高效課堂 自“圓”其說
——以直角坐標平面內的圖形運動為例

☉浙江省義烏市江東中學 朱國桅

學校為了更好地適應中考，積極推進中考備考示范課教研活動，要求在最后的沖刺階段創設一個符合九年級課堂教學實際的“標準”課型.在備課組同仁的積極舉薦下筆者挑起了示范課的重任.

一、課前做法聚焦

本節示范課筆者選擇了直角坐標平面內的圖形運動，這是一種數學的思想，是近幾年中的一個熱點.這類問題詮釋了課標的真實意義，“充分激發學生的主動意識和進取精神，提倡自主合作、探索的學習方式”.但在初中學生接觸這類問題的時候，很多學生都不善于甚至根本不懂得如何去作運動后的圖形，尤其是當涉及到動點的綜合性題目時更是無從下手，其解題過程也是一塌糊涂.在集體備課時，教師都提出了自己的看法，歸納出這樣的兩個大致原因：第一，學生要認知運動的觀念，必須熟練掌握數形結合、分類討論等數學思想，中學生在這方面的應用能力還是有所缺失的；第二，在平時課堂教學過程中教師缺乏一針見血的學法指導與訓練，尤其是關于坐標平面內的圖形運動循序漸進的訓練.基于此，備課組一致認為可以借助這次課堂示范課教研活動，作一個大膽的嘗試.

瀏覽近年來各省市的中考數學試卷，坐標平面內的圖形運動的中考試題內容很寬泛，其中與平面直角坐標系相關的試題基本都是中考的壓軸題，相當多的是將幾何問題、函數問題、圖形運動問題融為一體，把有關圖形置于直角坐標平面中，真正體現了“數形結合”的數學思想.在這次示范課中筆者選用了兩道與“圓”有關的中考試題作為案例，旨在讓學生在再次重溫坐標平面內的圖形運動內容后能夠舉一反三，從容面對.

二、課堂實錄

1.首先引導學生復習坐標平面內的圖形運動的相關知識

教師：直角坐標系的“直角”意味著什么？

學生：兩個數軸相互垂直.

教師：用直角坐標系是如何表達數學方程的？

學生：確定若干個滿足方程的點，將點用光滑的曲線連起來.（教師強調：點是基礎）

教師：如何用直角坐標系表達圓的概念？

學生：描述定義.（強調：動點到定點的距離為定值）

圖1

2.例題示范

通過電子白板展示：

例題 如圖1，在直角坐標系中，⊙O1與x軸相切于點A（-2，0），與y軸交于B、C兩點，O1B的延長線交x軸于點D （， 0），連接AB.

（1）求證：∠ABO1=∠ABO；

教師：在幾何中有哪些情況可以證明兩個角相等？

生甲：①兩線相交的對頂角相等；②同一角或等角的余角相等；或同一角或等角的補角相等；③全等三角形或是相似三角形的對應角相等；④在平行線被第三條線相交時，同位角或內錯角是相等的……

教師：在圓中有哪些情況可以說明兩個角相等？

生甲：①同圓或等圓中，等弧或等弦所對的圓心角和圓周角分別相等；②圓內接四邊形的外角與它的內對角相等；③一個圓的弦切角與它所夾弧對的圓周角相等……

教師：同學們分析本題（1）應該用什么方法？（同桌學生進行討論交流）

生甲：（舉手）先連接AO1，可以推斷∠ABO1=∠O1AB、∠ABO=∠O1AB，本題即可以證明.

教師：請同學甲上臺展示證明過程并加以說明.

生甲：（上臺用投影儀展示，并解釋）

（1）在圖1連接AO1、⊙O1與x軸相切于點A，根據切線和過切點A的性質推斷O1A⊥x軸，進而O1A∥OB；∠O1AB=∠ABO；又有O1A=O1B，就能發現∠O1AB=∠ABO1，∠ABO1=∠ABO（展示圖如圖2）.

圖2

圖3

教師：說的很好.（學生鼓掌）

教師：有沒有學生對（2）發表看法？

生乙：（舉手，教師示意起來回答問題）我是通過△ABF和△EBC相似，用對應邊成比例化成積的方法，將BE·BF轉化為AB·BC；只有求得AB、BC的長代入式子就能得出結果.

教師：同學乙給出的方法針對性強，但在推理過程中的步驟一定要合理，不能有“斷層”現象.給同學5分鐘，各組討論并將答案寫在答題紙上.（5分鐘后有學生舉手）

生丙：（上臺展示答案）

（2）連接CE（展示圖3）.

再由OB∥O1A，可以得到

設BD=2x，就有O1D=5x，

又因為OA切⊙O1于A，OC是⊙O1的割線，即有OA2=OB·OC；代入數值得出OC=4、BC=OC-OB=3.

生丁：（上臺展示評價）

步驟比較完整，但在給出“再代入在直角△O1AD中解得x=”時，我認為不夠合理，應將勾股定理式子寫出來，就是說應該補充成“在直角△O1AD中，O1A2+AD2=O1D2，即，解得x=”（.同學鼓掌）

教師：同學丁提出的意見有道理，推理要有理有據，不能含糊其辭，數學證明要嚴謹.

3.變式訓練

通過電子白板展示：

練習：如圖4，在平面直角坐標系內，⊙O1與y軸相切于C點，與x軸有兩個交點，分別是A（2，0）、B（8，0），且圓心O1在第四象限.

（1） 過B作BO1直線交⊙O1于另一點D，求點D的坐標；

（2）若線段BD上有一點M，使得AB2=BM·BD，能否推出AM⊥BD？請給出你的結論，并說明理由.

學生自主練習，教師在教師巡視并指導.

學生：展示答案并評價（略）.

教師：（總結本節內容）.

圖4

三、教后反思提升

本節內容是教學的難點，也是學生學習的難點，同時也是中考的熱點.在授課之后，備課組討論后給出對本節課的評價：

（1）在平面直角坐標系內兩坐標軸互相垂直的關系和點的坐標與計算有關線段的長度之間的相互轉化，這是數形轉換的基礎，在課堂上有所體現；

（2）圓的圖像與坐標軸的交點是圓的相應的方程去x=0或y=0時的另一未知數的根，這點沒能在課堂上很好的強調，只是蜻蜓點水，需要改進；

（3）在圖形中某些元素的運動，如動點在圖形中的沿線運動等等所帶來的變化，可以通過大膽假設進行判斷.這點在課堂上有所體現、做得不錯.

總之，本節課是筆者為初中畢業生的復習備考而精心準備的一節示范課，有一些成功之處，也暴露出一些問題.我感覺到本次課堂教學是一種歷練，也是一種對專業能力的提升.我相信，只有在備課組的集體智慧的催生下，數學備考才會在中考中碩果累累.