以“多邊形的內角和”為例談如何引導初中生合作學習

☉上海市民辦張江集團學校 周巧仙

合作學習是最能發揮學生自主意識，培養學生合作精神的一種學習方法，下面筆者就以“多邊形的內角和”一節的教學為例，探討一下自己在教學中的實踐.

一、教學過程簡介

1.復習舊知，喚醒學生回憶

教師以PPT課件的形式投影各種建筑的圖片，要求學生從中找到多邊形的模型，并且要求學生回憶三角形的概念和性質.

在學生按照要求進行復習回顧之后，教師提出問題：怎樣定義多邊形？多邊形的內角和有何規律？特殊多邊形之間是否存在差別與聯系？（啟發學生將多邊形和三角形進行類比并提出猜想.）

2.引導合作，提升探究效率

教師首先要求學生從類比著手，總結多邊形的基本概念.這一過程中，教師要組織學生以小組合作的方式展開探索，進而在相互探討中完善自己的認識.

當學生形成概念之后，教師提出問題，引導學生在更加深入的合作中探索：多邊形的內角和規律.

問題1：結合三角形的內角和定理，你能說明四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內角和嗎？如果是n邊形，結果又如何？

問題2：如何構建輔助線，進而求解出內角和的性質？

問題3：如果不借助對角線，是否還有其他方法來研究內角和的性質？

三個問題搭建出螺旋式上升的階梯，引導學生向著較為本質的方向發展自己的認識.最后，教師組織學生在討論中完成對性質的概括，由此引出多邊形內角和定理.

3.趁熱打鐵，鞏固所學內容

教師安排習題：（1）請確定九邊形內角和；（2）已知某多邊形的內角和等于1260°，求這個多邊形是幾邊形？

學生獨立思考，并在合作交流中分享自己對問題的認識，最后教師組織學生總結課堂所學，并安排課后作業.

二、合作學習細節的探討

在本節課上，合作學習應該是最主要的學習方式，教師要關注學生在整個過程中的諸多細節，及時發現學生暴露出的問題，并進行引導和啟發.

1.通過類比法來探索概念

多邊形對學生來說是一個相對陌生的存在，與之對應，三角形卻是一個非常熟悉的概念.在這樣的前提下，類比法成功引導學生將兩種模型聯系起來，結合三角形的概念來認識多邊形的概念.在探索概念時，教師要鼓勵學生積極展開思考和對比，進而對多邊形形成較為深入的認識.

師：你們還記得三角形是怎樣定義的嗎？

生：三角形是不在同一直線上的三條線段首尾順次連接而成的封閉性圖形.

師：三角形有幾條線段組成？

生：三條.

師：在剛才所呈現的圖片中，我們所看到圖形的邊也是三條嗎？

生：不是，有的是四條邊，有的是五條邊.

師：在數學研究中，我們將三條或三條以上線段組成的圖形稱為多邊形.今天我們要研究的對象是多邊形，而三角形就是其中最簡單的一種.如果一個多邊形由四條線段組成，你說它叫什么形？

生：四邊形.

師：如果是由五條線段組成呢？

生：五邊形.

師：如果是n條線段呢？

生：n邊形.

師：三角形有頂點、邊、內角等一系列概念，多邊形也有這些元素嗎？請進行概括.

學生在問題引導下，以類比的方式對多邊形的邊、頂點和內角的概念進行了概括.

師：請問一個九邊形對應邊、內角的個數.

生：九邊形的邊和內角都是九個.

師：在n邊形中，連接相鄰頂點的線段稱為邊，那么連接不相鄰頂點的線段叫做什么呢？

生：對角線.

師：請畫圖并說明六邊形由一點出發的對角線的條數？

生：四條.（學生先是畫圖，形成初步結論之后，在合作討論中進行了答案的確認）

師：如果有一個n邊形，請說明其頂點、邊、內角、由一點出發的對角線的條數？

生：有n個頂角、邊和內角，有n－2條對角線.（學生畫出三角形、四邊形、五邊形等等，在實際操作中進行探索和歸納，并且在合作交流中形成較為一致的觀點）

在上述的合作探究過程中，教師啟發學生從自己的已有認識出發，積極采用類比的方式對陌生的模型展開分析和研究，并最終形成對基本概念的認識.

