模型思想在初中數學“一次函數”教學中的應用研究

楊建新

[摘 要] 模型思想是培養學生數學能力的重要思想方法，也是高中數學新課程標準中明確提出的“十大核心概念”之一. 文中以一次函數部分的教學為例，對模型思想運用的幾個步驟結合教學實踐進行了論述.

[關鍵詞] 模型思想；一次函數；數學教學

模型思想是培養學生數學能力的重要思想方法，也是數學新課程標準中明確提出的“十大核心概念”之一，是數學教學中不可忽視的重要思想方法. 從數學學科教學來看，整個初中階段的數學學習就是學生建立模型、處理模型的過程，是培養學生數學思維的過程，因此，研究模型思想在數學學科教學中的使用，對于提高教學效果具有重要的意義.

模型思想概述

模型思想是人們運用數學概念和原理來描述現實世界的過程，是學生聯系數學書本知識與現實生活的重要途徑. 學生借助模型思想，能夠運用數學知識來分析生活中遇到的問題，進而解決問題，從而提高學生對數學知識的應用能力.

一次函數部分知識概述

函數是初中數學的重要組成部分，通過函數的學習，學生掌握了變量之間的描述關系，是學生數學思維方式的一個重要的轉折點，學生的思維開始由原來數字描述的數量關系向字母表示的數量關系進行轉化，很多學生在這個過程中出現不適應的情況. 一次函數部分主要包含了一次函數的圖像、一次函數的應用等知識，這是學生首次接觸函數知識，更是學生今后學習反比例函數和二次函數的基礎. 學生在解決數學問題的時候，首先要根據問題情境提取數量關系，然后構建數學模型，借助已知條件分析模型，進而求解，最后驗證所求結果的合理性. 從本質上來看，這個過程就是一個數學模型構建的過程.

模型思想在一次函數部分教學的應用過程

教學過程是課堂教學的核心，是實現教學目標、突破教學重難點的主要途徑，因此，模型思想的應用，重點要體現在課堂教學過程當中. 借助模型思想來進行一次函數部分的教學主要分為以下幾個步驟：引出問題——進行假設——建立模型——求解模型——驗證模型——應用模型，這對于提高數學課堂教學效果、提高學生的數學學習能力具有重要的意義.

1. 創設情境，引出問題，提出假設

在數學教學的課堂引入部分，就要圍繞數學模型的思想來設置，借助生活實踐情境，能夠有效提高學生將生活問題抽象成數學問題的意識. 在設置問題的時候要遵循維果斯基的最近發展區理論，要適合這一階段的學生，讓他們能夠“跳一跳，摸個桃”，這樣才能夠激發他們探究知識的興趣，才能夠幫助他們建立模型. 例如，在教學中，首先引導學生發現問題. 教師在彈簧的一端，豎直懸掛上質量不同的小球，學生觀察懸掛小球的質量和彈簧長度之間的關系.

教師提出問題：同學們通過觀察發現什么現象？造成這一現象的因素是什么？

學生回答：彈簧會變長，彈簧的長度與所掛物體的質量有關.

其次，引導進行假設.

教師提出問題：剛才老師手中的彈簧原長度是4厘米，每在一端掛1千克的重物，它的長度就會拉伸0.5厘米，如果我在一端掛上2千克的重物，它的長度能夠達到多長？掛上3千克、4千克、5千克的重物，它的長度又會變成多少呢？

學生根據教師的提問進行解答.

教師繼續提出問題：彈簧長度和所掛重物質量之間的關系是我們這節課所說的函數關系嗎？你能夠寫出它們的關系式嗎？

學生利用x，y寫出它們的關系式：y=0.5x+4.

在這一環節的教學中，由于學生剛開始接觸函數，我們就借助生活中最常見的生活實例，通過學生親身體驗彈簧長度和物質質量之間的關系，提高學生學習的積極性. 需要注意的是，在做出假設的過程中，要大膽放手，讓學生圍繞問題進行充分的討論，對于那些不合理的假設，教師不要急于否定，讓他們通過自身的思考和探究，去尋找正確的答案，這樣才有利于提高學生的探究能力和創新能力.

