以同學的座位建立平面直角坐標系，在此基礎上，提出象限的概念，形象直觀，但是第一象限的同學在起立時，坐標軸上的同學會產生疑惑，在認知沖突中體驗約定坐標軸不屬于任意象限的必然性和科學性，通過原點同學起立兩次，形象直觀地發現原點既在x軸上也在y軸上.基于學科德育視角的思考，在充分的數學活動中形成概念，讓學生真正感受數學抽象與數學建模.

圖2

2.4 經歷探索過程，架設數形橋梁——概念3：點到坐標

師：如圖2，平面直角坐標系中的點P可以用有序數對來表示它的位置嗎？

生：（2，3）.

師：你是怎么得到呢？

生：過點P向x軸作垂線，垂足對應的數為2，過點P向y軸作垂線，垂足對應的數為3.

師：很好，對于平面內任意一點M，如圖2，過點M向x軸作垂線，垂足對應的數為a，過點M向y軸作垂線，垂足對應的數為b，則有序數對（a，b）叫做M的坐標，記作M（a，b），a叫做點M的橫坐標，b叫做點M的縱坐標.

師：請同學們歸納下，坐標書寫要注意些什么？

生：要加括號，橫坐標寫在前面，縱坐標寫在后面，還要用“，”隔開.

師：你們歸納的非常棒，總結起來就是橫前縱后加括號，中間不忘加逗號.

【設計意圖】通過科學的設計，利用有效的數學活動來引導學生進行探究，幫助學生用好已有經驗，并不斷積累新的探究活動經驗，進一步感受思想方法，體驗數學中的變與不變，從一般到特殊，實現從感性感知到理性歸納，讓學生在分析和解決問題的過程中發展探究能力.

2.5 動手實踐，增強新體驗——鞏固概念

例1 如圖2，請同學們寫出圖中點的坐標.

【設計意圖】由點求出坐標的過程中，學生容易因為概念不清或混淆導致坐標求解錯誤，通過掌握不同位置坐標的形成過程，體驗和鞏固求解點的坐標的方法.

2.6 由數到形，深化數形結合——概念4：坐標到點

例2 請在坐標平面內畫出下列各點：A（1，4），B（0，－3），C（－2，－1），D（－5，－1.5），E（－3，－3），F（1，0），G（2，－3），H（4，－1.5），I（1，－1），描好后同桌互相檢查.

（同學們描好點后，老師將點連接成如圖3所示的小帆船的形狀，如圖）

師：希望同學在數學的海洋里能夠迎風破浪，揚帆起航.

圖3

【設計意圖】讓學生親身經歷在平面直角坐標系中由坐標找點，由點描坐標的過程，從數和形兩方面加深學生對坐標和點之間關系的理解，鞏固探究成果，為后續的坐標應用作好鋪墊，也充分讓學生體會數形結合的思想.

2.7 自主探究，發展空間觀念——概念5：坐標的符號特征

（請同學們寫出自己位置所對應的坐標，請x軸上的同學依次報出自己的坐標.）

師：你們發現x軸上的坐標有什么特征？

生：縱坐標為0.

（請y軸上的同學依次報出自己的坐標.）

師：你們發現y軸上的坐標有什么特征？

生：橫坐標為0.

（請第一象限的同學依次報出自己的坐標）

師：請同學們觀察第一象限的坐標的符號有什么特征？

生：橫縱坐標都為正.

師：請同學們思考第二、三、四象限的坐標符號有什么特征呢？并小組討論.

生（同學們齊聲回答）：第二象限橫坐標為負，縱坐標為正；第三象限橫、縱坐標都為負；第四象限橫坐標為正，縱坐標為負.

【設計意圖】學生在學好平面直角坐標系概念的基礎上，在數學活動中自主探究出特殊點的坐標特征，規律的形成自然、真實，培養了學生的探究精神，為以后學習函數圖像打下基礎，同時讓學生初步感受數與形之間的密切聯系，進一步發展空間觀念.通過數學活動，引導學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，整個數學活動過程自然真實，學生從概念出發，自覺自主地進行嚴密有邏輯的思考，凸顯了數學學科德育中的理性精神.

3.寓教于樂，激發學習熱情

環節1：先找一個同學，讓他找一個不在同一象限內的同學，并報出他的坐標，然后被叫起的同學繼續完成游戲.

環節2：請橫坐標為3的同學起立，發現橫坐標為3的點所在的直線與y軸平行.

環節3：請縱坐標為-1的同學起立，發現縱坐標為-1的點所在的直線與x軸平行.

環節4：請橫縱坐標加和為0的同學起立，發現橫縱坐標加和為0的點在二四象限的角平分線上.

