數(shù)學(xué)建模：讓思維真正發(fā)生

凌志花

摘要：數(shù)學(xué)建模不僅是一個(gè)概念，更是一種方法和意識(shí)。當(dāng)數(shù)學(xué)深入到“建模”時(shí)，它才是真正的數(shù)學(xué)研究的開(kāi)始。我們將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生才能夠在模型中理解數(shù)學(xué)并形成一定的模型思想，讓思維真正發(fā)生。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；體驗(yàn)；思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）12-049-2

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生形成“模型思維”。教師應(yīng)該有意識(shí)地運(yùn)用建模思維來(lái)指導(dǎo)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)獨(dú)立的“意義建模”過(guò)程，了解數(shù)學(xué)的思想和方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的形成和積淀。

一、研究的孵化地——建模喚醒思維

建模初期，基于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，教師要思考教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“模”，在兒童的認(rèn)知水平上思考需要幫助學(xué)生建立一個(gè)怎樣的“模”，建立多大的程度？怎樣讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)模型”的力量？

比如，在兒童最喜愛(ài)的“一筆畫(huà)”游戲背后其實(shí)隱藏的是著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”，這一問(wèn)題經(jīng)過(guò)歐拉的合理抽象，并通過(guò)“奇點(diǎn)”“偶點(diǎn)”等概念，形成了“一筆畫(huà)”的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用這一模型可以順利解決參觀動(dòng)物園路線，一次性能不重復(fù)，不遺漏走完的最佳路線問(wèn)題。

又如“間隔排列”這一課，在小兔和蘑菇，夾子和手帕等等情景的背后，教師應(yīng)該解讀出教材的本質(zhì)，除了讓學(xué)生建立一一對(duì)應(yīng)的思想，還應(yīng)該讓學(xué)生理解間隔規(guī)律中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，“首尾相同，數(shù)量相差1，首尾不同，數(shù)量相等”。只有基于兒童的認(rèn)知水平和思維方式才是數(shù)學(xué)建模的研究的孵化地。

二、成長(zhǎng)的加油站——建模點(diǎn)亮思維

點(diǎn)亮建模思維的意識(shí)就是要充分挖掘教材中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，最終解決問(wèn)題。在學(xué)生親身體會(huì)、思考、動(dòng)于操作以及解決問(wèn)題的過(guò)程中以點(diǎn)亮學(xué)生的思維。

例如：一年級(jí)《5以?xún)?nèi)的加法》

老師：仔細(xì)看圖，說(shuō)說(shuō)你看到了什么信息？

生：我看到2個(gè)小朋友在澆花。

師：從第二幅圖里又知道了什么呢？

生：又來(lái)了1個(gè)小朋友。

師：你能把這兩幅畫(huà)的意思合起來(lái)說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：有2個(gè)小朋友在澆花，又來(lái)了1個(gè)，一共有3個(gè)小朋友

老師：同學(xué)們，你能根據(jù)這兩幅圖畫(huà)的意思提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生：本來(lái)有2個(gè)小朋友在澆花，又來(lái)了1個(gè)小朋友，一共有幾個(gè)？

老師：講得真好。你能用圓片代替這幾個(gè)小朋友嗎？

老師（結(jié)合情景圖和圓片描述）：2個(gè)孩子正在澆花，又來(lái)了1個(gè)，共有3人。我們先擺2個(gè)圓片，再擺1個(gè)，一共有3個(gè)。你們可以用一道算式來(lái)表示。（學(xué)生：2+1=3），（在圓片下板書(shū)：2+1=3）

生齊讀：2加1等于3。

老師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)2在這里表示什么？1和3呢？

……

老師：2+1=3還能表達(dá)什么？

生1：1人+2人=3人，

生2：媽媽買(mǎi)了1個(gè)桔子，爸爸又買(mǎi)了2個(gè)桔子，一共有3個(gè)桔子

……

上述教學(xué)片段滲透了最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想，教師根據(jù)低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)——從具體形象情景入手，借助于操作的內(nèi)化和強(qiáng)化，有意識(shí)地在逐漸培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、概括能力，延伸和發(fā)思維，賦予“2+1=3”更多的“模型”意義。

