反思對中職生數學思維能力培養的重要性

摘 要：本文根據中職生數學學習現狀，針對性的指出數學解題過程中教師引導學生反思的必要性，總結了解題過程中每個環節反思的方法以及能提高學生哪些思維能力。數學解題過程中，各個階段的反思不僅能促使學生對問題不斷地進行觀察分析、歸納概括，而且能對其中所蘊含的數學思想和數學方法進行不斷地思考推理并能做出新的判斷，體會解題過程中的樂趣，享受探究帶來的成就感。逐步培養學生的思維能力，使學生養成良好的獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學。

關鍵詞：反思；思維能力；創新；邏輯；拓展；發散

中職數學教學的主要目的之一是培養學生的思維能力，而提高中職生思維能力應注重創新性、邏輯性、拓展性、發散性等方面，在中職課程改革中，新課程的理念是倡導把課堂還給學生，讓每個學生都成為學習的主人，其關鍵就是讓學生學會學習，學會思考，尤其是學會反思。而許多數學教師在課改的過程中，往往只注重了自身的反思，卻忽視了對學生反思能力的培養。

美籍匈牙利數學家波利亞在《怎么解題》中給出了解答數學問題的四個階段：弄清問題——擬定計劃——實現計劃——回顧反思。簡言之，在數學解題中要有以下幾個步驟：審題——探究——表達——反思。但是在很多人的眼中，無論教師還是學生，認為解題只是前面的三個步驟：理解題意，找到解題途徑，寫出解答過程。特別是學生，他們解題的興奮點往往集中在答案上，一旦解出答案，就如釋重負，對解題后反思置之不理。而我認為引導學生反思卻是提高學生思維能力的一個重要環節，尤其是我所任教的中職學校，學生在初中時候所掌握的數學知識系統性、結構性就比較薄弱，在解題過程中又不善于糾正和找出自己的錯誤，能解出個答案就很開心，當完成任務了，根本上是缺乏解題后對解題方法、數學思維的概括。殊不知，題后的反思才是真正能溝通各個知識點之間相互聯系，促進并深化對知識點的理解，只有這樣才能在原有的基礎知識點上建立更高層次的認知結構，進而深化認識并產生新的發現。因此，從某種程度上說解題后反思比前三步還要重要！

一、 反思題目特點 培養創新思維能力

在新教改后的中職數學基礎模塊課程中，有很多章節涉及數學在實際應用中的舉例，而我們的學生在一拿到題目的時候就遇到了題意理解方面的困難，大部分情況下，學生都喜歡憑著自己初中解題的經驗，采用習慣性的思維方式和熟悉的方法，將剛學到的公式硬套到題目中求解，采用盲目嘗試的辦法，剛想到一個念頭就動手解題，當在繼續解題中遇到更大的障礙時，他們是不管這個方法是否合理，還是義無反顧地繼續硬算下去，直到走進死胡同碰壁了，算不出答案才死心，這時候也是最打擊他們自信心的時候，因此為了不讓他們在解題過程中走太多的彎路，教師在解題教學過程中，首先應當引導學生在認真審題之后對題目進行反思，培養學生創新能力，不要墨守成規，學會變通，舉一反三，在反思的過程中獲取知識外更重要的東西。

反思：在等差數列前n項和公式的應用例題中，當我們知道了a1、d、n、an、Sn五個量中的三個量，就可以求出其余的兩個量。針對不同情況，應該分別采用什么樣的計算方法？

找對五個量中的已知量，并且找對對應的公式，對答案起著重要的作用，因此，引導學生積極思考、探討，變換其中的已知量，從而加深對此題的理解，如：

生活實例：小明打算高三實習的時候到中國銀行做一年的零存整取儲蓄，即每月定時存入一筆相同數目的現金500元，一年后，再取出全部的本利和。經他去銀行了解后得知一年期的零存整取年利率是2.85%，而且銀行規定每次存入的錢不計復利（暫不考慮利息稅）。請大家幫他算算一年后他將從銀行取回多少錢？

