“學為中心”理念下幾何定理教學的思考
——以浙教版八年級下冊《5.1矩形（2）》為例

☉浙江省寧波市四眼碶中學 單勤海

“學為中心”的核心理念是以學生的學習為中心，指的是教學中把學生作為教學的真正主體，讓學生嘗試自主學習和探究，通過生生合作與交流探討，從而主動獲取知識.定理是“圖形與幾何”板塊最重要的學習內容，也是幫助學生形成歸納推理和演繹推理能力的重要途徑.那么，在幾何定理教學中如何落實學為中心的理念？最近，筆者探索了“學為中心”理念下幾何定理的教學實踐，在此和各位同行分享.

一、備課過程中的相關思考

筆者在深入研讀教材和相關學習理念的基礎上，思考了以下問題：

問題1：幾何定理教學有哪些特點和規律

幾何定理教學的目標是：感悟定理的來龍去脈，推導或論證定理并揭示其中有代表性的數學思想、思維方法和典型的數學技能技巧，體驗定理的應用過程.因此，定理教學的一般步驟是：發現與提出問題→猜想與表達命題→推導與論證命題→鞏固與運用定理.時下，在定理教學中，教師特別注重后兩個環節，即“突出定理的識記和運用”，而忽視了前兩個環節，即“定理的發現過程”.因此我們應該重視遵循定理的學習規律，設計幾何定理的獲得過程.

問題2：如何在定理課中體現“學為中心”的理念

學為中心的課堂有兩個基本特征：一是學生嘗試獨立學習和合作學習，二是教師組織、引導和幫助學生學習，做學生自主學習的推動者和促進者.學為中心的初中數學課堂，學生學的關鍵是閱讀、思考、交流、歸納、練習，教師教的關鍵是引導、啟發、組織、幫助、小結.學為中心理念下的幾何定理教學應著重于如何設計問題讓學生發現和提出命題，如何讓學生在討論交流證明定理上下功夫，真正引導學生學，激發學生學.

問題3：本節課的教學目標是什么

本節課的主要內容是學習矩形的兩個判定定理“有三個角是直角的四邊形是矩形”、“對角線相等的平行四邊形是矩形”.在本節課之前，學生已經學習過矩形的概念和性質.因此，通過本課的學習，學生不僅要掌握矩形的判定定理，學會運用判定定理來解決問題，還要在矩形判定定理學習的過程中進一步感悟定理的學習規律，用歸納推理來發現結論，用演繹推理來證明結論.

問題4：本節課的教學重點、難點是什么

由于特殊幾何圖形的判定是認識幾何圖形的重要組成部分，因此本課的教學重點是矩形的判定定理.本課中的例2是從中位線的平行轉化直角來判定矩形，它的證明思路對學生來說有一定的難度.

二、課堂教學過程簡述

教學伊始，師生共同回顧矩形的定義并根據矩形定義畫出一個矩形.

1.問題引導，提出猜想

師：同學們，老師這里有一張不規則的四邊形紙片：如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，你能僅用如圖2所示的“直角三角板”裁剪出一個頂點都在四邊形ABCD邊上的矩形嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

生1：如圖3，用直角三角板過點A畫AD的垂線與BC相交于點E，過點E畫AE的垂線與CD相交于點F，則四邊形AEFD就是矩形.

師：按他這樣裁剪的四邊形AEFD看起來確實很像矩形，你能說說為什么這樣裁剪是矩形嗎？

生2：因為∠DAE=∠D=90°，所以AE和DF平行.因為∠DAE=∠AEF=90°，所以AD和EF平行，所以四邊形AEFD是平行四邊形.又因為∠D=90°，根據矩形的定義，四邊形AEFD是矩形.

師：很有道理！那么，由此你能得到如何判定一個四邊形是矩形嗎？

生3：“有三個角是直角的四邊形是矩形”.

師：有三個角是直角，第四個角也一定是直角了，所以我們得到矩形的判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形.能用符號語言表達這個定理嗎？

生4：在四邊形ABCD中，因為∠A=∠B=∠C=90°，所以四邊形ABCD是矩形.

師：現在請大家根據判定定理1畫一個矩形.（學生畫，老師也在黑板上畫一個）現在，請大家看我黑板上畫的矩形（圖4），你覺得我畫的這個四邊形是矩形嗎？

生眾：是的.

師：我看看也是的.（微笑）如果有一個直角三角板，我就去驗證一下，是不是所有角都是直角.現在，問題來了，我手頭只有一個如圖5所示的圓規，你能用圓規來驗證它是否為矩形嗎？

同小組的一起討論，試一試，再想一想你的猜想為什么正確.

圖5

教學說明：本教學片斷通過“用直角三角板裁剪不規則四邊形”問題引出矩形判定定理1，用“圓規驗證已知四邊形是否為矩形”導出矩形判定定理2，讓學生在問題解決的過程中發現判定矩形的命題，從而獲得猜想尋求證明.

2.合作討論，證明命題

師：哪一小組可以來說說你們的想法.

