淺論初中數學生成性隱性課程資源的開發和利用

☉江蘇省無錫市江南中學 高峰官

所謂隱性課程資源，又稱隱蔽性課程資源或潛在性課程資源.這是相對于顯性課程資源而言的，主要有隱性素材性資源和隱性條件性資源，具體包括數學知識的文化元素、過程元素、邏輯元素、背景元素和數學教學的環境元素等作用于數學教與學的各種隱性學習資源.生成性數學課程資源在數學教與學的活動中切實存在，可歸類為數學知識的過程性元素之研究范疇.

一、充分認識生成性數學隱性課程資源的開發價值

生成性隱性課程資源的提出符合新課程改革所倡導的理念.對生成性隱性課程資源的開發和利用，不僅可提高教師專業的發展水平，而且能促進形成學生的主體性，更能提高課堂教學的質量.

1.有利于教師的專業發展

對生成性隱性課程資源的開發和利用，能夠拓展教師的專業知識和技能.教師對生成性隱性課程資源的開發和利用，建立在教師對教材等文本多視角、多層面、多元化的解讀上；建立在教師對課程目標和課程內容的準確把握上；建立在教師對學科內容知識和學科教學知識的充分掌握上；建立在教師具備的靈活多樣的教學策略上，體現了教師個人專業知識的建構和優化.因此，生成性隱性課程資源的功能之一就是提高教師的教學技能、優化教師的知識結構.

教師的專業發展不僅包括專業知識與技能，還有教師的實踐智慧.課堂既復雜又開放，既具有學生的不確定性又充滿著師生的創造性，所以教師需要運用自身的教學藝術和智慧，抓住教育契機，采取合理有效的教學方式，對一些意想不到的事件進行有價值的改造、利用，這離不開教師豐富的實踐智慧.因此，生成性隱性課程資源的開發可提升教師的實踐智慧.

2.有利于學生主體性的形成

學生能否成為學習的主人，這是學生主體性的表現，也是新課程著重強調的改革方面.生成性隱性課程資源的利用體現的就是學生的學習主體性，能夠調動學生學習的積極性和主動性，鼓勵學生主動發現知識，養成在實踐中學習及應用知識的學習態度與能力.學生個體之間總是存在著差異的，這種差異不僅表現在個人的心理、情感、認知、人際交往和價值觀等方面，還表現在個體各自有其不同的生活環境，經歷過不同的教育背景，對新生事物有著不同的思考和困惑，對新知識都充滿著不同的興趣，而生成性隱性課程資源的利用，就是在遵循學生身心發展特點的基礎上，使課堂教學適應學生發展的特點和需要，有利于學生主體性的形成.

3.有利于課堂教學質量的提高

生成性隱性課程資源是課堂教學順利有效實施的催化劑.課堂教學就是學生知識生成的過程，在這一過程中，學生的知識結構重新優化、組合和建構.生成性隱性課程資源的利用，有利于形成使教學活動得以順利開展的“生長點”或“腳手架”，有利于教學活動在此基礎上不斷動態推進，從而保障課堂教學順利、有效進行.當教師發現了學生錯題中含有創造性成分，學生爭論中擦出的思維火花時，若教師巧妙處理和解答，課堂就會釋放出應有的活力.生成性隱性課程資源的利用，能讓學生的主體性在教學中得到尊重，在教學中能夠生成新的資源，師生互動在教學中得到充實、真正體現，從而讓數學課堂煥發生命的活力.可見，讓師生智慧與激情在生成性隱性課程資源的利用中相互碰撞，可提高課堂教學質量.

二、正確把握生成性隱性數學課程資源的內涵

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對生成性隱性課程資源的解釋是將它作為數學課程資源之一進行描述的.能夠應用于教與學活動中的各種資源是數學課程資源，而教學活動中提出的問題、學生的作業、學生學習過程中出現的問題、課堂實錄、聽課評議等屬于生成性資源；它是在教學過程中動態生成的，如師生互動及生生交流過程中產生的新情境、新問題、新思路、新方法、新結果等.

從廣義上講，生成性隱性課程資源是具有課程意義的建構性資源，是指在教育者、受教育者、文本、環境等多種因素持續地通過多種形式相互作用，在過程中以真實的對話情境為依托動態生長的資源.