【設計意圖】通過游戲活動，放松學生、激發興趣的同時也高效合理地復習鞏固了整節課的重點，寓教于樂，互動性強，學生熱情高漲.同時，讓學生在游戲中深化對知識的理解，將數學中抽象的，學生難以理解的圖像用學生的座位形象直觀地表達出來，形成視覺沖擊，變成學生易于接受，容易理解的問題，進一步深化數形結合的思想.張奠宙先生認為：數學教學中體現德育的前提是“讓學生喜歡數學”，衡量一位數學教師實施德育是否成功的標準是“學生是否熱愛數學”，可以說，讓學生熱愛數學是數學學科德育的基點.

4.追溯文化，提升學習興趣

用數學家笛卡爾的故事激勵同學們，我們今天的發現之旅其實就是偉大數學家笛卡爾的偉大發明，增強學生的求知欲和成就感.

【設計意圖】通過介紹平面直角坐標系的創始人——笛卡爾，用數學文化積淀學生的數學涵養，激發學生的探究興趣和學習熱情.華東師范大學數學系汪曉琴教授說過，數學史是培養數學能力和實施數學素質教育的關鍵所在.

5.總結歸納，提升理性精神

問題：我學會了…；使我感觸最深的是…；我發現生活中…；我還感到疑惑的是……

一個創立：直角坐標系

一位數學家：笛卡爾

二個技能：給點寫坐標；給坐標描點

【設計意圖】小結中設計開放性問題，讓學生暢所欲言，把主動權充分給學生，聽聽學生能夠表達些什么，數學的、非數學的，通過常規問題的提問交流，幫學生理清本節知識的特質，分析清楚數軸與平面直角坐標系的關系，并為后續空間內點的定位做好鋪墊，幫助學生認識數學知識之間是有聯系的，數學是發展的，將知識體系和思想方法不露痕跡地滲透給學生.

6.融情寄語，促進和諧發展

師：其實人生就是一個以時間為橫軸，以價值為縱軸的坐標系，每個人都要找準自己的位置，勇于挑戰，善于思考，同學們一定能在自己的坐標系中勾畫出屬于自己真實輝煌的點，打造自己精彩的人生.

【設計意圖】聯系課題，提出期望，鼓舞人心，值得學生回味.

三、基于課例的幾點思考

孫琪斌團隊在開展數學學科德育的研究過程中，對數學學科德育作了如下界定：數學學科德育是指從德育的視角挖掘數學課程本身固有的德育元素，用潤物細無聲的方式在數學觀、數學思想方法、數學文化和數學學習品質等方面進行的教育活動.數學學科的德育應滲透在數學活動中，滲透在教師的一言一行中.

1.數學學科德育視角下的數學課堂須著眼于促進學生形成正確的數學觀

數學觀是人們對數學的本質數學思想以及數學與周圍世界聯系的根本看法和認識，是數學行為的先導，它決定學生學習數學的態度，從事數學活動的意識和方式，用數學處理實際問題的能力，影響學生進一步數學成就的取得（Schoenfwld，1983）.因此要想數學教學朝著理想的方向發展，在數學教學中首先應該培養學生樹立正確的數學觀.實際操作中，教師可以根據教材提供的實際素材，設計有效的數學教學活動，促進學生形成正確的數學觀.本課例中，數學活動貫穿始終，讓學生感受到數學是有趣的，是具體的，在實際生活中是有用的.課例以“一維數軸定位，二維平面定位的探究歸納，課末展望三維空間的定位”為全課主線，合理類比，有效歸納，讓學生充分感知數學是充滿聯系的，是發展變化的.

2.數學學科德育視角下的數學課堂須著眼于滲透思想方法

數學思想方法好比是一座建筑的地基，它是數學學習的靈魂，是智慧的源泉.發展和提升學生數學核心素養是數學教育的目的和歸宿，而數學思想是數學核心素養的重要體現.數學德育視角下的數學課堂應該在基礎知識的教學和基本技能的訓練之中無形地滲透數學思想方法.本課例中，以一維坐標軸為起點，從學生熟悉的場景中引發認知沖突，遵循適度原則，在學生的思考過程中，循序漸進地達到知識點的自然銜接，讓學生在問題情境中充分感受平面直角坐標系引入的必然性和科學性，深刻體會數學抽象與數學建模思想.后續的教學中，學生在探究畫平面直角坐標系、由坐標找點、由點找坐標、象限內點的坐標特征、坐標軸上點的坐標特征等活動中，通過嘗試、探索、歸納，不僅掌握了相關的知識和技能，而且感悟了轉化、數形結合、類比、特殊到一般、建模等數學思想，加深了對平面內的點與坐標之間一一對應關系的認識，有效地發展了學生的思維能力.

