從一道選擇題看回歸教材本源

朱卡麗

摘要：從一道2015年初中畢業生學業適應性的選擇題，我們既可以考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力，又能通過變式訓練得出一些相似的題目。所謂萬變不離其宗，回顧近幾年中考，都在強調“追根溯源，回歸課本”，在中考復習的教學中要重視教材，充分發揮教材的示范功能.

關鍵詞：銳角互余；初中數學；變式訓練

（2015·貴陽適應性第10題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，∠CDB=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為（）

（A）12（B）22（C） 32（D）33

本題選自貴陽市2015年初中畢業生學業適應性考試第10題. 此題作為選擇題的最后一題，涉及較多數學學習的基礎知識、基本思想等，綜合性較強，可考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力.

一、原題分析

此題考查的知識領域為圖形與幾何，知識點為直角三角形兩個銳角互余，圓周角定理，切線的性質、銳角三角函數值等四個，主要考查學生的推理能力、幾何直觀、數感、符號意識、運算等方面的能力.

二、解法

解題思路一：從結論求sinE出發，聯想到構造直角三角形，通過已知條件“CE是⊙O切線”判斷連接切點與圓心的半徑OC構造Rt△OCE；因為“同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍”，所以∠COB=2∠CDB=60°.所以在Rt△OCE中，∠E=90°- 60°=30°，轉化為求特殊角的三角函數值，即可求得sinE=12.選擇A選項.

評析：此種解法將銳角三角函數的求解問題通過構造輔助線與圓的知識相結合，最直觀最易達到求解目的.要求學生會利用數形結合、轉化等數學思想分析問題和解決問題.有效地考查了學生邏輯推理、幾何直觀、數感、符號意識等能力.

解題思路二：此題作為選擇題，結果的生成不止一種.在解法一的基礎上，也可以通過銳角三角函數的定義求得最終結果.

解題思路三：連接AC、BC，構造圓周角∠ACB.不止作一條輔助線也可以求解，但涉及到弦切角定理，教材已不做要求.作為教師應該知道這種解法，不過此種解法較繁瑣，不提倡.

由解題思路可以看出，解此題的關鍵是準確作出輔助線，為此學生的思維障礙是：學生由題目已知或結論不能聯想到已學過的知識點；不能構造輔助線或構造了干擾答題的輔助線，從而影響正確選項的判斷；對課標要求的切線的性質、圓周角定理、銳角三角函數值等知識點不清晰.

三、教材原型

本題綜合性較強，但又都是基礎知識的考查，對學生來說更是“新鮮出爐”的初三下冊剛學的內容.課本的習題是否“吃透”決定了能否綜合運用這些基礎知識.

（一）圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半九下教材80頁隨堂練習1.如圖，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度數.

（二）切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑：九下教材105頁復習題11.如圖，AB與⊙O相切于點C，OA=OB，⊙O的直徑為8cm，AB=10cm，求OA的長.

四、變式訓練

改編一：將求sinE變為求∠E.

評析：題目看似變簡單了，但是分析的思路不變，解題時使用的數學思想方法不變.同樣考查學生的推理能力、幾何直觀等.作為選擇題，還能設置更多的干擾選項.

改編二：將已知改為sin∠E=12（∠E為銳角），求∠CDB.

評析：原題通過“切線”“sin”等關鍵詞可以聯想到作輔助線構造直角三角形，而求圓周角能不能聯想到作輔助線構造圓心角？通過這樣一個簡單的變式，再一次讓學生在做題中重視“題感”的培養.在訓練時有利于學生養成運用圖形思考問題的習慣，有利于學生提升數形結合的能力.體現了核心素養的培養價值.

改編三：將已知改為OA=BE=2.

評析：既然可以通過直角三角形的邊長求解sinE，為什么不直接給出線段長作為本題條件？而這個已知條件的添加更加微妙：由OA=OB=OC=BE，在構造的Rt△OCE中，利用邊長的比例得出答案.在數學教學活動中，培養學生運算能力的核心素養，有利于學生提升邏輯推理的能力，此題的改編避免了學生僅靠“猜”也能得出原題A選項.

這樣的改編還可以從圖中添加線段進行.

（2016·浙江衢州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，若∠A=30°，則sin∠E的值為（）

（B）12（B）22（C） 32（D）33

（2015·貴州貴陽）小明把半徑為1的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時，光盤與AB，CD分別相切于點N，M.現從如圖所示的位置開始，將光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切時，光盤的圓心經過的距離是

五、復習建議

以上題目的改編只是滄海一粟.回顧近幾年中考，都在強調“追根溯源，回歸課本”，在中考復習的教學中要重視教材，充分發揮教材的示范功能.

中考命題需要體現考試的激勵功能、評價功能、選拔功能和導向功能，而適應性考試更是中考前的“熱身”.從這一道適應性考試的選擇題可以看出，學生要想獲得較高的分數，必須具有扎實的基本功和靈活運用所學知識解決問題的能力！作為老師，在平時的教學中既要緊扣教材習題，也要適當兼顧優秀學生的拓展要求，更要注重學生數學思想方法、數學核心素養的培養.

（作者單位：貴州省貴陽市第七中學550000）