例談化歸思想在求數列通項中的應用

鮑遠春

[摘 要]數列是高中數學的知識模塊中相對較為靈活多變的地方，技巧性強.高中教材中，只介紹等差數列和等比數列.對各種形式復雜的數列，要通過一定的變形才能將它轉化為等差數列和等比數列.化歸思想在解決數列有關問題時特別有效.

[關鍵詞]數列；化歸思想；通項；轉化

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0033-02

所謂化歸，就是將新的數學問題通過變形、轉化等方式歸結為我們熟悉的、已解決的問題.這是我們探索新問題的常見思想方法之一.這種思想的重要性不言而喻.高中數學的問題往往是源自課本，但形式又是新穎的，因而化歸思想常在解決問題中特別有效.本文嘗試用化歸思想去解決數列中求通項這一類問題來體現化歸思想的作用.

【例1】 數列[an]中[a1]已知，且滿足[an=qan-1+b][（n≥2）]，求通項[an].

但是上面的做法有一個疑問，就是必須在[q≠1]時才可行，否則這里的[λ]無法取值.那么當[q=1]時應該如何求解呢？事實上這時候這個數列本身就是等差數列，無須通過化歸的方法，可以直接求解.

【例2】 數列[an]中[a1]已知，且滿足[an=qan-1+γbn-1]，[q≠b ][（n≥2）]，求通項[an].

和上題進行類似的考慮，可知應當轉化為等比數列問題.但與上例的不同之處在于，此題中多出來的項與[n]有關，因而在對原數列進行變形的時候，加上的項也應該與[n]有關.事實上，我們考慮

[an+λbn=q（an-1+λbn-1）].

為與條件相容，我們必須有

因此我們應該取[λ=γq-b]，即[{an+γq-bbn}]構成首項為[a1+γq-bb]，公比為[q]的等比數列，進而可以用等比數列方面的相關知識求解，通項為

[an=a1+γq-bbqn-γq-bbn].

在此題中，我們注意到[λ]的選取仍要求[q≠b]，如果這一條件不滿足仍無法取[λ]，且[q=b]時也不能直接歸結為等比數列問題或等差數列問題，故仍需進一步討論.

【例3】 數列[an]中[a1]已知，且滿足[an=qan-1+γqn-1]，[q≠0][ （n≥2）]，求通項[an].

在這個問題中，我們要嘗試將原問題轉化為等差數列，將等式兩邊同時除以[qn]，即可得到

[anqn=an-1qn-1+γq].

這樣，考慮數列[anqn]，這是一個首項為[a1q]，公差為[γq]的等差數列，因而可以用等差數列的方式求解，通項為

[an=[a1q+（n-1）γq]qn-1].

【例4】 在數列[an]中，[a1，a2]已知，當[n∈N*]，[an+2=pan+1+qan]，求[an.]

在這個問題中

[an+2+λan+1=μ（an+1+λ）an]，

即[an+2=（μ-λ）an+1+λμ an]，

[μ-λ=pμλ=q]，

解出[λ，μ].

易知 [{an+1+λan}]是以[a2+λa1]為首項，[μ]為公比的等比數列.

由等比數列知，[an+1+λan=（a2-λa1）μn-1]，然后再轉化為例2或例3求解.

【例5】 數列[an]中，[a1]已知，且滿足[an=aan-1+ban-1+c]（其中[a，b，c∈R]且[ac≠b]），求[an].

在這個問題中，我們需要利用不動點法來轉化為常規數列求解.

若[f（x0）=x0]，則稱[x0]為的[f（x）]不動點，記[f（x）=ax+bx+c]，則[an=f（an-1）]，令[ax+bx+c=x]，則[cx-ba-x=x]，此時[an-x=aan-1+ban-1+c-x=（a-x）an-1+b-cxan-1+c]

[=a-xan-1+can-1-cx-ba-x=a-xan-1+c（an-1-x）].

當[a1=x]時，顯然[an=x]；

當[a1≠x]時，易知[an≠x]，

此時可求[x1，2=a-c±（c-a）2+4b2].

（i）當[（c-a）2+4b≠0]時，有

[an-x1=a-x1an-1+c（an-1-x1）an-x2=a-x2an-1+c（an-1-x2）]，

所以[an-x1an-x2=a-x1an-x2an-1-x1an-1-x2]，即[an-x1an-x2]是公比為[a-x1a-x2]的等比數列，

有[an-x1an-x2=a-x1a1-x2a-x1a-x2n-1]，由此可求出[an]；

（ii）當[（c-a）2+4b=0]時，上述方法失敗，此時[x=12（a-c）]，有[x+c=a-x]，仍有[an-x=（a-x）（an-1-x）an-1+c].

所以

[1an-x=an-1+c（a-x）（an-1-x）=1a-x× an-1-x+x+can-1-x=1a-x1+x+can-1-x]

[=1a-x1+a-xan-1-x=1an-1-x+1a-x].

即[1an-x]是公差為[1a-x]的等差數列，由此可求出[an].

以上幾個例子，均是化歸思想在數列通項問題中的體現.其實化歸思想體現在高中數學的許多地方，此處只是通過“數列通項”這個角度淺談其應用.將陌生的問題轉化為教材上討論過的問題，進而求解，這是高中生必備的技能之一.

（責任編輯 黃桂堅）