對(duì)微積分中導(dǎo)數(shù)“”的探究與教學(xué)反思

☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 彭印玲

一、問題提出

作為青年教師，筆者除了熟悉普高數(shù)學(xué)教學(xué)，也從事AP微積分教學(xué).AP（Advanced Placement）課程是美國大學(xué)理事會(huì)主持，在高中階段開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，它可以使高中學(xué)生提前接觸大學(xué)課程，避免了高中和大學(xué)初級(jí)階段課程的重復(fù)，也就是通常所說的大學(xué)預(yù)修課程.在4年AP微積分教學(xué)經(jīng)歷中，很多學(xué)生在進(jìn)入美國高中甚至大學(xué)后，經(jīng)常給筆者留言，提出疑惑：“老師，到底什么是dx，求導(dǎo)是什么意思？”

學(xué)生在國內(nèi)學(xué)習(xí)微積分時(shí)，沒有提出這樣的問題，到了國外卻問了這樣的問題，是平時(shí)教學(xué)的忽略，還是知識(shí)建構(gòu)出了錯(cuò)？帶著這樣的困惑，在今年的課堂中特別留意求導(dǎo)符號(hào)章節(jié)的教學(xué).在基礎(chǔ)班與實(shí)驗(yàn)班隨堂小測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)求導(dǎo)符號(hào)處于一種矛盾狀態(tài)，一方面，在解題時(shí)能夠靈活應(yīng)用公式求解，另一方面，對(duì)公式的由來雖然存在困惑，但也因?yàn)檎n程快進(jìn)度問題直接不想問.特別在講解復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)，兩個(gè)班的學(xué)生私下里不止一次提問，“老師，為什么還要再乘另外一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣直接約分可以嗎？”

二、問題追源

課堂使用的教材是新東方《AP calculus第二版》［1］，書本在46頁中首次引入導(dǎo)數(shù)符號(hào)，認(rèn)為y′，是相等的，沒有任何的解釋說明.導(dǎo)數(shù)的知識(shí)不僅在AP中有涉及，在普高數(shù)學(xué)教學(xué)中，也有相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn).蘇教版高中教材選修2-2［2］，教材中對(duì)導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，只提出f′，y′這樣的記法，教參中也沒有提及的寫法.而高等教育出版社出版的《數(shù)學(xué)分析（第三版）》［3］，教材第五章導(dǎo)數(shù)和微分章節(jié)中，對(duì)是一個(gè)整體，也可以理解為施加于y的求導(dǎo)運(yùn)算，在學(xué)過微分后可以將這個(gè)算式認(rèn)為是一種商”.這樣的結(jié)果也讓筆者困惑，在講解導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要提供兩種不同記號(hào)嗎？是否有必要兩種方式都講解呢？

帶著疑惑，在日常的一節(jié)數(shù)學(xué)課的課前一分鐘，筆者在班級(jí)中做了一個(gè)小調(diào)查，“你認(rèn)為導(dǎo)數(shù)定義中的代表什么意思？”全班，沒有一個(gè)同學(xué)回答這個(gè)問題，甚至是日常作業(yè)與測(cè)驗(yàn)正確率都在90%以上的同學(xué)，都說不知道……

三、問題探究

導(dǎo)數(shù)的這兩種記號(hào)到底是什么意思？在教學(xué)中應(yīng)該如何設(shè)計(jì)處理？dy，dx到底是什么？學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)理解的問題，出現(xiàn)問題的原因是什么？帶著班級(jí)小調(diào)查的結(jié)果，筆者與辦公室同事展開多次教學(xué)研討.

同事中持有兩種不同的意見，一種認(rèn)為導(dǎo)數(shù)dx中的d取自求導(dǎo)derivative的首字母，dx是一種標(biāo)記，認(rèn)為是一種簡(jiǎn)略的寫法，理由是：北京王府學(xué)校的校編教材《AP calculus》［4］中有寫道：“微積分是由外國人（牛頓和萊布尼茨）創(chuàng)立的，所以導(dǎo)數(shù)中的d是由英文derivative翻譯過來的.”另一種認(rèn)為dx代表Δx，d是差值Δ（delta）的縮寫，理由是：函數(shù)圖像上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)中，導(dǎo)數(shù)是當(dāng)差值Δ無限接近0時(shí)的一個(gè)值.從幾何意義上理解，導(dǎo)數(shù)是曲線上一個(gè)點(diǎn)無限接近另外一個(gè)點(diǎn)時(shí)，由割線的斜率變?yōu)榍芯€斜率的過程，切線的斜率即是某個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.從這個(gè)角度，認(rèn)這兩種觀點(diǎn)從本質(zhì)上講沒有什么錯(cuò)誤，在教學(xué)中到底應(yīng)該詳細(xì)講述比較好，還是一帶而過比較妥當(dāng)？

由于AP微積分是美國大學(xué)先修課程，為此，筆者專門找了好多美版教材來研究，在兩個(gè)教材中找到一些實(shí)質(zhì)性的說法.