2.在自主探索中驗證猜想

合作是學生推進認識的主要方式，而學生自主性的發揮應該是他們開展合作的基礎.這里的自主一方面是針對學生的個體，即學生應該在自己確實有所思考和體會之后，再在合作交流中進行分享和討論；另一方面是針對學習小組而言，即教師不能隨意介入學生的合作探究，應該保留學生合作探究的自主權.

通過之前的探索，學生也發現了三角形和n邊形在概念上的區別和聯系，本節課所探索的重點問題是多邊形的內角和，是否可以從三角形的結論中得到啟示呢？學生積極展開猜想，并在合作討論中探討驗證猜想的方法.在他們的合作與交流的過程中，學生充分發揮著學習的自主性，下面介紹一些學生互幫互助的片斷.

師：請談談你對n邊形內角和這一問題的猜想.

生：我們認為應該等于（n－2）×180°.

師：怎樣證明你們的猜想呢？

圖1

生：如1圖所示，可以從某一頂點開始畫出所有的對角線，這樣就可以將n邊形劃分為多個三角形，由此即可用三角形內角和定理來完成證明，比如四邊形被對角線分成了兩個三角形，則內角和等于（4－2）×180°=360°；五邊形被對角線分成了三個三角形，則內角和等于（5－2）×180°=540°；六邊形被對角線分成了四個三角形，則內角和等于（6－2）×180°=720°；因此有n邊形被對角線分成（n－2）個三角形，則內角和等于（n－2）×180°.

師：這種方法可行，其他同學還有別的思路嗎？

圖2

生：我們小組是在一條邊上任意取了一個點，并將這個點和其他的頂點連起來，構成如圖2所示的情況，分出若干個三角形之后，我們需要將多出來的一個平角（180°）減掉，比如四邊形被分成了三個三角形，則內角和等于（4－1）×180°－180°=360°；五邊形被對角線分成了四個三角形，則內角和等于（5－1）×180°－180°=540°；六邊形被對角線分成了五個三角形，則內角和等于（6－1）×180°－180°=720°；因此有n邊形被對角線分成（n－1）個三角形，則內角和等于（n－1）×180°－180°=（n－2）×180°.

師：這個方法也很好.你們還有其他解決方法嗎？

生：還可以在n邊形內部任取一個點，然后向著各個頂點引線，這樣就可以劃分成n個三角形，最后減掉360°就可以了.

師：很好，其實證明的方法還有很多，大家可以在課后繼續交流和探索.

在上述交流過程中，教師先讓學生匯報自己的猜想，然后再由學生提供證明的思路，在這樣的教學中，教師只是提出了問題，并對學生的合作展示進行了組織，其他的工作都由學生自主完成，學生的主體性得到了很好的體現，同時也提高了學習效率.

3.在反思中明確探究思路

對任何知識的學習，學生都將經歷一個由模糊到清晰的過程，他們的思維也將從機械走向靈動.上述過程需要學生在實踐與反思的過程中不斷推進.在本節課上，學生采用小組合作的方式來展開教學，并且在探究過程中得到公式.學生采用不同的方法展開驗證，并按照自己習慣的方式形成理解，為了讓學生構建較為清晰的思路，我們要指導學生進行有效反思，并要求他們在交流中分享自己的心得體會，由此實現更加深刻的認識.

三、課堂教學的體會和感悟

在教學實踐過程中，采用小組合作的方式來引導學生展開探索，能夠讓我們自己更加深刻地領會課改理念，并且在進一步的教學中實踐相關理論.

在本節課的教學過程中，我們引導學生采用類比的思想來認識新的數學模型，并形成概念、提出猜想.在進一步探索內角和定理的過程中，我們又充分運用了化歸的思想，引導學生將陌生的圖形轉化為他們所熟悉的三角形，讓他們高效地完成了歸納和推理.此外，我們不但要關注學生對知識的獲取和理解，更要關注他們對思想和方法的感悟，同時我們還要尊重學生的學習習慣，鼓勵他們按照多樣化的方式展開學習.

以合作學習來建構課堂為學生提供了相互交流、共同成長的平臺，教師要引導他們有序發表自己的觀點，同時也要指導他們在反思過程中交流自己對知識和方法的理解，這樣才能讓合作學習真正發揮實效.F