簡述在線性代數教學中培養學生數學思維意識的一些思考

李東升

摘要：數學教學不但要教授學生數學知識，最重要的是培養學生的數學思維意識。線性代數教學中蘊含了一定的數學思維內容，還需要教師深入挖掘，采用合理的教學方式，最終達到培養學生數學思維意識的目的。對此，本文分析了在線性代數教學中培養學生數學思維意識的幾點建議，以期為相關從業人員提供參考。

關鍵詞：線性代數 教學 數學思維意識 思考

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A 文章編號：1009-5349（2018）16-0154-02

現代社會更需要培養創新型人才，尤其是對大學教學來說，是學生即將步入社會的關鍵階段，因此培養他們的創新意識和能力至關重要，能夠為其走向社會后的發展奠定基礎。任何大學都不可能將所有的知識都傳授給學生，因此教學的最高境界就是教授學生終身學習的能力。[1]這就需要教師在教學的過程中，對學生進行潛移默化的影響。數學理論是人們站在量的角度對現實世界所有研究所獲取的客觀性規律，數學作為所有學科的基礎，數學方法是人們研究問題、處理問題的必要條件，也是培養學生創新思維的關鍵所在。在線性代數教學中存在了一定的抽象思維和邏輯思維，蘊含了多種數學思想方法，是培養學生數學思維意識的重要內容。

一、從教學內容出發，與專業特點相結合

在實際教學中，一些學生雖然知道學習數學有用，但是卻存在不會用、用不了的現象。對此，教師在教學過程中，還應注意與學生專業特點相結合，尋找利于學生接受的切入點，針對知識點在實際應用的特點，激發學生的學習興趣。比如，針對電子工程學院對矩陣理論的學習，可以將分析電路作為例子，依照矩陣表征的電路特點，然后再應用矩陣理論對電路的特征、結構等展開研究；針對經濟管理學的學生對矩陣理論的學習，可以將經濟成本與管理決策內容作為例子；針對信息工程學院的學生對矩陣理論的學習，可將有關線性代數與圖像的關系作為例子；針對機械學院的學生對矩陣理論的學習，可將現代飛行器外觀設計以及機械人設計方法作為例子。[2]如此，便可激發學生的學習興趣，達到學以致用的效果，同時也培養了學生良好的數學思維，為其日后的應用奠定基礎。

（1）以經濟相關專業對矩陣的學習為例，采用相關經濟成本的例子作為講解對象。

例：服裝加工廠想要大批量生產兩種款式衣服，分別為M和N。其中M款生產價值為100美元，需耗費25美元的原材料費用，45美元的管理費、15美元的勞動費；生產100美元的N款服裝，需耗費原材料45美元，25美元管理費，10美元勞動費，即a 、b ，將a與b定義為M和N兩種款式服裝的“單位美元產出成本”，問：①如何解釋向量100a經濟？②假設該服裝加工廠想要生產的M款服裝為x美元，想要生產N款服裝為y美元，對該服裝加工廠的原材料費用、管理費用和勞動費用作出向量。

（2）以信息工程學院學生授課為例，可將特征向量在網頁中的排序搜索作為例題。

例：百度該怎樣將搜索到的n個網頁做好排序呢？對此可采用好中心網頁指向好權威網頁，好權威網頁被好中心網頁指向的方式。將第i個網頁的中樞值與權威值分別記作xi和yi，將中樞值分量與權威值分量的列項量分別用x和y表示，用A表示網頁間的鏈接矩陣。如第i頁連接到第j頁，則Aij值為1，否則則為0；矩陣AAT與ATA最大特征值的特征向量分別為x和y，以y分量為依據對搜索到的網頁加以排序。

上述舉了兩方面的例子，將線性代數和學生專業相結合能夠激發學生對數學的學習興趣，學生經過不斷的學習形成良好的數學思維。這就要求教師在實際教學過程中不斷積累教學經驗，對教材加以充分總結歸納，為學生設置特定的教學情境，建立起一套線性代數教學案例庫，為學生提供針對性的教學服務。

二、加強理論教學

教學理論與方法是數學思維與特征的載體，只有充分掌握數學基本理論，才能進一步對數學及其思維有更好的了解，進而達到培養學生數學思維的目的。因此，在教學過程中，還應讓數學理論發揮自身的主體作用，促使學生掌握數學基本理論與思維方法。培養學生的數學思維、數學素養都需建立在數學基本理論與數學方法的基礎之上。

在當前的大學數學理論教育中，很多學生在對大學課程學習的過程中，僅僅是應用其自身的學習經驗，而沒有注重對數學理論和概念的理解，只是關注數學題型和技巧，認為只要認識題型和掌握相應的數學技巧便會做題，卻不知數學題型與技巧都是由數學理論發展而來，沒有認識到數學理論和概念的意義。[3]除此之外，在就業與實用的影響下，大部分商科、理工科以及經管類的學生都無法靜下心對數學進行學習，甚至產生恐懼心理，即便已經通過了數學課程考試，但是卻并沒有掌握相應的數學理論與方法。對于一些學習數學專業的學生也比較畏懼數學理論和證明，在撰寫畢業論文時不愿將數學理論作為課題。這些都不利于學生對數學更好地學習，對培養學生數學思維造成不利影響。對此，教師還應對數學理論建構背景、理論框架以及數學思想、邏輯推演等內容進行重點講解，同時教授學生一些應用例子和書數學理論間的關系等。比如，在教學矩陣教學時，便可利用理論教學培養學生的數學思維意識。

