高考數(shù)學(xué)中圓錐曲線的考察及拓展

康湫婉

摘要：圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。選擇填空題考察性質(zhì)和技巧以及綜合運(yùn)用，解答題中以曲線方程的求解和弦長(zhǎng)為主，并以此拓展和衍生出相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。其多樣性和復(fù)雜性給許多學(xué)生造成困難。本文以2016年全國(guó)I卷高考理數(shù)第20題為例對(duì)高考數(shù)學(xué)中圓錐曲線的解答題進(jìn)行剖析，并進(jìn)行相應(yīng)的拓展，為考生備考提供良好的幫助。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)； 圓錐曲線 ；拓展

在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中，圓錐曲線內(nèi)容占有很大的比例，是高考考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)。一般題目思路新、計(jì)算量大，成為區(qū)分考生水平的一個(gè)重要的分水嶺。因此，圓錐曲線題目也是考生在備考過(guò)程中必須要重點(diǎn)練習(xí)的重點(diǎn)題型，一般在第一問(wèn)中會(huì)考察學(xué)生的基本技能，例如根據(jù)定義求解圓錐曲線方程，或者是圓錐曲線與直線或圓的關(guān)系的相關(guān)題目，求解依據(jù)一般是圓錐曲線的性質(zhì)求解。這類題目在平時(shí)的練習(xí)中較為常見(jiàn)，因此，許多同學(xué)可以解決第一問(wèn)。而第二問(wèn)則呈現(xiàn)多樣化，考察弦長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題居多，重點(diǎn)考察學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和綜合能力，具有一定的難度。在本文中，筆者以2016年全國(guó)卷（I）理科數(shù)學(xué)第20題為例，講解高考中圓錐曲線解答題的命題思路，并對(duì)第二問(wèn)重點(diǎn)講解并進(jìn)行拓展。

例.設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作AC的平行線交AD于E.

（I）ぶっ鱸EA|+|EB|為定值，并寫出E的軌跡方程

（II）ど璧鉋的軌跡為C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

解：（I）將圓的方程整理為（x+1）2+y2=16，可知圓心坐標(biāo)A（-1，0）B（1，0），根據(jù)題目做出直線l，交圓A于C，D兩點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知|AC|=|AD|，即△ACD為等腰三角形，∠ACD=∠ADC。由于AC∥BE，可知∠ACD=∠EBD，從而有∠ADC=∠EBD，即有|EB|=|ED|， 因?yàn)閨EA|+|ED|=4，所以|EA|+|EB|為定值4。

A，B兩點(diǎn)為定點(diǎn)，E點(diǎn)具有|EA|+|EB|的性質(zhì)，則由定義可知E的軌跡為橢圓，且a=2，c=1，可得橢圓方程x24+y23=1（y≠0），

其中要注意y≠0這一補(bǔ)充條件是容易失分的地方，因?yàn)轭}目中有描述直線l與x軸不重合，因此E點(diǎn)的縱坐標(biāo)不可能為0。第一問(wèn)是常規(guī)題目，考察幾何關(guān)系和橢圓的定義，并由此求解橢圓的方程。

（II）根據(jù)題意，可以做出圖形

這道題目首先我們應(yīng)當(dāng)知道四邊形MPNQ面積應(yīng)該如何求解，盡管是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，但是它的對(duì)角線垂直，因此其面積可以表示為

SMPBQ=12|MN||PQ|

按照常規(guī)思路，我們只需要將|MN|和|PQ |以斜率的方式表示出來(lái)代入該式當(dāng)中即可求得面積關(guān)于斜率的表達(dá)式，通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算確定面積的取值范圍。

直線l的斜率k分為兩種情況，一種是斜率存在的情況，一種是斜率不存在的情況，即直線l垂直于x軸。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們先討論斜率不存在的情況，較為簡(jiǎn)單，考試過(guò)程中學(xué)生也要有這樣的策略，特別是在時(shí)間不足的情況下，將能拿到的分?jǐn)?shù)拿到手。

當(dāng)斜率不存在時(shí)，P，Q在x軸上，|PQ|的值即為圓A直徑的長(zhǎng)為8。M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)根據(jù)上題所求出的橢圓方程亦可求得為±32，所以|MN |的值即為3，代入面積公式中可以求得面積為12.

當(dāng)斜率k存在時(shí)，我們可設(shè)直線l的方程為，直線lPQ的方程則為y=-1k（x-1），將直線l的方程代入到橢圓的方程當(dāng)中，并利用弦長(zhǎng)公式求出|MN|=12（1+k2）（4k2+3），過(guò)程不再?gòu)?fù)述，弦長(zhǎng)的求解方法是平時(shí)練習(xí)中最為常見(jiàn)的，這一部分計(jì)算較為耗時(shí)間，學(xué)生需要熟練掌握運(yùn)算技巧，切勿急躁，耐心才能獲得準(zhǔn)確答案。

有關(guān)|PQ |的求法，則可借助點(diǎn)到直線距離與勾股定理，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化計(jì)算，圓心A到直線lPQ的距離為d=|-1+k·0-1|1+k2=21+k2