生5：我們討論認為：圓規用三次，就可以驗證它是否為矩形！首先，用圓規驗證四邊形的兩組對邊是否相等，來判定這個四邊形是否為平行四邊形.再驗證一下兩條對角線是否相等，如果相等，這個四邊形就是矩形了.

師：兩組對邊分別相等得到平行四邊形，這個我同意！現在你的意思是“對角線相等的平行四邊形是矩形”，如何證明？

生6：如圖6，由于已經知道了四邊形ABCD是平行四邊形，因此主要證明該平行四邊形有一個角是直角.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD=BC，又AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB.所以∠ABC=∠DCB，而根據AB∥CD，這兩個同旁內角互補，所以每個角都是直角.

師：很好！利用全等三角形得到對應角相等，再證明這兩個正好互補得到直角！其他小組，還有不一樣的證明方法嗎？

用地政策是制約星光村鄉村旅游進一步發展的最大障礙。雖然四川省也在積極探索宅基地三權分置，但是目前政策不明朗。星光村名氣打響后，很多外來業主愿意到星光村投資，已入住的業主也想擴大規模，但是都因為用地政策突不破，新項目引進和規模擴大受阻，影響了星光村鄉村旅游的進一步發展。

生7：如圖6，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO=CO，B0=DO.又因為AC=BD，所以AO=BO=DO，所以∠DAO=∠ADO，∠BAO=∠ABO.又因為∠DAO+∠ADO+∠BAO+∠ABO=180°，所以∠DAO+∠BAO=90°，即∠DAB=90°.

師：這樣我們就得到了矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.用符號語言如何表示這個判定方法？

生8：在平行四邊形ABCD中，因為AC=BD，所以四邊形ABCD是矩形.

師：這樣我們就可以用如圖7的刻度尺來畫一個矩形了.請大家根據矩形的判定定理2用刻度尺畫一個矩形.

圖6

圖7

生眾：（畫圖）.

師：哪位同學能夠描述一下自己的畫法嗎？

生9：先用刻度尺畫一條線段，然后找到中點，再畫一條和原線段等長的線段，并且以原來線段中點為第二條線段中點.順次連接兩條線段的端點得到的四邊形為矩形.

生10：因為對角線互相平分，所以所畫四邊形是平行四邊形，因為對角線相等，所以該平行四邊形是矩形.

教學說明：本節課的難點是獲得矩形判定定理2，在學生獲得猜測并經過小組合作討論以后，讓學生展示多樣的證明方法，感悟合情推理用來發現結論，演繹推理用來證明結論.在每一個判定定理得到后，都讓學生從文字語言翻譯成符號語言，規范幾何的書寫與表達.值得說明的是，在每一個判定定理后，都讓學生思考如何借助“直角三角板”、“刻度尺”等工具來畫出圖形，培養學生平時養成良好的畫圖習慣.

3.練習運用，鞏固定理

教師出示以下練習，學生獨立思考完成.

出示以下練習：

1.如圖8是由16個全等的小正三角形構成的網格，請你利用網格的格點畫出一個矩形，并說明理由.

圖8

圖9

圖10

圖11

2.如圖9，BC是等腰三角形BED的底邊ED上的高線，四邊形ABEC是平行四邊形.

求證：四邊形ABCD是矩形.

教學說明：本片斷配備練習1的目的是讓學生鞏固矩形判定定理2，學生展示了圖10、圖11的圖形思路的獲得過程.練習2的目的是讓學生學會嚴謹規范地書寫證明過程，本題既可以用矩形的定義來證明，也可以用矩形判定定理2來證明，讓學生學會根據題目的條件合理選擇證明方法.在完成這些練習后，讓學生圍繞圖12填寫依據，進一步歸納矩形的判定方法，學會有條理地證明.

圖12

4.例題講解，拓展運用

出示課本例2：

例2 一張四邊形紙板ABCD形狀如圖13所示，它的兩條對角線互相垂直.若要從這張紙板中剪出一個矩形，并使它的四個頂點分別落在四邊形ABCD的四條邊上，可怎樣剪？

圖13

圖14

主要教學過程如下：先讓學生嘗試解決例2中的問題，再閱讀課本116頁思考下列問題：（1）本題證明矩形的每一步依據是什么？（2）還有其他證明方法嗎？學生在閱讀后說明了每一步的依據，厘清了產生直角的思路：以中位線的方法產生了直線平行，從而以兩次平行線推理出一個內角為直角.這樣重復三次可以得到三個角為直角，從而得到該四邊形是矩形.在學生完成例題和書上的練習后，教師再次幫助學生一起梳理證明矩形的方法：可以考慮先證明這個四邊形是什么四邊形？如果是平行四邊形，那么就再證明一個直角或對角線相等，以定義或判定定理2，證明這個平行四邊形是矩形.如果無法證明該四邊形是平行四邊形，那么可以通過證明三個角為直角來直接判定矩形.