生成性隱性課程資源主要發生在課堂，就學生而言，葉瀾教授總結了學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、注意力、學習方法與思維方式、合作能力與質量、發表的意見、建議、觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，無論是語言，還是行為、情緒方式的表達，都是教學過程中的生成性資源.就教師而言，雖然動態生成資源豐富，但它們往往都處于潛伏的狀態，需要教師運用自身的知識、能力、情感、智慧、經驗、意愿、性格、愛好、態度、品行、價值觀和人格魅力等自覺主動、有意識去激活，這些也屬于教學過程中的生成性資源.

對動態生成中蘊藏資源的開發與利用.課堂教學是一個充滿變數的動態化過程，在這過程中，除了“預設”和“預設生成”，往往還會產生一些出乎意料的信息材料，這就是動態生成資源.正如葉瀾教授所言：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發生意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程”.

綜上，常見生成性隱性數學課程資源主要包括以下幾方面：一是隱性課程資源之課堂教學生成；二是隱性課程資源之教材例、習題的變式和拓展；三是隱性課程資源之學生作業與測試中的創新與“錯誤”；四是隱性課程資源之課堂實錄、聽課評議等.

本文著重就其中前三個方面加以闡述.

三、有效開發和利用生成性隱性數學課程資源

1.對課堂教學生成性隱性資源的開發與思考

（1）課堂教學生成性隱性資源的開發和利用是本文闡述的重要內容.對課堂教學隱性資源的存在形式，很多教師有各自的見解.福建師范大學的李煒教授在博士論文《數學教學生成研究》中對教學過程中一些常見生成性資源分成三類.

①問題型資源.

美國教育家布魯巴克曾說：“最精湛的教育藝術，遵循的最高準則，就是學生自己提出問題.”因為問題是自主探究的出發點，學生顯示自己的困惑、提出問題，生成了非預設性的教學資源，則學生的學習就成為一種發自內心的探索，不再是被動的灌輸.所以在學習中學生出現的疑難、困惑或模糊不清的認識，以及在教學過程中教師即時生成的某些非預設性“問題”都屬于問題型資源.

②錯誤型資源.

心理學家蓋耶說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”師生每天都要在數學教學中與數學錯誤打交道.不知錯誤就無法談及正確，理清錯誤，汲取教訓，也就明白了正確.對教學而言，師生所犯的錯誤是可被開發和利用的寶貴資源.

③差異型資源.

在教學過程中，為充分拓展學生的思維、實現學生個體相互間的資源共享，更為生成學生個體的知識意義，需將學生在認知中表現出的獨特想法、新穎見解等個性化的思維方式和多樣化的探索策略作為教學資源，這種資源產生于學生不同的認知基礎和認知風格，稱為差異型資源.

（2）開發課堂生成性隱性資源的基本策略.

①充分預設，為教學生成奠定基礎.

課前預設是上好一堂課的基礎和前提.但是，我們不能忽略學生是一個個活生生的個體，更不能忽略教學過程中學生的主體地位和學生身上存在的巨大主觀能動性.學生在課堂的言行肯定會超出教師的預設，甚至打亂教師的預設.充分的預設是上一堂好課的基礎，更是生成教學的基礎.課前預設主要包括兩方面的內容，一是針對教學內容，教師要深入鉆研課程標準、教材，理解教學內容的實質和意圖；二是針對學情，了解學生已掌握的知識和要學習的知識間有什么聯系，學生的智力基礎如何，哪些地方需要細致深入、反復講解，學生之間差異有多大.作為教師，只有課前做好充分預設，才能換來動態生成式的教學精彩.

②教師提出有啟發性的問題.

當教師提出有啟發性的問題時，往往能引起學生認知上的沖突或勾起學生的好奇心，從而使學生展開思考和聯想，才會引出學生很多想法和觀點.一千個讀者心中有一千個哈姆雷特，當不同學生對教師的同一個有啟發性的問題提出不同的想法和觀點時，這些想法和觀點往往會超出教師的預設.這樣既保證了學習過程中學生的主體地位，又產生了新的教學資源生成.

③教師從學生錯誤解答中引出生成.

當學生解答問題出現錯誤時，教師不應顯現出厭惡或斥責的表情，而應冷靜思考.錯誤出現時，生成也很有可能出現，學生的錯誤往往是教學中一種寶貴的教學資源.

④教師從學生正確解答中引出生成.