此題首先考察的是學生在看完題目后能不能分析出題目中所隱藏的一個等差數列，這里教師就可以提示零存整取利息計算公式：利息=月存金額×累計月積數×月利率，引導學生得出每個月的利息其實就是一個等差數列，然后再去找出等差數列五個量a1、d、n、an、Sn中，題目給出的已知量，還有隱含的量，以及要我們求解的量，最后在選出我們該用哪個公式才能求解。從分析可算出的已知量有a1=500×1×0.2375%（倒數第一個月利息），d=500×0.2375%，還有隱藏的量n=12，而要我們求的量則是Sn，分析應該選用等差數列前n項和公式中的哪個公式計算？很顯然應選用含有a1、d、n、Sn的第二個公式：Sn=na1+n（n-1）2d，解出n。

一變：若將題目的條件不變，結論改為兩年后他可以取回多少錢？

二變：小明希望到第12個月末整取時取得本利和為2000元，那么每月初應存入的金額是多少？

教師應該在反思習題的過程中做到多問、多變，實現習題的橫向、縱向拓展，從而培養學生善于觀察題目的特點，快速抓住問題的主要矛盾，達到培養其創新思維能力的目的。

二、 反思解題過程 培養邏輯思維能力

解決了來自審題的頭號問題后，學生又面臨了尋找解題途徑的第二道坎，中職生在解題過程中很喜歡“只問結果，不求過程”，在作業中經常出現一些邏輯不嚴密的過程，一旦解完題有了答案以后從來不去驗證結果的正確性，沒有習慣做任何的反思、總結工作，這樣一些很容易解答的題目錯誤率卻很高。因此，教師應在學生解題后，可以設計一些解題思路的提示讓學生思考、選擇，引導學生從不同角度、方向，按照不同的方法來啟發學生思考，培養學生思維的靈活性，讓學生在提示的指引下或對問題的思考過程中，不知不覺地提高邏輯推理水平。

在等差數列前n項和公式的實際應用例題中，要想捕捉解題信息，我們可以從不同角度、不同方向變換觀察同一個問題，如：

（1）題中的條件是什么，有幾個已知量？待求結論是什么，要求哪些量？

（2）探究應選取哪個前n項和公式來應用？

（3）解題方法怎樣確定——是需要用一個公式還是幾個公式一起應用？

（4）之前的等差數列通項公式應用中有無類似題型——有類似題型解法可供參考嗎？

（5）能否利用數形結合的方法建模——畫出圖表的形式來表示題目？

例：校團委準備在一樓的階梯教室舉辦校第十四屆團代會，籌備小組的同學了解到，階梯教室共有10排座位，后一排比前一排多兩個座位，最后一排有40個座位，問階梯教室可容納多少名學生代表？

解法1 由題意知，各排座位數成等差數列，設公差d=2，a10=40，由等差數列的通項公式先求出首項a1=22，然后再利用前n項和公式Sn=n（a1+an）2，算出S10=310

當學生在用這個方法的時候會涉及等差數列的兩個常用公式an、Sn，而且有些繁雜的計算步驟會給本來計算能力就不強的中職生增加了一定的困難度，所以在這個基礎上可以提示學生再仔細觀察下題目，分析下有關等差數列的相關的幾個量，有沒有發現可以使用更加簡便的方法。

解法2 將最后一排看作第一排，則a1=40，d=-2，n=10，因此只要一步，應用等差數列前n項和的公式Sn=na1+n（n-1）2d就可以得到S10=310

反思其過程，善于變化思維角度，擺脫常規、繁難或錯誤的思路尋找正確或較佳途徑的解決問題。在解完一道題后，通過反思解題過程或題目的特殊因素，進行多角度的觀察、聯想，尋求新的解題途徑，可以使學生思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到培養和發展。

三、 反思解題方法 培養拓展思維能力

正所謂“條條大路通羅馬”，數學應用題的魅力還在于，我們可以通過尋找不同的方法來開拓自己的思路從而得到多種解法，不僅能拓展學生的思維能力，還能從中享受解題的樂趣。因此我們在解題之后還是要多角度思考是否還有其他解法，靈活變通，及時總結出解題技巧，讓思維更具有創造性。