教學說明：例2從四邊形ABCD中裁剪出一個矩形，方法有很多（如畫圖說明），但是這種方法學生無法證明.所以，我們讓學生先獨立思考再閱讀課本例2的解題過程，作為判定的具體應用.然后再一次梳理證明矩形的方法.值得說明的是，在學為中心的課堂里，我們把“反思與歸納”滲透在課堂教學的各個環節中，課尾的歸納就是對歷次歸納的再次強化和升華.

三、“學為中心”理念下幾何定理教學的思考

1.以問題（或問題情境）激發學生思考，感悟定理的發現和提出過程

當前，許多教師非常重視定理的識記和套用，但常常忽略定理的發現和提出過程.筆者認為，定理教學應該重視命題的提出和直觀理解的過程，應該創設一些問題或者問題情境讓學生去發現一些對他們而言是新的數學結論，并體驗發現的過程.讓學生經歷數學定理發現和提出的過程，這不僅有利于學生獲得一些研究幾何對象的方法和經驗，更有利于培養學生發現問題和提出問題的能力，這些能力促進了學生實踐和創新能力的提高，形成良好的數學素養.讓學生經歷定理發現和提出的過程，主要有兩種途徑：一是設計問題讓學生在解決問題的過程中發現新命題；二是構造原命題的逆命題發現新命題.如在本課教學中，筆者有意設計了兩個問題“僅用直角三角板如何裁剪出矩形？”“僅用圓規如何驗證一個四邊形是否為矩形？”讓學生在問題解決的過程中發現矩形的判定定理.

2.放手學生思考和討論，探索形成多樣化的證明思路

在幾何定理學習過程中，許多教師認為定理的證明不會考，因此可以少講甚至不講，所以定理證明往往是匆匆過場而急于運用，試圖通過大量的解題訓練來掌握定理.事實上，學生尋求命題證明思路的過程就是反復熟悉命題題設的過程，也是熟悉命題結果的過程，這對定理運用中尋求和構造定理的條件并獲得結論提供了方向引領和有力支撐.如本教學片斷中通過證明對角線相等的平行四邊形是矩形這個定理，使得學生在解決其他問題時明確求證平行四邊形，尋找對角線.在“學為中心”的課堂里，我們放手讓學生獨立思考、自主討論，獲得多樣化的證明思路.在進行交流展示時，要特別注重“不要說解題過程”，而是“要說思路的獲得過程”，讓更多的同學學會“怎樣想問題”.特別要注意的問題是學生的自主性學習并不是自由性學習，在組織學生自主閱讀、討論的過程中，教師要巡視教室，發現難點，有意識地參與某些小組的討論，搜集學生的思考信息.

3.搭建閱讀和書寫平臺，養成嚴謹規范的表達習慣

一般地，書寫幾何定理的證明和運用過程不像代數問題“算下去看著辦”，而是先通過圖形獲得解決問題的思路，有了解決問題的整體框架再規劃書寫解題過程.同時，書寫表達解題過程，也呈現了解題者的思路，形成了做事的習慣.在“學為中心”的課堂里，我們特別重視學生的“表達”：讓小組組員間互相說解題過程，通過投影展示學生的解法，糾正學生書寫中的跳步、敘述煩瑣和不當的現象，通過教師的示范板演讓學生學會幾何定理文字語言和圖形語言、符號語言之間的互相轉換，通過閱讀模仿課本的例題進行書寫.如本課教學中，我們讓學生閱讀定理和例2的證明過程，既是理清思路，也是學習書寫表達的過程.

4.重視幾何定理教學的工具意識，強化定理的鞏固與運用

定理形成后，還要進行及時鞏固與運用.一般地，定理的運用分為直接運用與變式運用.直接運用就是所提供的試題的條件完全與定理的條件吻合，學生直接運用定理的條件進行證明或者計算，它的主要目的是加深對定理的理解與記憶.變式運用需要學生根據題目的已知條件進行計算、推理或者構造得到符合定理條件的幾何模型，再運用定理解決問題，它對學生的數學分析問題和解決問題的能力提出了較高的要求.但是，定理的運用并不是單純地做題！在本課教學中，筆者在學生獲得矩形的判定定理1后，讓學生用直角三角板畫矩形，在獲得矩形判定定理2后讓學生用刻度尺畫矩形，設置練習1的網格圖用直尺畫矩形，例2讓學生嘗試用刻度尺畫出圖形，通過探究、驗證和利用定理畫圖，使學生在課堂活動中體會如何尋求定理的條件，這些練習讓學生運用日常學習的常見工具（直尺、圓規、刻度尺、三角板）來解決問題，既有操作的載體，又體現工具的作用，讓動手成為學習的習慣，通過工具的靈活運用掌握探索幾何命題的方法.

總之，學為中心理念下的幾何定理教學要充分發揮學生的主觀能動性，以適合學生自主性的課堂活動為主要教學組織方式，努力發展學生的自我學習能力，養成會思考、會閱讀、會實踐、會歸納、會提升的數學學習習慣.