在教學中，往往會出現這樣一種情況，教師讓某同學回答問題，這個同學回答正確了，但是，這并不能代表大多數同學都掌握了本節課的知識，甚至這位同學也沒有完全理解本節課的內涵，也許是死記硬背了解題方法.教師要善于追問，在追問中往往會加深對新知的理解、產生新的生成.

2.對教材例、習題的改編和拓展的開發思考

例題教學是課堂的重要環節，加強對例題的教學是提高課堂效率的一種重要方法.這就要求教師對教材的充分理解和對例、習題的深度把握，在此基礎上才能發揮每一課堂環節的實效.然而，教材上的例題是有限的，也比較簡單.有這樣一種現象，學生聽老師講例題的時候都能聽懂，但到自己做題的時候就不會了.這其中很重要的一個原因就是教師對例題的講解不夠充分，挖掘不夠深刻，問題本質揭示不到位.教師要認識到，教材上的例題不是例、習題的全部，只是一個引子、一個起點，教師要學會對例、習題進行“二次開發”，對例、習題中的思維和方法進行拓展，讓學生通過例、習題的理解、演變、反思獲得更多的技能，從而充分挖掘例、習題的思維價值.

在教材例、習題改編中應注意以下幾點：

（1）尊重原教材編寫意圖.

尊重原教材內容是對教材例題進行“二次開發”的首要原則.教材是經過專家們不斷推敲和研究后編寫的，教材中的任何一道例題或練習都不是隨隨便便編排的，是知識的提煉和精華所在.因此，教師在對教材例題進行“二次開發”的時候，不能舍棄原教材中的內容，而要以原例題為基礎進行開發.教學中首先要圍繞教材例題展開教學，要先講完教材中的例題后，再對例題進行拓展和開發，這樣才是有效的.

（2）對例、習題中的背景進行延伸.

為激發學生的思維活力，教師在對例題講解時可對例題的背景進行優化和延伸，根據實際生活為學生創造一個更加真實的知識體驗.比如，在講拋物線的時候，可以用當地出名的橋或橋拱、隧道頂來做例子，改動原題數據，創造一個真實的問題情境.又如在學習三角函數時，可用生活中一些真實的山或建筑物講解，學會用三角函數測量.這樣學生易進入學習狀態，能提高學習積極性.可見，數學與生活相結合，能產生新的學習資源，讓課堂氣氛更活躍.

（3）對例、習題中的題設和結論進行變換.

教師還可以通過對例題中的題設和結論的變換達到二次開發的目的.教材中的例題一般是具有代表性的，為了訓練學生的思維能力，加強學生對知識的理解，可以采用這樣的方法提高課堂效率.特別是在幾何證明題當中，變換題設或結論，可以很好地達到拓展學生思維的目的.

（4）對例習題的知識范圍進行擴充.

一般來說，教材例題中所涉及的知識點是本單元、本節中所學知識點，知識點范圍會相對窄一些.但在實際考試及運用中，題目的考查方式往往是綜合的，也就是說，一道題目會涉及幾個不同的知識點，這就要求學生綜合使用知識點解決問題.所以，在例題教學中，教師可對例題中的知識范圍進行一定的擴充，對例題進行拓展，把相關的一些知識點及常見的考查方式融合到例題中，讓學生綜合使用不同知識.比如,在學習三角函數的時候，可以把前面學習過的相似三角形知識結合到一起；可把二次函數與二元一次方程結合到一起進行對比和學習.通過對例、習題知識范圍的擴充，可加強知識間聯系，對幫助學生形成知識網絡是非常有利的.

3.對學生作業和測試中出現的“錯誤”的開發與思考

學習數學需要做題，做錯題不可避免.因此，初中生做錯題是很自然的，但很多錯題并非是偶然產生的，有些錯題會反映出學生產生錯誤的規律性因素.因此需對錯題進行歸納總結、分析研究，從中吸取教訓，將錯題作為生成性資源加以利用，以促進學生的知識掌握、能力提升.

對于教師而言，學生知識的薄弱環節和思維方法的缺陷會在錯題中暴露，一位優秀的教師會研究學生的錯因、收集學生的錯題并分析，形成對學生各種思維誤區的預見，能夠在以后教學中給予針對性輔導.教師不應將產生錯誤的原因完全歸咎于學生，應從教與學雙方面進行反思.學生在學習中必定會出現“錯題”，這是最直接、最豐富的教學資源.對于學生的錯誤，要采取慎思態度，善待錯題，合理利用錯題形成生成性資源，促進學生認知、思維、情感和品格的形成，這具有非常重要的教育價值.