2. 合作探究，強化思維，建立模型

在做出假設的基礎上，建立模型，概括出變量之間的抽象關系，運用數學符號將它們加以概括，這個建立數學模型的過程就是滲透模型思想的關鍵所在. 初中階段的函數主要涉及數量之間的動態變化，揭示事物的動態變化規律，學生學習起來存在一定的難度，借助函數模型，能夠輔助學生的學習，讓學生認識到函數知識與現實生活之間的關系. 一些造價問題、利潤問題、投資問題都可以通過函數模型的方式得到順利的解決.

通過第一環節的問題引入，學生對一次函數有了一定的了解，在這一環節中，讓學生獨立完成分析，培養其獨立解決問題的能力.

例1 有一輛等待行駛的汽車，油箱中裝有60 L的汽油，該汽車的油耗為12 L/100 km，請完成下表的填寫.

請寫出油耗與汽車行駛路程之間的關系，你還能寫出剩余油量與汽車行駛路程之間的關系嗎？請大家根據自己寫出的函數關系式，考慮一下自變量的取值問題.

例2 請大家觀察下列關系式，看看它們都有什么共同點？

y=1.8x+7；z=80-0.75x.

學生回答：都含有一個未知數，并且x的指數為1，每個等式中都含有兩個變量.

教師總結：如果兩個變量x，y之間的關系，可以用y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式表示，就可以說y是x的一次函數.

3. 求解模型，鞏固知識，驗證模型

模型確定以后就需要對它進行求解，這個過程中，對于方程模型就需要借助等式的相關知識進行求解；對于不等式模型就借助不等式的部分知識進行求解；對于幾何模型就借助三角形與圖形的相關知識進行求解；對于函數模型則需要利用方程的相關知識來求解. 有些涉及現實生活問題的函數問題，在求解完模型以后，還需要代入生活實踐進行驗證. 如果驗證的結果合理，那么所求的結果就是正確的，如果驗證的結果不合理，那么所求出的結果就是錯誤的，學生需要返回問題的原點，重新進行分析、建模、求解.

對于該部分的教學過程，教師要給予關心和耐心，引導學生正視自己的錯誤，這樣才有助于學生良好數學思維方式的培養，有助于學生的長足發展. 例如，在例1的思考中，涉及汽車行駛的實際問題時，需要注意的是汽車油箱總共還有60 L油，最多就能跑500 km，再遠就跑不動了，同學們就可以借助這一點對模型進行驗證，檢查自己的思路是否正確.

4. 應用模型

在借助模型思想進行一次函數的教學時，不要以為驗證完模型就可以了，還要組織學生做好反思，將模型的思想內化到自己的解題思維當中. 中考對于數學知識的考查更加偏向于綜合性，教師僅抓住某個知識點對學生進行講授已經不能滿足要求. 借助一定的數學問題，給學生滲透數學思想，提高學生的數學能力，才是新課改背景下數學課堂教學的要求. 在鞏固新知環節的教學中，教師就可以引入相關的練習題，幫助學生內化模型思想.

例3 根據下列問題寫出相對應的關系式.

（1）一艘輪船以80 km/h的速度行駛，請寫出它的行駛時間x與行駛路程y之間的關系式.

（2）請寫出圓的面積y與它的半徑x之間的關系式.

（3）泳池中有25立方米的水，因需要換水打開出水管，出水管的水流速度為7立方米每小時，那么x小時后，水池中還剩余y立方米水. 請寫出它們之間的關系式.

小結

模型思想是初中數學解題的重要思想，它能夠幫助學生分析復雜問題，理清解題思路，完成求解. 尤其是在一次函數的教學中，學生的思維開始由原來數字描述的數量關系向字母表示的數量關系進行轉化，很多學生在這個過程中出現不適應的情況. 借助模型思想，就能夠幫助學生建立科學的分析問題和解決問題的方法，養成科學的數學思維，提高學生在一次函數部分學習的效率.