從實際應用問題出發培養數學學科核心素養

馮永文

摘 要：數學學科素養是數學課程目標的集中體現。數學核心素養包含著數學基本的思維品格和關鍵能力，在學生自主發展中具有不可替代的作用，更是高中數學課堂教學中不可忽視的關鍵所在。本文以蘇教版高中數學必修5實習作業《解三角形在測量中的應用》的教學片段為例，探討如何從實際應用問題出發培養學生的數學抽象、數學建模和直觀想象素養。

關鍵詞：數學；核心素養；實際應用

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）15-019-2

數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體[1]。數學核心素養包含著數學基本的思維品格和關鍵能力，在學生自主發展中具有不可替代的作用，更是高中數學課堂教學中不可忽視的關鍵所在。筆者以蘇教版高中數學必修5實習作業《解三角形在測量中的應用》的教學片段為例，探討如何利用實際應用問題培養學生數學學科素養，特別是在本節課中體現尤為突出的數學抽象、數學建模和直觀想象這三個核心素養的培養。

一、教學片段呈現

問題1：你知道學校的旗桿有多高嗎？如何測量呢？

學生思考，小組交流討論。

學生1：可以選擇一個測量點，與旗桿的頂點、底點構成直角三角形，在三角形里求旗桿的高度。

教師：能不能用具體的數學語言來描述和解決問題呢？比如畫出數學圖形，建立數學模型，寫出具體的數學解答式。

學生1：如圖，旗桿頂點A、底點B，與測量點C，構成直角三角形。可以利用皮尺測得BC之間的距離a，

利用測角器量得仰角∠ACB的大小α，在Rt△ABC中，tan∠C=ABBC，則AB=BC·tan∠C，即AB=a·tanα。

學生2：這個模型有問題，他沒有考慮到人的身高對測量結果的影響。

教師：人的身高是否影響了旗桿高度的測量呢？

學生2：因為旗桿的高度與人的身高相差不是特別大，所以人的身高不能忽略不計。

教師：那通過怎么樣的修改，才能建立更準確的數學模型呢？

學生2：如圖，畫出直觀圖，建立模型。AB表示旗桿的高度，CD表示人的身高，BD表示旗桿與人之間的距離。測得BD=a，CD=h，仰角∠ACE=α。在Rt△ACE中，AECE=tan∠ACE，則AE=CE·tan∠ACE，所以AB=AE+BE=a·tanα+h。

教師：在充分考慮了身高對測量結果的影響后，同學們通過對模型的修改和完善，能夠較為準確的得到旗桿的高度。那么有沒有其他的方式能得到旗桿的高度呢。

學生3：可以利用影子和相似三角形的知識得到旗桿的高度。如圖，畫出直觀圖，建立模型。測得人的身高AB、人的影長BE、旗桿的影長DF分別為h、a、b。由AE∥CD，可得CDDF=ABBE，所以有旗桿的高度CD=AB·DFBE即CD=bha。

教師：利用影長的方法計算旗桿的高度，較好的回避了法一中身高的影響，并且數學模型較為簡答，也便于計算和理解。

設計意圖：旗桿測量問題學生在初中已經有所接觸，本題旨在通過熟悉的情景，較為容易的讓學生從實際問題中抽象出數學模型，并能較為輕松的用數學語言轉化實際問題，以便讓學生感受數學抽象、直觀想象、數學建模的過程，并通過對已有模型的探究、求解和驗證，能進一步改進模型，最終能夠較為準確的解決實際應用問題。

問題2：若在電視塔旁有一條河，人和電視塔分別在河的兩側，如何測量電視塔的高度呢？（人的身高忽略不計）

學生思考，小組交流討論。

學生4：可以利用影長的方法得到旗桿的高度。

學生5：這個方法不可行。由于電視塔是在河的對岸，所以不一定能測出電視塔的影長。

教師：那有沒有其他的辦法呢？

學生6：如圖，可以在河岸人的一側選取兩個測量點C、D，AB表示電視塔的高度。測得CD的長度a，仰角∠ACB、∠ADB的大小分別為α、β，可以利用解三角形的知識得到電視塔AB的高度。在Rt△ABC中，ABBC=tan∠ACB，則BC=ABtanα。同理BD=ABtanβ。則CD=BC-BD=ABtanα-ABtanβ=a，解得AB=a1tanα-1tanβ。