則圓的弦長(zhǎng)為|PQ|=242-41+k2=43+4k21+k2

代入到面積公式中，即可求得

SMPBQ=12|MM||PQ|=1212（1+k2）（4k2+3）43+4k21+k2=2414+14（14k2+3）

則，12

這樣解題的思路較為直接，涉及到弦長(zhǎng)計(jì)算的題目一般計(jì)算量都很大，既浪費(fèi)時(shí)間又容易出錯(cuò)。

上述解法為常規(guī)思路解法，其實(shí)，我們還可以有另一種解法，利用余弦定理，我們?cè)O(shè)∠MBA為θ，θ∈（0，π），則在△MAB中，根據(jù)余弦定理，可得|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB||AB|cosθ.其中，根據(jù)橢圓的性質(zhì)|MA|+|MB|=4，且|AB|=2

可得|MB|=32-cosθ，同理可得|NB|=32+cosθ

此時(shí)，|MN|=|MB|+|NB|=32-cosθ+32+cosθ=124-cos2θ

與上題求解圓弦長(zhǎng)的方法類似，本題中也采用點(diǎn)到直線的距離公式與勾股定理相結(jié)合的方法，與上題不同的是，此時(shí)的斜率需用我們?cè)O(shè)置的角度來(lái)表示，即為tan（π2-θ），則直線方程為y=tan（π2-θ）（x-1），與上題計(jì)算方法類似，不再重復(fù)，最終求得的結(jié)果為

|PQ|=44-cos2θSMPBQ=12|MN||PQ|=12·124-cos2θ·44-cos2θ=244-cos2θ

根據(jù)角的范圍，也可求得四邊形MPNQ面積的取值范圍是

12≤SMPBQ<83

第二種求解方法運(yùn)用了余弦定理，思路不容易想到，但是簡(jiǎn)化了計(jì)算量，而且在設(shè)角時(shí)我們是設(shè)的是∠MBA而并不是傾斜角∠PBA，這樣設(shè)的好處在于不需要再討論斜率是否存在的問(wèn)題，當(dāng)∠MBA=90°時(shí)剛好是斜率不存在的情況，已經(jīng)包含在角的范圍內(nèi)。在以后的練習(xí)當(dāng)中可以嘗試進(jìn)行運(yùn)用。

弦長(zhǎng)問(wèn)題一直是學(xué)生們的一個(gè)難點(diǎn)，龐大的計(jì)算量很容易讓學(xué)生放棄題目。教材當(dāng)中并未直接給出弦長(zhǎng)公式的計(jì)算方法，在實(shí)際求解過(guò)程中我們可直接運(yùn)用，這樣可以節(jié)約計(jì)算時(shí)間，將時(shí)間分配給能夠拿到高分的題目。在此，我們對(duì)弦長(zhǎng)類的問(wèn)題進(jìn)行拓展。希望學(xué)生能夠在實(shí)際應(yīng)用中拓展思路，舉一反三。

其中較為典型的是焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)問(wèn)題，本題中我們以雙曲線的焦點(diǎn)弦為例求解其焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度。

題目：已知：雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），過(guò)右焦點(diǎn)的直線l交雙曲線的于點(diǎn)A，B，求AB的長(zhǎng)度。

同樣的，設(shè)直線l的斜率為k（當(dāng)k存在時(shí)），則直線l的方程為：

y=k（x-c）

與雙曲線方程聯(lián)立，并根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解，可得：

|AB|=2a·（c2-a2）（1+k2）|c2-a2（1+k2）|

如果設(shè)直線的傾斜角為θ，則焦點(diǎn)弦公式可表達(dá)為：

|AB|=2a·c2-a2|a2-c2cos2θ|

類似的，可以求出橢圓x2a2+y2b2=1（y≠0）焦點(diǎn)為（c，0）焦點(diǎn)弦的公式為：

|AB|=2a·a2-c2|a2-c2cos2θ|

拋物線過(guò)焦點(diǎn)F（p2，0）的焦點(diǎn)弦公式為

|AB|=2psin2θ

以上證明略。

圓錐曲線問(wèn)題是高考中的必考點(diǎn)，在解答題中考察的內(nèi)容第一問(wèn)一般為根據(jù)定義或者參量關(guān)系求解圓錐曲線方程或者根據(jù)幾何關(guān)系來(lái)求解與證明某些參量等等，第一問(wèn)一般較為容易，學(xué)生只要掌握常規(guī)解法一般都可以解決，第二問(wèn)是題型變化最多，也是區(qū)分度較高的一問(wèn)，一般會(huì)涉及到弦長(zhǎng)公式。給考生的思路和計(jì)算造成很大的障礙，因此，學(xué)生在備考的過(guò)程中應(yīng)對(duì)計(jì)算過(guò)程多加練習(xí)，同時(shí)在考試過(guò)程中要有相應(yīng)的策略，一般情況下計(jì)算繁瑣可能是由于學(xué)生選擇方法不當(dāng)造成的，在備考過(guò)程中要加以總結(jié)較為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法和思路，幫助自己獲得更高的分?jǐn)?shù)，從而實(shí)現(xiàn)自己的大學(xué)夢(mèng)想。

參考文獻(xiàn)：

[1] 岳峻.2016年數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷理科第20題的探究.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2016（8）：44-47.

[2] 方志平.橢圓、雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式及其應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版）.2011（7）：49-51.

（作者單位：福建省泉州市第十五中學(xué)362000）