問題成串促思維 模式化歸顯身手

☉湖北省武漢市漢陽區教育局教科中心 桂文通

問題是數學教學的心臟，是學生思維的中心，在數學課堂教學中，需要我們教師提供有價值的問題.“我所解決的每一個問題都將成為一個模式，以用于解決其他相關問題”（笛卡爾語），運用模式識別，自覺化歸是問題解決的一個有效途徑，可以很好地實現高效解題的目的.

問題串是指在一定的學習范圍或主題內，圍繞一定目標、按照一定的邏輯結構，精心設計的一組問題.問題串教學是引導學生帶著任務積極地自主學習，由表及里，由淺入深地自我建構知識的過程.因此，問題串的設計應體現知識與方法的過渡性，根據教學目標，把教學內容編設成一組組、一個個彼此關聯的問題，使前一個問題作為后一個問題的前提，后一個問題是前一個問題的繼續、發展或補充，這樣的問題組合在一起為學生搭建了一個思維的階梯，使學生在問題串的引導下，實現由未知向已知的轉變，讓學生在明確知識內在聯系的基礎上獲取基礎知識，提升思維能力，促進思維縱向深入的發展.

模式識別解題的心理機制是當學生主體接觸到數學問題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識和經驗發生聯系，然后確定解決問題的思路.模式識別過程是感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較和分析，判斷和決策它們的最佳匹配的過程.在學習數學過程中，學習者所積累的知識、方法、經驗經過加工、融合，會得出具有長久保存價值的或基本的典型結構與重要類型——模式.從解題思想的角度看，模式識別解題其實是化歸思想的運用，具體體現是化陌生為熟悉，化未知為已知，化新的問題為已經解決的問題，它的思維過程大致可以用圖1表示.

圖1

基于以上解題觀念，筆者設計了一節與正方形有關的復習示范課.

問題1：如圖2，在正方形ABCD中，E是AD上一動點，G是BE上一動點，過點G作BE的垂線分別交AB，CD于點H，F.求證BE=HF.

學生探索思路：

經過點C作CM∥HF交AB于點M，易證四邊形CFHM是平行四邊形，由△BCM △ABE，得HF=CM=BE.

設計意圖：提出本節課的基本問題，也是這節課的源問題.讓學生熟悉證明線段相等的常見方法（全等、平行四邊形或等腰三角形等知識），由證明過程知我們可以提煉一個互逆結論：在圖2中，若BE⊥HF，則BE=HF；若BE=HF，則BE⊥HF.

問題2：在邊長為6的正方形ABCD中，點F為CD上一點，且DF=2.

（1）如圖3，將正方形ABCD沿MN對折，點A剛好落在點F處，求折痕MN的長；

（2）如圖4，E是AD的中點，在BC上找點G，使EG=AF，寫出BG的長.

學生模式解決：

（1）由折疊的性質知AF⊥MN，直接回到問題1的模式，所以由問題1的結論得

（2）根據問題1的結論，可過點E作EG⊥AF交BC于點G，則有EG=AF，再求BG的長.此時過點G作GM⊥AD，垂足為點M，可求出BG=AM=AE-ME=AE-DF=3-2=1.另外，點G關于BC邊的中垂線的對稱點G′也滿足條件，此時BG′=5.所以滿足條件的G點有兩個，故BG=1或BG=5.

設計意圖：（1）改變問題的呈現方式，用折疊代替垂直，要求學生能夠根據條件自覺地將問題進行轉化；（2）提供了一個開放性的問題，要求學生克服思維定式的影響，關注學生思維的嚴謹性.在無圖的情況下，當EG=AF時，EG與AF不一定滿足垂直關系，不止有一條線段，而是一組對稱線段.

問題3：在問題1中，如圖，平移HF，使DE=DF，若EG=4，FG=6，求四邊形DFGE的面積.

學生探索思路：

方法2：（旋轉法，將四邊形轉化為正方形）如圖6，連接DG，過點D分別作DP⊥EG，DH⊥GF，垂足分別為點P，H.易證△PDE △HDF；△PDG △HDG.于是PE=HF，PG=GH，且四邊形PDHG是正方形，.

因為EG=4，FG=6，所以GH=5.于是S四邊形DFGE=S四邊形DPGH=52=25.

