淺析二次函數(shù)根的分布問題的學(xué)習(xí)

王思斯

摘 要：本文以高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為研究視角，將二次函數(shù)根分布問題的學(xué)習(xí)為研究對象，通過例題分析與解答的方式討論分析二次函數(shù)根的分布問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。希望可以為同學(xué)們更好的學(xué)習(xí)這一板塊的知識帶去參考與借鑒。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)根 分布問題 學(xué)習(xí)

引言

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識體系的有機組成部分，而二次函數(shù)根的分布問題是學(xué)習(xí)中的難點問題，困擾著很多同學(xué)。基于此，我們在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，一定要注意探索二次函數(shù)根的分布規(guī)律，進而提高學(xué)習(xí)效率，提高數(shù)學(xué)成績。所以，筆者針對《淺析二次函數(shù)根的分布問題的學(xué)習(xí)》一題的研究具有現(xiàn)實意義。[1]

例題1：“已知方程ax2-2x+1=0（a>0）的兩個根滿足以下條件：其中較小的根小于1，而較大的根在1，3之間。問a的取值范圍。”

解：令f（x）=ax2-2x+1（a>0），根據(jù)已知條件其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”可以得出f（1）<0，f（3）>0，進而可以得出a-1<0，9a-5>0，從而得出a的取值范圍是a∈（，1）。[2]

分析與思考：該題目最關(guān)鍵的就是要是要找出“其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”這一已知條件的充分必要條件，所以在解題的過程中可以利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，首先畫出“ax2-2x+1=0”的圖像，然后觀察圖像。

例題2：“m是什么實數(shù)的時候，方程x2+2mx+2m+1=0在{x|-4

解：令f（x）=x2+2mx+2m+1=0，根據(jù)題意可知得出：

可得：m∈（1+，）。

分析與思考：二次函數(shù)根的分布問題是可以分為兩大類的：（1）兩個根分布在統(tǒng)一區(qū)間之上的時候，那么在解題的過程中只需要考慮區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)符號就可以了；（2）如果兩根分布在不同的區(qū)間上的時候，就需要考慮三個方面的問題，即Δ的符號、區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值的符號以及對稱軸的范圍。但是需要注意的是，并不是全部而是函數(shù)根的分布問題都必須利用該種方法進行解答，在解題的過程中只需要找出函數(shù)根分布的其中一個充分必要條件就可以了。

例3：“如果方程x2-mx-m+3=0具有兩個根，且兩個根滿足以下條件：其中一個根處于0和1之間，另一個根在1和2之間，問m的集合。”

解：根據(jù)題目中所給出的已知條件，可以得出：

f（0）f（1）<0，

f（1）f（2）<0，

（3-m）（4-2m）<0，

（4-2m）（7-3m）<0，

可得出2

例題4：f（x）=a+b+c（a>0），方程f（x）-x=0具有兩個根X1、X2，且X1、X2滿足0

證明：根據(jù)題意可知：f（x）-x=a（x-X1）·（x-X2）

∵0

∴a（x-X1）（x-X2）>0

∴當x∈（0，X1）的時候，有f（x）>x。

又f（x）-X1=a（x-X1）（x-X2）+x-X1=（x-X1）（ax-ax2+1），x-X1<0

且ax-ax2+1>1-aX2>0，

∴f（x）

分析與思考：在已知方程f（x）-x=0有來兩個根的時候，根據(jù)題目當中所給出的函數(shù)與方程之間的關(guān)系，就可以得出f（x）-x的表達式，進而也就可以得出函數(shù)f（x）的表達式，之后就可以開展證明。

例題5：“已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a>0），設(shè)函數(shù)f（x）=x的兩個根分別為X1、X2。問題1：如果已知X1<2-1.問題2：如果|X1|<2，|X2-X1|=2，那么b的取值范圍是什么樣的？”

解：設(shè)g（x）=ax2+（b-1）·x+1，那么就有g(shù)（x）=0的兩個根是X1、X2。

（1）由于a>0且X1<20，從而得出3+3·-<0，-4-2·+3/4a>0，將兩式相加可以得出b/2a<1，從而證得x0>-1。

（2）由（X1-X2）2=（b-1/a）2-4/a，可以得出2a+1= .

又X1X2=1/a>0，所以可以得出X1、X2屬于同號；

所以|X1|<2，|X2-X1|=2，與0

與X2<-2

與g（-2）>0，g（0）>0是等價關(guān)系。

最終解得：b<1/4或者b>4/7.

分析與思考：在題目當中所給出的已知條件X1<2

結(jié)論與反思：

上述5道例題分別代表了高中二次函數(shù)根的分布問題的幾種典型題型，希望筆者的思考分析與解答可以為同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶去一定的幫助。但是需要注意的是，在學(xué)習(xí)的過程中，單純掌握解題技巧是不夠的，“萬丈高樓平地起”，我們依然要堅信只有在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的過程中將基礎(chǔ)打牢，在平時的練習(xí)中注意積累與總結(jié)，才能在解答問題的時候得心應(yīng)手，提高解題的效率。同時，由于筆者的學(xué)識有限，在討論分析問題的過程中難免會有妄自菲薄與不夠深入之處，還望老師與同學(xué)給予建議，進而實現(xiàn)共同進步。

參考文獻

[1]曾曉聰.隱含條件在二次函數(shù)中的應(yīng)用研究[J].農(nóng)家參謀，2017（19）：85.

[2]張翼.談?wù)劧魏瘮?shù)根的判別式的一個背景[J].南京高師學(xué)報，1995（04）：15-16+14.