實例：在“汽車發動機拆裝”實訓課前，李老師從實訓處領來一盒氣缸密封墊圈打算上課的時候備用，總共是6個，其中3個一等品，2個二等品，1個三等品，他從中任取3個給上午實訓的班級使用，請問其中沒有三等品的概率？

分析：從6個中取3個出現的不同種類的次數為20計算公式是C36。

方法一：3個中沒有出現三等品則可以看成在3個一等品，2個二等品中選出3個，則沒有三等品的次數為的C35，則沒有三等品的概率為P=C35C36=1020=12。

方法二：沒有三等品則可以看成以下三種情況：3個一等品次數為C33=1種；2個一等品，1個二等品次數為C23·C12=6種；1個一等品，2個二等品次數為C13·C22=3種；則沒有三等品的概率為P=C33+C23·C12+C13·C22C36=1020=12。

方法三：設A={沒有三等品}，B={有三等品}，A和B為兩個互斥事件，且P（A）+P（B）=1，即P（A）=1-P（B），又因為P（B）=C25·C11C36=1020=12，則P（A）=1-12=12。

通過反思解題方法的多樣性，讓學生從問題出發，從不用的角度入手，去尋找更簡潔、更適合自己的解題方法，并在尋求的過程中對類似的題型進行歸納整理，形成解題技巧，這樣的反思過程不僅拓展了學生的思維能力，還培養了學生歸納總結的能力。

四、 反思解題結果 培養發散思維能力

最后對解題結果的反思也是相當重要，在數學應用題中并不是你解出來的答案都符合現實條件，因此檢驗結果是否符合題意，符合實際尤為重要。在驗證的過程中教師可以通過引導學生運用已掌握的知識和方法，進行多角度、多方位的驗證，也可以采用特殊值或具體數值的帶入驗證，讓學生在驗證中打開思路、鍛煉發散思維能力。

例如在對城市軌道專業的學生上分段函數的課程中，我們就可以針對各地地鐵票制問題創設出這樣的情境：我國的地鐵票制有以下三種：單一票制、計程票制和混合票制，作為全球地鐵里程數排名第二的上海地鐵，它的票制為0-6公里3元；6-16公里4元；16-26公里5元；26-36公里6元；36-46公里7元；46-56公里8元；56公里以上9元。請問同學們它屬于哪種票制呢？試用我們剛學過的分段函數來建立應付的票價y（元）與實際乘坐的公里數x（km）之間的函數關系，并作出函數圖像。

解：設實際乘坐的公里數x（km），應付的票價y（元）。列出分段函數為：

y= 3，0

3+0.1×（x-6），6

9，x>56。學生誤將6-56公里這段簡單地認為每增加十公里票價就增加1元，則每公里的票價就可以算成0.1元，就得出了以上的分段函數。我們將6～56公里中任取一個x值代入驗證一下就會發現其中的不妥，比如x=35公里，代入得到y=5.9元，首先我們地鐵的票價都是整數，答案得到的5.9含有小數點這是很顯然的錯誤，再來35公里對應的應該是26-36公里6元這個區間的票價也和我們算出的答案不符，這一驗證我們就可以很快地將之前那個分段函數判斷為錯解。

通過對解題結果的反思，不僅能提高學生解題的正確率，同時讓學生在嘗試、探索、驗證的過程中體會數學的嚴謹性，從而培養其發散思維能力。

總之，在中職數學教學中要重視培養學生在解題過程中反思的習慣。反思不僅可以幫助學生正確理解題意、尋求最佳途徑、多角度思考問題、提高解題正確率，從而更好地幫助學生鞏固知識點，減少盲目解題、無從下手、答不合題的毛病，提高學習效率，同時在反思的過程中能將運用知識解決實際問題的能力，轉化為培養各項數學思維能力。所以反思如同一面鏡子，能幫助學生更加清晰地認識自己的不足，只有通過不斷地改進，才能實現真正的突破，取得更好的成績。

參考文獻：

[1]劉奇毅.淺談初中數學課堂例題教學解后的反思[J/OL].百度文庫.

作者簡介：游潔，福建省福州市，福州機電工程職業技術學校（交通校區）。