研習“三個理解”，提升教學設計立意
——對“三角形內角和”同課異構的評析

☉江蘇省睢寧縣第二中學 朱 振

最近有機會參加了某地“三角形內角和”同課異構教研活動，由于本次開課教師都是工作3年以內的初任教師，老師們也是限時獨立備課后再上課的，基本體現了這些初任教師當前的數學教學基本功.本文先整理三個課例的主要教學流程，并給出教學評析，提供研討.

一、“三角形內角和”同課異構課例

課例(一)

教學環節1 新課導入

復習回顧三角形的基本知識，前一階段已經學習了與三角形有關的線段，本節課開始研究與三角形有關的角.三角形有三個內角，他們之間有怎樣的數量關系？三角形內角和為180°.教師提問：怎么證明這一結論呢？

教學組織：教師通過復習與三角形有關的線段過渡到與三角形有關的角，構成知識體系.通過提問，啟發學生思考.

教學環節2 探究發現

師：在小學我們是如何通過剪拼得到“三角形內角和為180°”的？

教學組織：學生小組動手操作，發現多種拼合方法，小組代表上臺展示.每種方法展示后，其他小組同學思考證明方法，教師在評析之后再規范推理論證的步驟書寫，最后由學生整理證明方法.得到三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.

教學環節3 例題教學

學生完閱讀例1并思考，由學生分析題目，提出思路并整理過程.

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線.求∠ADB的度數.

圖1

圖2

例2 如圖2，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度？

教學組織：例1的教學比較常規，教師組織學生得出答案后就進入例2的教學.教師先將例2中的實際問題抽象成幾何問題，比如師生合作明確出“∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠CBE＝40°，求∠ABC和∠ACB的度數”.沒有給學生足夠的思考時間，教師就幫助學生分析：連接點A，B，C構成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內角.若求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.最后由學生整理過程.

教學環節4 課堂小結與作業（略）

課例（二）

教學環節1 創設情境，引入課題

在課堂的一開始，讓每位學生準備一張小三角形紙片，提出問題：“三角形的內角和為多少？”因為學生小學時候已經接觸到三角形內角和為180度，這里主要是讓學生利用手中的三角形紙片來探究出三角形內角和為什么是180度.從而引出本課要研究的內容：三角形的內角.

教學環節2 小組討論，證明定理

通過學生小組交流討論，得到兩種實驗驗證的方法：第一，通過折疊，將三角形的三個內角頂點折疊到同一點上，從而使學生們發現這三個內角構成了一個平角.第二，通過裁、剪、拼，將三角形的三角全部剪下，再次拼接，也會發現這三個內角構成了一個平角.在學生動手操作的過程中加深學生對于三角形內角和為180度的理解，然后讓學生們從這張三角形紙片上能否得出相關的啟示，結合之前所學內容，自己嘗試著能否想到三角形內角和為180度的證明思路.

在學生獨立思考的基礎上，老師進行引導，如將三角形與平行線進行結合等，從而解決今天教學重難點——三角形內角和定理的證明.（教師帶領學生完整給出了兩種證明方法，這里略去）

教學環節3 例題講評，變式教學

結合例題1，例2講解（例題同上一節課例1、2），以一題為引入作示范，另外幾題采取讓學生給學生講的方式，并由學生來進行糾錯或添加其他解法，充分將課堂的主體性交給學生.

在這一環節中，學生在剛剛某個基礎圖形上進行添加或改變一兩個條件，并讓其他學生來進行證明，相當于讓學生在三角形內角和的基礎上自己創造題目來進行對三角形內角和的運用，在這一來一回的互動過程中來加深學生們的理解，同時可使課堂增加趣味.最后老師增設了例3.

例3 如圖3，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？

圖3

教學組織：由該題教師總結出直角三角形兩銳角互余的性質，補充在黑板上形成三角形內角和定理的推論，另外還提煉了該圖形中的一個基本圖形（“8字形”）.

教學環節4 課堂小結，作業布置（略）

二、課例評析

第一，基于“三個理解”，精確定位教學目標

近年來，章建躍博士曾倡導的“三個理解”得到一線老師的廣泛響應，而對于初任教師來說，他們從師范學校中好像還沒有受到其太多影響.在本節內容之前，學生已經學習了與三角形的邊有關的內容，在學生對三角形的邊有一定了解的基礎上，繼續學習三角形的內角，加深了學生對三角形的全面認識，學生能更加充分地了解三角形，同時也為后面學生繼續學習多邊形的內角和奠定了基礎，所以本節內容起著承上啟下的作用.此外，在小學階段，學生就已經初步接觸了三角形，并對三角形的內角和等于180度已有認識，而在初一階段，學生在實際解題（有些平行線性質的習題）過程中，也遇到過不少需要運用三角形內角和是180度的結論的題目，所以學生對三角形的內角和應該比較熟悉.據此，執教老師把本課的教學目標定位為“掌握三角形的內角和定理及證明方法，并能靈活運用定理求三角形的相關角度問題”是恰當的.

第二，明辨教學重點與難點，適當整合教材開展“學材再建構”

據以上分析，本課的教學重點不僅是三角形內角和定理的證明，還包括三角形內角和定理的應用，這種應用主要是直接運用三角形內角和定理求相關角度，而不涉及繁雜圖形中的角度推導與求解，所以例題選擇上要注意控制難度，特別是不能出現一些繁雜線段背景下的求角度問題.而可以像“課例2”那樣，在最后階段，適當引入直角三角形的問題背景，演算推理出直角三角形兩銳角互余的推論.這樣既是對三角形內角和定理的習題運用，又是定理推論的教學，讓學生看到與三角形有關的角的知識體系的完整呈現.特別是，這個教學過程中體現出來的一般與特殊之間的關系，也能向學生傳遞和滲透特殊與一般的數學研究方法.

第三，初任教師對變式教學、開放教學的專業功夫還有待修煉

由于本次參加賽課的教師都是剛剛參加工作3年以內的初任教師，從他們的呈現的教學設計來看，對變式教學的理解還停留在較低層面上，比如只是對例題的個別條件進行簡單改編，還沒有能全面認識定理教學中的變式策略，以及核心概念教學過程中的一些變式追求，包括一些訓練題的深度變式改編（在不破壞問題深層結構特點時的變式改編）.此外，南京大學哲學系鄭毓信教授倡導的開放式教學，也是值得很多初任老師研習和精進的一個方向，比如對于一些簡單的三角形內角和定理的習題教學，完全可以實施開放式教學，讓學生分組命題，分組解答、交流展示，對一些基本圖形及其性質，也可以讓學生總結提煉，以“數學寫作”（數學小論文、數學反思文章、數學日記等）的形式進行梳理呈現.