立足數學本質 實現有效教學

華佳

摘 要：教師在設計習題時，把內容相近、數學思想方法相同、解決問題方法相似的習題放在一起進行類比教學，讓學生在類比中對數學解題思路不斷加深、提高、開拓，從而優化學生的數學思維品質，提升解決問題的能力.

關鍵詞：類比；數學教學；解題

數學學習經常對典型的題目進行探索和研究，通過類比（變換題目條件，改變圖形結構，挖掘問題的結論，從特殊推廣到一般，將靜態圖動起來），把蘊含在題目中的數學思想方法揭示出來，挖掘出問題中的隱含條件，從而達到“做一題，通一類，會一片”解題境界[1].學生從中能夠獲取研究問題的有效方法，激活數學思維，提升探究問題、解決問題的能力.

一、由表及里的類比性習題

函數的性質與解不等式之間也有微妙的聯系.有的題表面上是要求你求解不等式，實際上往往通過函數的性質對不等式進行適當的變形，把括號去掉，這樣問題就迎刃而解.

例1 已知函數[f（x）=（12）x-2x]，不等式[f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）

分析：可以證得[f（x）]是奇函數，并且在R上單調遞減，[2m-mcosθ>1+cosθ]對任意的[θ∈0，π2]恒成立.分離變量得[m>1+cosθ2-cosθ]對任意的[θ∈0，π2]恒成立，即求[y=1+cosθ2-cosθ]的最大值，通過換元，分離常數可求出最大值為2，所以m>2.

評注： 很多學生把[2m-mcosθ]，[-1-cosθ]代入函數解析式，進行解不等式，這樣計算量很大且很難解決.我們在解決問題時要透過現象看本質，這題考查的是函數的單調性和奇偶性，利用性質進行求解，讓人豁然開朗，提高學生思維的靈活性和深刻性.

練習：已知函數[f（x）=x2+2x，x∈R，]則不等式[f（2x-1）≤f（1）]的解集為多少？

該題和例題是類似的解法，發現函數的奇偶性以及單調性〔容易看出函數是偶函數，在[（0，+∞）]是增函數，在[（-∞，0）]是單調減〕，利用性質就可以求解了.

二、由此及彼的類比性習題

橢圓與雙曲線定義差別就在“和”與“差”上，所以兩者在定義、標準方程的形式、幾何性質以及研究的方法等都存在很多相似之處.我們先研究橢圓的幾何性質，然后通過類比得到雙曲線的一些性質，感受兩種曲線的和諧統一.

例2 問題1：已知A是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上〔異于長軸兩頂點 B（-a，0），C（a，0）〕的任意一點，則點A與長軸兩頂點B，C連線的斜率之積為多少？

分析：設[A（x0，y0）]，則點A與長軸兩頂點B（-a，0），C（a，0） 連線的斜率之積為[y0x0+a?y0x0-a=y20x20-a2]，將[y20=b2a2（a2-x20）]代入就可以得到斜率之積為定值[-b2a2].

類比將上面題中的“橢圓”改成“雙曲線”，就可以得到下面一個習題：

已知A是雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上〔異于長軸兩頂點 B（-a，0），C（a，0）〕的任意一點，則點A與長軸兩頂點B，C連線的斜率之積為多少？

分析：這個問題和上面的例題是類似的求解，可得斜率之積為定值[b2a2].橢圓與雙曲線定義相近，它們之間可以設置很多相類似的習題，解決這些問題的方法也是相類似的，連最后的結論也有很多相似或相同的地方.

再通過類比，把例題中的“異于長軸兩頂點 B（-a，0），C （a，0）”換成“經過原點的任意一條弦”結論是否成立？

分析：設[A（x0，y0）]，直線與橢圓相交于B（[x1，y1]），C（[-x1，-y1]）兩點，點A與兩交點連線的斜率之積為[y0-y1x0-x1?y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21]，將[y20=b2a2（a2-x20）]代入就可以得到斜率之積為定值[-b2a2].雙曲線也是用類似的求解方法，可以得到相類似的結論，可以得到斜率之積為定值[b2a2].

三、 解題方法相似的類比性習題

高中數學習題量大，題目繁雜，然而對于一類習題，它考查的思路是不變的.通過不斷的學習和總結就會找到相互之間的關聯，歸納得到一類數學題的解題思路.

例3 已知圓O：[x2+y2=1]，直線[l：ax+y=3]，若直線[l]上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得[∠APB=60°]，求實數a的取值范圍.

分析：通過圖象可知OP的長度是2，由圓的定義可知，動點P到定點O的距離等于定長2的點的軌跡是圓，所以點P的軌跡方程為[x2+y2=4].直線上存在點P，所以直線與圓有交點，轉化為直線與圓的位置關系，這題就迎刃而解了.