方法3：（旋轉法，將四邊形轉化為等腰直角三角形）如圖7，延長GF至點M，使MF=EG.可證△GDE △MDF；△MDG是等腰直角三角形.于是5=25.

設計意圖：將基本問題特殊化，提煉一個基本圖形：一組鄰邊相等，且對角互補的四邊形.圖5中的四邊形DEGF的四個頂點其實在同一個圓上.在圖8中，我們可以得到一組互逆命題：若DE=DF，則GD平分∠EGF；若GD平分∠EGF，則DE=DF；并探討了這個不規則四邊形面積的求法.

問題4：如圖9，正方形EFGH的頂點E與正方形ABCD的中心O重合，當正方形OFGH繞點O順時針旋轉過程中，OF，OH分別交直線BC，CD于M，N兩點.

（1）討論正方形OFGH在旋轉過程中，四邊形OMCN的面積的變化情況；

（2）討論線段OM、ON的數量關系；

（3）討論線段CN、CM、OC之間的數量關系.

學生模式解決：

分析問題條件，四邊形OMCN具有圖8的特征，由問題3的解決思路可知：

（1）S四邊形OMCN=S△OBC，所以正方形OFGH在旋轉過程中，四邊形OMCN的面積不變；

（2）OM=ON；

設計意圖：讓學生自覺地尋找熟悉的基本圖形，運用已經學會的方法解決新情境下的問題.

問題5：如圖10，在問題1中，分別延長FH，DA交于點M.若AM=CF，請你試著發現圖中結論！

學生發現結論：

（1）△ABM △CBF；

（2）△FBM是等腰直角三角形；

（3）∠EBF=45°；

（4）△EBM △EBF；

（5）BE平分∠AEF，BF平分∠CFE；

（6）點B到直線EF的距離等于正方形的邊長；

（7）AE+CF=EF；

（8）△DEF的周長是一個定值，且等于正方形周長的一半；

……

設計意圖：“當你找到第一個蘑菇后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的”（波利亞語）.在基本圖形中強化條件，綜合問題1、3中的基本圖形，開放結論，要求學生根據條件合理聯想與推理，發現基本圖形與基本結論，培養學生的發散思維能力.

問題6：（1）如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，AD=6，求直角梯形ABCD的面積.

學生模式解決：

根據已知條件，可以將梯形ABCD補成正方形ABCF.又因為∠DCE=45°，由學生的發現7可知BE+DF=ED.

設BC=x，則AE=x-4，DF=x-6.

由BE+DF=ED，BE=4，得DE=（x-6）+4=x-2.

本次研究以2015—2017年的衛生人才數量作為基礎，預測2019—2021年東麗區衛生人才的需求情況，預測東麗區2021年衛生人才的數量將超過2 250人，見（表2）。

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，所以62+（x-4）2=（x-2）2，解得x=12.

于是S梯形ABCD=+12）×12=108.

（2）如圖12，在問題2（1）中，AB的對應邊FR交BC邊于點E，若任意改變點F的位置，試研究△CEF的周長的變化情況.

學生模式解決：

由折疊的性質知∠BAF=∠AFE.又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，故∠AFD=∠AFE（類似問題5中的結論5）.

過點A作AP⊥EF，則AP=AD=AB（類似問題5中的結論6）.

于是可證△ABE △APE，△ADF △APF，得BE=PE，DF=PF.

所以△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+CF+PE+PF=CE+BE+DF+CF=BC+CD=2BC（定值）（類似問題5中的結論8）.

設計意圖：（1）直接根據條件將特殊直角梯形轉化為正方形，由特征角“∠DCE=45°”聯想到基本結論“BE+DF=ED”，再運用方程知識設元求解；（2）挖掘折疊對稱圖形中隱藏的結論“AF平分∠DFE”，再自覺地運用問題5的方法求解.

至此，本節課的問題結構關系與解決的過程可以用圖13呈現：

圖13

從課堂教學效果看：設置具有價值的問題串是數學課堂的靈魂，有效的問題串的設計和運用決定著我們的教學方向，關系到學生思維活動開展的深度和廣度，實現了解題教學的高效.數學是一種模式，我們應該幫助學生識別這種模式，堅持模式識別教學，提高學生數學解題能力，帶領學生走出題海，真正學會解題，讓學生享受數學解題的快樂！