函數的單調性在高中數學中的學習與應用

高清政

摘 要：函數的單調性也叫做函數的增減性。它指的是反饋函數隨著自變量的變化，呈現(xiàn)正比例的變化規(guī)律。這個知識點不僅是高中教學學習的重點，同時也是難點。所以，在高中數學學習過程中，只有學好了數學函數的單調性，才能夠更深的掌握數學知識。因此，本文對函數的單調性在高中數學中的應用和學習進行了詳細分析，進而可以更好的讓學生掌握好數學函數的單調性。

關鍵詞：函數的單調性；高中教學；學習；應用

在對高中數學的學習過程當中，函數的單調性刻畫的是兩個變量之間的關系。它普遍應用在求解不等式、求最值、求取值范圍以及解方程當中。在對高中數學進行學習當中，充分掌握好函數單調性的性質，并且剛好的應用在解答各種題型中，能夠大大擴展學習解題的思路范圍，提高解題的速度，進而達到提高學習成績的目的。

一、函數單調性學習的重要性

在對高中數學學習的過程當中，學生基本上都已經接觸了一次函數以及二次函數的有關知識，簡單學習了高中函數增減性的內容。但是，在對高中數學函數單調性進行學習的過程中，如果要想更好的掌握這個知識點，需要從函數定義以及概念兩個方面著手，利用數學符號和例子來進行解釋，對函數單調性的定義進行全面了解。除此之外，函數單調性是變量的一個變化規(guī)律。它是學習其他函數知識的核心內容。所以，在高中函數學習過程中，需要將函數的單調性作為獨立的學習單元進行學習，并且利用直觀感受以及文字描述等形式，加深對它的掌握程度，進而為學習不等式以及導師等知識打下堅實的基礎。

二、函數單調性在高中數學中的學習和應用

（一）函數單調性在解方程中的應用。高中數學中重要的學習部分就是對方程進行求解。函數單調性應用到解方程當中，能夠大大提高解題速度，更為有效的解決方程式的問題。比如在方程式x3+2x（x+1）3+1=0當中，我們可以根據函數單調性的行醫(yī)，將這個方程化簡成為x3+x+[（x+1）3+x+1]=0我們設f（x）=x3+x，在區(qū)間（-∞，+∞）范圍內，是單調遞增的變化趨勢，并且f（-x）=-f（x）是奇函數。下面我們求解f（x）+f（x+1）=0，也就是f（x+1）=-f（x）=f（-x）。我們已經知道f（x）是單調函數，轉變?yōu)閤+1=-x，得x=-0.5.我們通過這種方式求得方程式的解，對方程式進行簡化，快速的求得方程的單調區(qū)間。

（二）函數單調性在解數列中的應用。在對高中數學的學習過程中，數列是一項重要的學習內容。同時，它還是高考的重點以及難點。在數列{an}當中，an是一個自變量是n的函數。所以，在對數列求解最值的時候，利用函數單調性來對數列進行求解，能夠按照數列自變量的關系來解決問題。

例如，在已知：an=■+■+……+■，n∈N+如果an>2b-5成立，并且b是自然數，對b的最大值進行求解。在解這個數列的時候，由于an>2b-5都成立，因此轉變成2b-5<|an|min，求其最小值。我們已經知道an是一個自變量是n的函數，此時應用函數的單調性來對數列進行求解，就能夠快速的獲得答案。

（三）函數單調性在不等式求解中的應用。在對高中數學知識進行學習時，盡管學生會按照老師要求背熟數學公式，但是在對數學題進行解答過程當中，由于自己知識結構的限制，往往造成自己在解題當中出現(xiàn)錯誤。將函數單調性應用到不等式求解過程中，能夠根據不等式的分類以及數形結合的形式來對其進行解答，能夠快速的求解出答案，進而提高自己的數學思維以及解題水平。

比如：在已知a，b/c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1證明ab+bc+ca+1>0在對這個不等式求解過程當中，首先要利用函數的不等式，將上述不等式轉化成為f（x）=（b+c）x+bc+1，如果x∈（-1，1）的時候，f（x）>0都成立。如果b+c=0的時候，f（x）=1-b2>0都成立。如果b+c不等于0的時候，一次函數f（x）=（b+c）x+bc+1，在X∈（-1，1）范圍內有單調性。我們已知f（1）=bc+b+c=（b+1）（c+1）>0。求得f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（-1，1）范圍內都大于0。所以，當a|<1，|b|<1，|c|<1的時候，（b+c）a+bc+1>0都成立。我們利用上面這種方式將不等式轉化成函數，將常量看出是變量中的瞬間狀態(tài)，并且設置函數單調區(qū)間，并利用函數單調性來對不等式進行驗證。這樣就會大大簡化了解題的過程，快速求得出正確答案。

（四）函數單調性在求導中的應用。在利用函數單調性對導數進行求解過程中，我們首先需要對函數導數的定義有所了解，并且靈活的對其進行運用。只有這樣，才能使導數的問題快速地解決。比如：在函數y=x2-x3+5，對這個函數的單調性進行判斷，并且求出單調區(qū)間。對函數進行求導，我們首先轉換成y1=2x-3，x2=x（2-3x），函數y的定義域區(qū)間實數是R。我們設函數y的導數為0，求x的解得到x1=0，x2=■，如果x∈（-∞，0），x∈（■，+∞）的時候，函數y的導數小于0，函數在x∈（-∞，0）是遞減函數。如果x∈（■，+∞）的時候，函數y的導數大于0。函數在（0，2/3）范圍內是單調遞增函數。經過上述分析我們可以看出，在函數單調性學習當中，導數是重要的一個知識內容。利用函數的單調性對導數問題進行求解，能夠更加對解題思路進行明確，進而快速的解答出正確的答案。

我們經過上述分析可以知道，在對高中數學進行學習過程中，學好高中數學函數的關鍵所在就是掌握好函數的單調性。函數的單調性能夠掌握好關系著今后高考的成績。所以，在平時對高中數學函數單調性進行學習的過程當中，要想更快的掌握住解題技巧和方法，需要不斷研究函數學習方法。根據自己學到的知識對函數單調性進行歸納和總結，并且學會利用函數單調性的技巧求解不等式、數列、方程、求導數等方面的應用，以達到不斷提高自己學習能力的目的。

參考文獻：

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