練習1：已知圓[C：x-32+y-42=1]和兩點[A-m，0]，[Bm，0m>0]，若圓上存在點[P]，使得[∠APB=90°]，則[m]的取值范圍為多少？

分析：由題意，圓上存在點[P]，使得[∠APB=90°]，即AP[⊥]BP，由此可得出點P的軌跡方程為x2+y2=m2，圓C上存在點P，所以兩圓有交點，轉化為圓與圓之間的位置關系，就可以解決.這題雖然沒有直接出現圓的定義，但是和例1的思路是一樣的，求出點P的軌跡方程是圓.

練習2：在平面直角坐標xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圓（x-a）2+y2=1上存在唯一點P滿足[PAPB]=[12]，則實數a的取值集合是多少？

分析：由[A]，[B]為定點[PAPB]=[12]可知，動點P的軌跡是阿波羅尼斯圓，它是圓的另一種形式.然后轉化為兩圓相切，進行求解.

練習3：在平面直角坐標系[xOy]中，已知點[A（-2，0）]，點[B]是圓[C：（x-2）2+y2=4]上任意一點，點[P]為[AB]中點.若點[M]滿足[MA2+MO2=20]（其中[O]為坐標原點），則線段[PM]長度的取值范圍為多少？

分析：由[MA2+MO2=20]可得出動點M的軌跡是圓，軌跡方程為（x+1）2+y2=9，點P的軌跡方程為x2+y2=1，求線段[PM]長度的取值范圍就是兩圓上兩點之間的取值范圍.

由例3、練習1、練習2、練習3四題都可得出軌跡為圓的幾種常見表現形式：（1）到定點距離是定長：[PA=r]（[P]為動點，[A]為定點）；（2）到兩定點連線垂直：[PA⊥PB]（[P]為動點，[A]，[B]為定點）；（3）到兩定點距離之比是不為1的定值（阿波羅尼斯圓）：[PAPB=λ（λ≠1）]（[P]為動點，[A]、[B]為定點）；（4）到兩定點距離平方和為定值：[PA2+PB2=k]（[P]為動點，[A]，[B]為定點）. 這幾類問題都是把圓的軌跡方程求出來，然后轉化成直線與圓、圓與圓的位置關系，問題就容易解決.學生在以后解題過程中看到這些表現形式就知道是圓方程，求出方程問題就迎刃而解了.

四、同一概念下不同屬性的類比性習題

知識求連，方法求變，問題求活.學生的認知發展是有規律的，類比教學是學生獲取知識本質、數學思想方法和解題思維能力的有效途徑.

例4 O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足[OP=OA+λ（AB+AC）]，[λ∈0，+∞]，則點P的軌跡一定通過△ABC的什么心？

分析：取△ABC邊BC中點D，[OP-OA=λ（AB+AC）=2λAD]，P為公共點，所以A，P，D三點共線，所以點P過[△]ABC的重心.緊緊抓住△ABC重心是中線的交點這一屬性.

類比上述例題，O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足[OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|）]，[λ∈0，+∞]，則動點P的軌跡通過[△]ABC的什么心？

分析：式子變形為[AP=λ（AB|AB|+AC|AC|）]，根據單位向量[AB|AB|]，[AC|AC|]，可知點P在[∠A]的平分線上，又[λ>0]則知點P經過[△]ABC內心.這道題目考查了向量的合成和分解、單位向量以及數量積的知識，具備一定數的形結合能力，注重知識間向量與三角形知識間的聯系.

類比：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足[OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC| sinC）]，[λ∈0，+∞]，則動點P的軌跡通過[△]ABC的什么心？

分析：這題關鍵是觸發學生對結構[|AB| sinB]、[|AC| sinC]如何理解和突破，可以引導學生聯想到正弦定理.由正弦定理知[sinB=|AC|2R]，[sinC=|AB|2R]，代入后可得[AP=2Rλ|AB|?|AC|（|AB|+|AC|）]，可知點P在BC邊的中線上，結合圖形可知點P的軌跡過三角形的重心.

波利亞曾經說過：“類比是偉人的領路人.”類比性習題教學引導學生觀察、探究、推理，感悟數學思想方法的概括內化過程，喚醒學生認知的內驅力，獲得對問題的深度認識，形成有效的學習策略[2]

參考文獻：

[1]吳成強，程勝.類比性習題設計的實踐與研究[J].中學數學雜志，2014（5）：18-20.

[2]徐春波.備課環節中注重變式和類比能力的建構[J].新課程學習，2011（1）：171-172.