如何提升解題效率——以拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題為例

☉江蘇省啟東市第一中學(xué) 宋凱東

拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題一直是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.在解決拋物線問(wèn)題中，除了要熟練掌握拋物線的定義、方程、幾何性質(zhì)等內(nèi)容，有時(shí)也要掌握一些常見(jiàn)的結(jié)論或公式，特別是有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦的幾條重要性質(zhì)，在解決問(wèn)題（特別是選擇題或填空題）時(shí)，可以大大加快解題速度，在高考的寶貴時(shí)間內(nèi)節(jié)省時(shí)間，提升解題效率，達(dá)到殊途同歸、優(yōu)化過(guò)程的目的.

一、焦點(diǎn)弦的定值問(wèn)題

若AB是過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的一條弦，

例1 （2016·全國(guó)Ⅲ文、理·20（1））已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，求證：AR∥FQ.

分析：常規(guī)方法是設(shè)出直線l1，l2的方程分別為y=a，y=b，進(jìn)而確定相應(yīng)點(diǎn)A、B、P、Q、R的坐標(biāo)，同時(shí)求解直線AB的方程，結(jié)合點(diǎn)F在線段AB上得到關(guān)系式，從而確定直線AR、FQ的斜率來(lái)證明即可.而采用焦點(diǎn)弦的定值y1y2=-p2，可以有效簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化過(guò)程，提高效率.

解析：由拋物線C：y2=2x，可得p=1，則焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程為

根據(jù)焦點(diǎn)弦的定值可知y1y2=-p2=-1，

所以AR∥FQ.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線中焦點(diǎn)弦的定值性質(zhì)，可以有效轉(zhuǎn)化拋物線中的焦點(diǎn)弦的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系y1y2=-p2，巧妙地把相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的參數(shù)p加以關(guān)聯(lián)，直接略過(guò)相應(yīng)的運(yùn)算過(guò)程，減少了因運(yùn)算能力薄弱而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，并有效加快解題速度，提升解題效益.

二、焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度問(wèn)題

若AB是過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的一條弦，且直線AB的傾斜角為θ，則有

例2 （2018·全國(guó)Ⅱ文·20（1），理·19（1））設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8，求l的方程.

分析：常規(guī)方法是設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，并利用拋物線的定義來(lái)確定對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，從而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)k的值即可.而采用拋物線的焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度公式可得進(jìn)而通過(guò)確定直線l的傾斜角θ而求解對(duì)應(yīng)的斜率，比較簡(jiǎn)單快捷.

解析：由拋物線C：y2=4x可得p=2，F(xiàn)（1，0），

所以直線l的方程為y=1×（x-1）=x-1.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度公式來(lái)處理問(wèn)題，可以避免函數(shù)與方程的繁雜計(jì)算，簡(jiǎn)化過(guò)程，直接利用三角函數(shù)以及直線的斜率定義來(lái)確定參數(shù)k的值，更為直接明確.碰到此類與焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，都可以考慮利用拋物線的焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度公式來(lái)嘗試與處理.

三、焦點(diǎn)弦的三角形面積問(wèn)題

若AB是過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的一條弦，則△AOB的面積

例3 （2014·全國(guó)Ⅱ理·10）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）.

分析：常規(guī)方法是先確定|AB|的長(zhǎng)度，并通過(guò)求解直線AB的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)O到直線AB的距離，從而得以求解△OAB的面積.而結(jié)合焦點(diǎn)弦的三角形面積來(lái)處理，可以“秒殺”.

解析：由拋物線C：y2=3x，可得p=.

又由題可得直線AB的傾斜角為θ=30°，

故選D.

點(diǎn)評(píng)：利用拋物線的焦點(diǎn)弦的三角形面積公式來(lái)求解，大大優(yōu)化了解題過(guò)程，可以省去一些不必要的運(yùn)算或求解過(guò)程，在解決此類問(wèn)題的選擇題或填空題中更具有優(yōu)勢(shì).特別當(dāng)涉及三角形的面積時(shí)，離不開(kāi)弦長(zhǎng)公式、三角形的高的運(yùn)算，過(guò)程也較為繁雜，還容易出錯(cuò).

四、焦點(diǎn)弦的圓的性質(zhì)問(wèn)題

若AB是過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的一條弦，以拋物線的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓一定和準(zhǔn)線相切.

例4 （2018·全國(guó)Ⅲ理·16）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=______.

分析：常規(guī)方法是設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法確定對(duì)應(yīng)的直線的斜率，結(jié)合拋物線的定義加以轉(zhuǎn)化，并利用梯形的性質(zhì)加以求解.而利用拋物線的焦點(diǎn)弦的圓的性質(zhì)，以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓一定和準(zhǔn)線相切，從而可得AB⊥MF，“秒殺”求解.

解析：由于拋物線C：y2=4x，可得p=2，

則焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，

可知點(diǎn)M（-1，1）在拋物線C的準(zhǔn)線上.

又由于以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓一定和準(zhǔn)線相切，而∠AMB=90°，則點(diǎn)M恰為該切點(diǎn)，則可得AB⊥MF，

點(diǎn)評(píng)：采用拋物線的焦點(diǎn)弦的圓的性質(zhì)，即以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓一定和準(zhǔn)線相切，建立起對(duì)應(yīng)直線的垂直關(guān)系，可以利用兩直線垂直的斜率關(guān)系式來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，有效轉(zhuǎn)化，提升效益.

課本上數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)都十分嚴(yán)謹(jǐn)！對(duì)不是課本公式而確實(shí)正確的結(jié)論，有時(shí)直接使用會(huì)起到事半功倍的效果.特別對(duì)小題（填空題、選擇題）更要防止走入“小題大做”誤區(qū).這說(shuō)明數(shù)學(xué)上的直接思維，或者看似比較復(fù)雜問(wèn)題而直接能得出答案的能力，是需要的而且是可以培養(yǎng)的.

所以，在平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，有意識(shí)地熟練掌握一些有關(guān)拋物線的相關(guān)性質(zhì)，特別是拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，既是對(duì)拋物線的定義、方程與幾何性質(zhì)的深入理解與掌握，又是對(duì)相關(guān)知識(shí)的拓展與深化.有時(shí)命題者可能對(duì)題目作了某種程度的改頭換面，或者適當(dāng)?shù)淖兪脚c包裝，只要抓住關(guān)鍵詞“焦點(diǎn)弦”三個(gè)字，就可以有效利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，這樣可以減少解題時(shí)間，簡(jiǎn)化解題步驟，優(yōu)化解題過(guò)程，弱化解題誤區(qū)，全面提高數(shù)學(xué)效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升思維品質(zhì).F