三、蛻變的快車(chē)道——建模引領(lǐng)思維

小學(xué)數(shù)學(xué)建模主要是讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過(guò)程。通過(guò)實(shí)際的操作體驗(yàn)，學(xué)生頭腦中就能形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，并可以通過(guò)模型進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的解釋和應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析、綜合、提煉……提高了邏輯推理、引領(lǐng)著思維進(jìn)入快車(chē)道。

像“釘板上的多邊形”，某特級(jí)老師共設(shè)計(jì)了三次有梯度、有層次的模型猜想與驗(yàn)證活動(dòng)。第一次他展示了四個(gè)代表圖形——三角形、梯形、五邊形和平行四邊形，并鼓勵(lì)學(xué)生以自己的方式計(jì)算多邊形的面積，并觀察多邊形邊緣上的釘子數(shù)。

學(xué)生通過(guò)觀察找到了“算、數(shù)”兩種多邊形面積的計(jì)算方式。并且發(fā)現(xiàn)多邊形上釘?shù)臄?shù)量是面積的2倍（多邊形的面積是釘子數(shù)量的1/2）。在指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)意思后，幫助學(xué)生建立第一個(gè)數(shù)學(xué)模型：S=N÷2。

第二次探究是四個(gè)具有不同特征的圖形——長(zhǎng)方形、五邊形、六邊形和八邊形。學(xué)生還是采用“算”和“數(shù)”的方式，得到了面積。但是比較四組面積和釘子數(shù)的數(shù)據(jù)時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：S=N÷2的公式只適用于內(nèi)部只有一個(gè)釘子的圖形。他們猜想多邊形的面積不僅與外面的釘子數(shù)（N）有關(guān)系，與里面的釘子數(shù)（a）也有關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，老師開(kāi)始指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式來(lái)總結(jié)規(guī)律：當(dāng)a=1時(shí)，S=N÷2，當(dāng)a=2時(shí)，S=N÷2+1。

在第三次活動(dòng)中，學(xué)生完全自主學(xué)習(xí)，通過(guò)合作探索活動(dòng)：觀察圖形、提取數(shù)據(jù)、完成表格、比較、猜想、驗(yàn)證和表達(dá)。從而得到釘子板上多邊形的面積計(jì)算公式。

四、拔節(jié)的生命場(chǎng)——建模拓展思維

學(xué)生能自覺(jué)、主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，并且對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的應(yīng)用有著深刻的體會(huì)和理解。才是真正拔節(jié)的生命場(chǎng)，建摸拓展了思維，也發(fā)展了學(xué)生分析能力和創(chuàng)造力。

例如某教師“雞兔同籠問(wèn)題”教學(xué)片斷：

教師要求學(xué)生在研究籠子里的雞兔子的問(wèn)題前說(shuō)說(shuō)你對(duì)雞和兔的認(rèn)識(shí)？

生：兔是四只腳；雞是兩只腳。

師：假如我們不叫它雞兔同籠，是不是還可以給它取個(gè)其它的名字呢？（鴨貓問(wèn)題、豬鵝問(wèn)題……）

教師出示一兒歌：（一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。）

師：讀了這則民謠，你覺(jué)得這還是雞兔同籠問(wèn)題嗎？

生：我覺(jué)得是的，因?yàn)檫@里的獵人有兩只腳，可以看成是雞，狗有四只腳就和兔子一樣。

這里學(xué)生已經(jīng)能運(yùn)用雞兔同籠問(wèn)題的模型進(jìn)行類(lèi)推，還可以取代成年人和狗等等，進(jìn)而探索解決雞兔同籠問(wèn)題的方法，建立模型……

然后老師拿出7張，5元2元，總計(jì)29元。你能猜出信封里的幾張2元和幾張5元的嗎？學(xué)生在交流中一下子逼近了問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)可用雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型解決了問(wèn)題。

總之，用“建模”來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于學(xué)生更準(zhǔn)確、更清晰地理解和解決實(shí)際問(wèn)題。更重要的是，學(xué)生在有效地體驗(yàn)“知識(shí)建構(gòu)”的過(guò)程中發(fā)展了思維。