CENGAGE LEARNING出版的《Calculus of a single variable for AP》［5］第59頁中這樣陳述：作為對(duì)f′（x）補(bǔ)充，通常會(huì)用示函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù).最常見的一種是極限的表示：

另外，在美版教材Jon Rogawsk《iCalculus》［6］130頁中，對(duì)兩個(gè)記法給出了歷史的證據(jù)：書中認(rèn)為導(dǎo)數(shù)的記法，y′是由拉格朗日（法國數(shù)學(xué)家1736-1813）提出的，另外一種寫法則歸功于萊布尼茨（德國數(shù)學(xué)家1646-1716）.書中對(duì)導(dǎo)數(shù)的后一種寫法給出更加準(zhǔn)確的說明：不應(yīng)當(dāng)將認(rèn)為是dy除以dx，表達(dá)式中的dx，dy均是微分算子，它們?cè)诰€性估算及更進(jìn)一步的微積分計(jì)算中起了一定的作用，但是在這里，教學(xué)中僅僅將它們看成一種符號(hào)，而不是單獨(dú)的個(gè)體.同時(shí)，書中對(duì)選擇用作為導(dǎo)數(shù)符號(hào)提出了一些看法，總結(jié)如下：

（2）這樣的記法，方便看出函數(shù)求導(dǎo)時(shí)的變量，如果自變量不在是x，而是時(shí)間t時(shí)，學(xué)生們可以記

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

針對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)筆者提出三個(gè)層次的說明：第一，說明導(dǎo)數(shù)的極限定義，理解的關(guān)系；第二，通過改變變量，體現(xiàn)三，在鏈?zhǔn)椒▌t中，通過復(fù)合函數(shù)的變量改變，更進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的定義.

在實(shí)際課堂中，利用幾何畫板展現(xiàn)從割線到切線無線逼近的過程，并設(shè)計(jì)增加變量改變等課堂小“陷阱”.

通過兩個(gè)班的實(shí)際教學(xué)課堂對(duì)比后，對(duì)微分算子的理解從原本的21%，上升至60%，課堂實(shí)驗(yàn)效果比較理想.

根據(jù)美國心理學(xué)家洛欽斯提出的首因效應(yīng)，筆者做出假設(shè)，在初次課的時(shí)候，能夠按照這三個(gè)層次教學(xué)，在講授鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)再次鞏固，學(xué)生對(duì)此的困惑必然會(huì)減少很多.這個(gè)實(shí)驗(yàn)也將在今年的教學(xué)中繼續(xù)實(shí)踐.

五、教學(xué)反思

在查閱資料中發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)高中教材中對(duì)“dy，dx”的標(biāo)記方法沒有特別的說明，這應(yīng)該源于高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求：“對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，是通過實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷從平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，進(jìn)而了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景及瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.”

在新一輪高考改革之際，課程標(biāo)準(zhǔn)也做出了改變，對(duì)學(xué)生提出應(yīng)該掌握的基本能力，已經(jīng)由最初的基本知識(shí)、基本技能拓展為基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；并要求學(xué)生掌握四種能力：掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的能力、訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

“四基四能”要求的提出，是對(duì)學(xué)生更高層次的要求，同時(shí)也是對(duì)老師提出的更高要求.從微積分課堂小困惑中，筆者發(fā)現(xiàn)，教學(xué)應(yīng)該有前瞻性，要有全局觀.在教學(xué)中也應(yīng)該改變自己的上課理念，充分備課，對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)有余時(shí)，多翻翻其他教材，對(duì)學(xué)生提出的問題多幾番思考，不僅僅是對(duì)學(xué)生提問積極性的鼓勵(lì)，更是對(duì)教學(xué)的一種深入研究與反思.路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索.