談定義域在高等數學解題中的一些作用

陳思漫

摘 要：函數作為重要的數學工具，在數學中的應用十分廣泛，定義域是函數三要素，簡單而言就是函數中因變量的取值范圍。在高等數學中，定義域作為重要的教學內容，由于類型豐富，是學習中的難點，可見不斷地探究定義域的在高等數學中的解題作用，具有很強的現實意義與必要性。定義域的應用十分廣泛，對于學習函數，應用函數，以及對于相關問題的求解有著十分重要的作用。本文結合高等數學學習實踐，對于定義域的在解題的過程中的作用，以及相應的解題要點進行分析，希望為高等數學的學習提升提供相應的依據。

關鍵詞：定義域；解題；高等數學；作用

數學的學習能夠有效地促進學生數學能力的養成，尤其是對于學生數學素養有著十分積極的養成作用，可見我們不斷地展開對于數學的學習，積極提升自身的數學能力以及素養，對于自身發展有著積極而深遠的意義。

一、函數值域的確定

函數定義域在高等數學解題過程中，首要的一個作用就是確定函數的值域，函數的定義域、值域以及對應關系的是函數的三大要素，在高等數學中，定義域與值域往往都是具體的區間，對應關系將變得復雜，即函數的表達形式十分復雜，定義域的主要的作用就是進行值域的確定，值域的確定是數學解題的基本思路所在，正是由于其具有基礎性的作用，我們在學生的過程中應當更加注意。例如，在下述例題中，求解函數的值域。

此函數為分段函數，即定義域區間不連續，且在不同的定義域區間下函數有著不同的對應關系，根據定義域求解值域，依據上題目，應當計算不同區段函數的值域，然后進行值域的合并，實現值域的求解。上題中，第一段函數值域為，第二段函數值域為，總體而言函數值域為?？偟膩碚f，函數值域的求解有兩個層面的要點需要注意，尤其是在高等數學復雜的函數表達形式下，更是十分關鍵的。其一，函數的單調性判斷十分關鍵，如果函數是單調的，函數值域范圍所對于的就是定義域的范圍，如果函數不是單調的就首先進行單調性分析，再根據定義域求解值域[1]。其二，定義域區間的開閉十分關鍵，例如單單調函數在兩側均為開區間的情況，就不會出現最大值和最小值。更為重要的是，值域往往是問題結果的重要體現，帶有很強規律性，因此不斷地分析對應關系對于不同定義域區段的作用，十分必要。

二、函數單調性判定

定義域在高中數學解題中，還有一個重要的作用，就是對于函數的單調性進行相應的分析。函數的單調性簡單而言，就是在定義域中函數函數值的變化，函數有單調函數與非單調函數之分，其中單調函數又有單調遞增以及單調遞減的情況。定義域在函數單調性的求解中十分關鍵[2]，主要在以下兩個方面展開分析。首先，對于基本函數，我們往往可以根據函數的定義域，根據函數的性質進行求解。例如，冪函數，指數函數等基本函數可以實現函數單調性的直接分析。其次，在高等數學中，符合函數單調性的求解往往是十分復雜的，因此就需要運用導數的知識進行分析，定義域有著重要的作用。例如：

求解函數的單調性，定義域為

首先對于函數進行求導，即，然后通過判斷導函數的取值范圍進行相應函數的單調性求解。將定義域分為兩個區段，與，上述兩個區段的定義域下，導函數分別是大于0或者小于0，這就能夠得出函數單調性，即導函數大于0，函數單調遞增，反之，函數單調遞減。函數單調性的確定，是函數問題求解的常見形式，而定義域是問題求解中的關鍵，應當不斷地引起我們的重視。其一，函數單調性求解往往基于復雜的符合函數進行求解，因此重點分析定義域，對于函數單調性進行分析，十分關鍵。其次，在單調性求解的過程中，注意函數定義域在導函數中的適用性十分關鍵，即函數定義域可能在導函數中不適用，應當引起我們的重視。

三、具體問題討論范圍的限定

數學的本質總的來說就是解決問題，即不斷地運用數學知識實現對于相關問題的求解，這也是數學學習的本質所在。函數是重要的數學工具，在解決實際問題中，函數能夠對于相應的規律進行反映，對于問題解決十分關鍵。定義域在實際問題的解決過程中，最為重要的作用就是能夠限定具體問題的討論范圍，這對于實際問題的解決十分關鍵。首先，實際參數作為因變量，與目標值建立了相應的對應關系，定義域能夠限定范圍，使得問題討論求解不斷地簡化。例如，建立溫度了與氣體密度的函數，函數是十分復雜的，進行全面規律分析十分困難，但是根據實際情況，普通溫度的變化僅僅在一個區間內，因此只有在相應區間進行問題的討論分析十分關鍵。其次，實際問題中解決中，定義域層面的確定，不僅僅簡化了問題的解決過程中，而且對于實際問題的解決有著很好的實際導向。使得問題的求解更加具有針對性?？偟膩碚f，定義域定義了函數關系的作用范圍，不斷地對于定義域進行分解，合并以及相應的劃分，對于問題求解十分關鍵，使得問題求解更加具有針對性。

函數定義域是數學問題的中重要的基本概念，對于問題求解，對于整體層面數據能力的提升有著重要意義。在高等數學中，定義域對于函數問題的求解十分關鍵，尤其是在實際問題的求解中，積極應用定義域的特性，不斷地結合對應關系，以及值域進行分析，十分必要。總的來說，在定義域內容層面的學習中，需要不斷地學習基本概念，靈活運用，創新實踐，將課程知識與生活實踐相結合也是新教育理念發展層面的要求。

參考文獻：

[1]周維.淺談定義域在高等數學解題中的一些作用[J].大學數學， 1995（3）：256-258.