數學錯題具備生成性課程資源的主體依賴性特點.應將學生錯題應用在特定的教育情境中，通過教師和學生的交往、對話、互動等生成學生的認知和實踐經驗.錯題資源的教學利用體現了教師和學生的資源加工和處理能力，融合了教師和學生的集體智慧.

怎樣進行數學“錯題”隱性資源的開發與課堂實施呢？

（1）預設錯誤，警示學生少犯錯誤.

教學經驗豐富的教師，會對學生的學習情況了如指掌.教師可以預設錯誤，通過錯誤，引起學生重視，從而避免學生犯同樣錯誤.例如，在學習一元二次方程根與系數關系時，教師舉例：已知一元二次方程2x2-6x+7=0，有兩根之和x1+x2=3，讓學生討論解法是否正確.討論后，學生認識到根與系數關系公式的運用前提是方程要有兩實數根，而此方程恰恰沒有實數根，從而警示學生要注意數學公式的適當范圍，增強數學思維的慎密性.

（2）巧取錯誤，引導學生自主質疑.

批判性思維的一個重要表現就是科學的質疑態度，對習以為常的東西要多加審視.只有采取批判的態度，才會有所創新.要培養學生思維的批判性，就要訓練學生學會質疑.例如，老師有意講解了這樣一道題：已知三角形的面積為36，周長為24，則內切圓的半徑為多少？如果教師形式化地用公式其中，r表示內切圓的半徑，s表示三角形的面積，p表三角形周長的一半，就有半徑等于3.這樣做對嗎？我們知道，周長為定值的三角形中，以等邊三角形的面積最大，因此，容易算出，周長為24的三角形的最大面積為，顯然小于36.可見，這道題本身就是錯誤的.教師在平時例、習題講解中要善于引導學生質疑，利用好這些課程資源.

（3）辯析錯誤，促進學生反思和完善認知.

有這樣一道探究題：有一張8×8的正方體紙片，把這張紙片，按圖1所示剪開，把剪出的4個小塊按圖2拼成一個新的圖形.教師問：“這是一個什么樣的圖形呢？”學生動手拼合后，好多學生回答：“這是一個長13、寬5的長方形.”教師問學生能確定嗎？學生回答感覺上好像是這樣.

圖1

圖2

這是一個因為直覺而誤導學生的數學問題.正方形的面積為64，而長方體的面積為65，顯然不對，但學生又無法說明為什么觀察的結果是錯誤的.錯誤在哪里呢？這顯然產生了一個很有思維價值的教學資源.

學生經過邏輯思考，推斷只有一個可能：圖2中的紙片所示的圖形不是長方形，不可以用長方形的面積公式求面積.然后，可引導學生測量圖形的左上角和右下角，發現確實不像直角.教師告知學生，這個想法是正確的，但需給出邏輯說明，這樣引導學生經歷一個由合情推理到演繹推理的過程.

至于證明，教師可引導學生運用反證法證明，讓學生加深對相似圖形的理解.

如圖1中，過D作AC的垂線交AC于F，假如圖2中的圖形是長方形，那么圖形左下角應為直角，則可推出圖1中有：∠BAC=∠EDF.由三角形相似判定定理可知，△ABC △DEF.應當有，這顯然是矛盾的.因此，圖2中的圖形不可能是長方形.那么為什么學生容易產生直覺錯誤呢？其原因在于這個差很小，因此造成視覺上的誤差.教學中，教師可鼓勵學生運用不同的方法對此問題進行解釋.正是在這樣的質疑、交流中，學生的思維品質得以優化.

總之，生成性課程資源是數學隱性課程資源中的重要組成，也是數學教與學研究的一個熱點話題.作為一線數學教師，需做課程資源開發的有心人，需開拓視野，突破傳統思維的局限性，從多角度、多維度挖掘教學實踐中的隱性資源；要加強對現有生成性隱性課程資源的價值研究和實踐研究，要形成具有指導性和操作性的開發策略；同時積極開展教學實踐，在實踐中合理利用隱性課程資源，這對于培育學生的數學核心素養大有裨益.