教師：問題1與問題2的區別在哪里？

學生6：在問題1中，旗桿的底部可以到達的，這樣可以測得人到旗桿的距離和旗桿的影長。但在問題2中，電視塔的底部不能到達，這樣就不一定能測出人到旗桿的距離和旗桿的影長。

教師：同學回答的非常好。問題1和問題2是兩種不同類型的求高度問題，問題1是“底部可達型”，問題2是“底部不可達型”，同學們在處理這兩類實際問題時，要注意建立適當的數學模型解決問題。

設計意圖：“底部可達”問題與“底部不可達”問題是高度測量中的兩類常見問題，通過問題1與問題2的對比研究，一是找到解決兩種不同類型問題的方法，二是體會如何利用數學抽象的方法，得到研究的對象及具體數量關系。感受如何利用直觀想象的方法，感知事物的形態與變化，理解和解決數學問題。體驗如何用數學語言和數學方法表達問題和構建模型，從而尋求解決問題的辦法。

二、從實際應用問題出發培養學生數學核心素養

1.通過實際應用問題培養學生數學抽象素養

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養，包括從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。在“問題1”和“問題2”中，學生從測量旗桿高度和電視塔高度的實際背景出發，通過對空間形式的抽象，分別用圖形語言和符號語言對實際問題予以表述，從而建立數學模型，得到數學研究對象，抽象出一般規律和結構，再利用數學方法解決實際問題。通過實際應用問題培養學生數學抽象素養要抓住語言轉化及模型建立的過程，要能夠將文字語言轉化為圖形語言和符號語言，以便用數學的思維和方法解決問題，從而鍛煉學生的數學素養。例如在測量房屋前后兩根電線桿之間的間距問題中，首先要從問題中抽象出空間形式，再分別用圖形語言和符號語言表述問題，從而建立三角形的數學模型，并利用余弦定理解決問題。

2.通過實際應用問題培養學生數學建模素養

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。在“問題1”和“問題2”的旗桿和電視塔高度測量問題中，學生通過對實際問題進行數學抽象，再利用圖像語言和符號語言等數學語言將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而分析解決問題。特別在“問題1”中，“學生2”對“學生1”建立的三角形模型提出了質疑，他表示人的身高對旗桿高度的計算有一定影響，通過計算檢驗，從而對原有模型進行了改進和完善。通過實際應用問題培養學生數學建模素養主要要抓住發現問題、提出問題、語言轉化、建立模型、檢驗模型，從而解決問題的過程。其中，語言轉化和模型建立是重點難點。

3.通過實際應用問題培養學生直觀想象素養

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖像，理解和解決數學問題的素養。直觀想象是發現問題、探究問題和解決問題的重要手段。如在“問題2”電視塔高度的測量問題中，學生通過構建直觀模型，畫出圖像，利用幾何圖形來描述問題，并借助幾何直觀來理解和解決問題，從而尋找到在直角三角形中利用解方程的思想求出電視塔高度的方法。通過實際應用問題培養學生直觀想象素養，關鍵在于構建直觀模型，利用幾何圖形和空間想象分析問題，從而探索解決問題。例如在測量河流兩側兩電線桿直接之間距離問題中，首先要構建直觀模型，畫出幾何圖形，獲得參數，建立數學模型，從而利用正弦定理解決問題。

利用實際應用問題特別是測量問題培養數學學科核心素養，關鍵在于利用數學語言、圖形語言，對數量關系和空間形式進行抽象，構建直觀圖形，建立數學模型，從而培養學生的數學抽象、數學建模和直觀想象素養。

[參考文獻]

[1]中華人共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）.北京：人民教育出版社，2018.