3.數學學科德育視角下的數學課堂須著眼于積淀數學文化

恩格斯曾說：歷史從哪里來，思維就從哪里開始.在數學教學中滲透數學史、實施數學文化教育，不僅可以讓學生全面地了解數學，更可以培養情操、啟迪思維、促進理性精神的養成.本課例中，通過介紹平面直角坐標系的創始人——笛卡爾，用數學文化積淀學生的數學涵養，激發學生的探究興趣和學習熱情.再由坐標描點環節，把點連成“帆船”圖案，借機鼓舞學生，課末的融情寄語環節，教師充分利用本節課的知識內涵，提出期許，讓學生感覺數學的課堂不是只有冷冰冰的數學知識，而是有溫度的，是可以浸潤人心的文化.

4.數學學科德育視角下的數學課堂須著眼于關注學習品質

孫琪斌團隊認為數學學科德育研究的數學學習品質主要包括：好奇與興趣（探求新問題、尋找新方法的好奇心以及對數學問題的興趣、解決問題之后的成就感是學會數學、學好數學、享受數學的前提）、專注于堅持（在數學解題過程中養成全神貫注的習慣與堅持不懈的精神，在數學交流表達的過程中不斷地追求簡潔、準確、精益求精是學會數學、學好數學、享受數學的關鍵）、想象與創造（數學抽象、數學推理、數學建模的過程中蘊含著想象與創造，也孕育著想象與創造）、反思與解釋（追求一題多解、一題多變以及多題歸一的過程離不開持續反思；定義研究對象、建立運算法則，我們常常需要思考為什么這樣定義？為什么這樣建立運算法則？凡此種種都屬于反思與解釋）.

本課例中，在數學活動中讓學生切實感受概念的生成；在游戲活動中讓學生深化對知識的認識，培養了學生主動探索的學習能力，讓學生真切體會到數學學習的樂趣.在概念的生成與探究過程中，充分感受數學抽象與數學建模，發展學生的想象與創造，通過對知識的學習，能夠從數形的角度更準確、更清晰地認識、描述和把握現實世界.本課例從引入到問題解決自始至終向學生滲透數學應用意識，培養了學生應用數學的能力，體現了數學來源于生活，又高于生活，數學與人們日常生活息息相關.

四、潛心提取學科素養中“德性”的養分，澆灌智慧學習的花朵

德育并不一定是文科老師的專利，在數學教學中，教師也可以潛心提取學科素養中“德性”的養分，助力核心素養落地生根.以下是筆者在平時教學中總結的德育點.

數看實質，式看形式——初一新生活既需要形式多樣豐富多彩的活動，又需要體會各種活動的真諦，盡快適應新同學，新老師，新環境，新要求，就如同我們要盡快走出小學算術的樂園，盡快走進字母代數的新天地！

問道于零，關注特殊——零的特殊性在實數的學習中，我們總結了若干個特性：零既不是正數也不是負數；零是最小的自然數；零的平方、立方、平方根、立方根、絕對值都是零；零大于一切負數，小于一切正數；零在加減乘除運算中的特殊性等等，學生用這種方法去解決實數的概念理解問題會方便很多，以至于生活中跟他們講關注特殊人群，關注特殊的社會問題等深刻的道德問題，甚至高深的哲學問題時，他們似乎也能更好地理解.

事不過三，是我處理學生錯誤的原則之一，當它與“規律題”的思考方法結合在一起的時候，學生們記憶尤深——準確地找推一二三，事不過三觀察猜想，用四來驗證.

學以致用——學了什么，什么就是一種方法，常見的“字母代數”、“方程方法”、“數軸法”、“絕對值法”、“因式分解法”等等，都是如此產生的.而每一種方法都依托于一種知識，我們既可以理解為水到渠成，又可以理解為相輔相成，這就是思想與方法，也是數學與哲學.

狠準抓“七寸”，對于難度大的問題，我們只要抓住它的“七寸”，如同毒蛇與巨蟒，瞬間沒了攻擊力；審題多方式，抓題眼，列表格，用基本關系式等等，處理問題的方法總比困難多；多設元，設而不求——退一步海闊天空.

很多時候，很多地方，只要我們用心地去體會每一個教學活動，學科中“德性”的養分很多，注意汲取，注意提煉，長期以往就會沉淀出“數學的氣質”——嚴謹，細致，靈活，有序，重點突出，及時調整等都是教育應該追求的“素養”.十幾年后，我們所學的知識用不到了，但學知識過程中培養出來的方法、能力和意志力卻終身受益.

教育的真諦是教育不改變生活環境，卻能改變人的思維方式，最后奉上蕭文強教授的一句話來與大家共勉：為教人而教書，由教書而教人，做學養型教師，學無止境，教無止境.