例：首先讓學生認識到矩陣能夠實現對一般線性方程組的求解，對比數的運算對矩陣的基本運算進行自然定義。同時，在教學過程中還應側重于對新引入數學研究對象的深入講解，采用類比研究法，但是本質卻與數學對象完全不同，有自身獨特的特點。比如矩陣乘法運算和數乘法運算、可逆矩陣記號和數學倒數等都有所不同，在對矩陣的初等變換進行講解時，為了更好地讓學生對初等變換來源進行探究，可對學生做如下引導：為對線性方程組所引入的矩陣加以解決，就需采用與Gauss消元法相應的內容進行等價變換，進一步引出矩陣的初等行變換；采用對稱或者對偶的觀點將初等列變換自然而然地引入[4]；給出矩陣的標準形、行最簡形和行階梯形，使學生更直觀地看到從矩陣標準形變為非負整數-矩陣的秩的自然過程。最后在對矩陣的秩定義進行講解，將線性方程組求解問題實現完整解答。采用這種方式教學能夠幫助學生更好地了解數學理論的形成、變化過程，深入掌握數學理論的內涵。只有這樣，才能實現數學理論的切實掌握，有助于培養學生的數學思維意識。

三、加強舉例教學

采用舉例教學可建立數學理論，同時也是培養學生數學思維意識的重要途徑。實際上，多數數學知識理論都是經過數學研究者不斷地對例子總結、分析所提煉而成。數學課本中的典型例題不僅體現出了數學基本框架，同時也體現了數學思想、方法以及實現路徑。除此之外，通過一些典型例題也能幫助學生理解抽象的數學概念和理論。[5]數學習題不單單是學生掌握數學知識、數學理論和數學思想方法的途徑，也是培養學生數學思維意識的必經之路。教師引導學生對習題獨立處理，能夠促使學生掌握相應的數學定理、數學方法、數學技巧等，久而久之便會形成良好的數學思想意識。

但是在實際教學中不難發現，很多學生雖然掌握了抽象的數學概念和定理，但是要舉例子卻有一定難度，沒有掌握舉例子的方法和技巧。另外，一些教師在教學過程中，只是對例子本身進行講解，而忽視了對例子包含的數學理論、思想方法等進行講解；學生對于例子的理解也只停留在表面，沒有深挖；學生自主學習意識不強，通常直接參考別人答案，甚至直接抄襲。對于此類情況，為了培養學生的數學思維意識，教師還應從數學例子方面著手，在選取例子時應具有針對性、層次性[6]，引導學生獨立思考完成。比如在教學1、2、3所有排列逆序數教學時，就可通過例子實現對學生數學思維意識的培養。

例：先將1、2、3的相關配列一一列出，可將這些排列頁當作自然排列123置換而來。對這些排列的逆序數進行相關計算，根據逆序數的性質分成奇排列和偶排列兩組，讓學生找出這兩組排列之間的關聯性，很容易就發現1、2、3的所有奇（偶）排列都是通過某個偶（奇）配列置換而來，進一步形成（相鄰）對換理論。另外，由于1、2、3中排列的奇偶分別為3個，接著引導學生對1、2、3......n的所有排列問題進行思考。通過這種舉例子的方式不但能讓學生對數學概念有更深的理解，同時也有助于學生形成屬于自身的數學理論與感覺，進而形成數學思維意識。

四、采用多元化的考核方式

隨著素質教育的實施，傳統單一的以書面考試作為評價方式已經不適合當前學生發展需要，不利于培養學生的數學思維意識。對此，教師還應采取多元化的考核方式，在考試中滲透數學思維意識，可通過書面考試、課后訪談、大型作業以及小論文分析等形式進行考核。比如在布置數學建模課題時，促使學生撰寫的論文以及報告必須獨立完成。在進行課題研究時，應引導學生對資源進行整合、加工和處理，經歷“分析問題、建立模型、解決模型問題、檢驗拓展”的整個過程，以培養學生的創造型思維，從中獲得成就感。[7]學生對數學知識、數學思想的靈活運用，分析、概括實際課題的過程，需要學生自身對所學知識進行提取、關聯、轉換和重組，提升學生的思維能力，同時也有助于培養學生的探索精神、協作精神，最終形成良好的數學思維能力。

五、結語

綜上所述，培養學生的數學思維意識對其日后的發展至關重要，教師在教學過程中還應采取有效的教學方式。針對學生所學專業選取合適的教學例子；理論教學是數學知識的源頭所在，因此還應加強理論教學，幫助學生了解知識的來龍去脈；加強舉例教學能夠強化學生的獨立自主能力，形成良好的數學思維；最后采用多元化考核方式可促使學生充分思考，在不知不覺中形成數學思維。總之，線性代數教學中蘊含了豐富的培養學生數學思維的知識，還需教師深入挖掘，不斷積累教學經驗，采用合理的教學方式，促使學生更好地融入社會當中。

參考文獻：

[1]任麗麗，歐陽君，胡鵬.MATLAB融入醫學院校線性代數教學的應用與思考[J].太原學院學報（自然科學版），2016（3）：28-31.

[2]覃海英.在線性代數教學改革中融入數學建模思想的研究[J].散文百家旬刊，2016（1）：246.

[3]安潤秋.搞好線性代數教學培養學生數學能力[J].好家長，2017（48）：95.

[4]杜潤梅，郭明浩，孫瑤.把數學模型思想融入到線性代數教學中的思考[J].數學學習與研究，2016（9）：93.

[5]李俊華，陳艷菊.淺談數學思想在線性代數概念教學中的應用[J].教育教學論壇，2015（10）：181-182.

[6]劉建強.談線性代數課程中的素質教育——通過與后繼課程及實際應用聯系的教學實施[J].西部素質教育，2015（17）：36-37.

[7]潘大勇.線性代數教學中的應用意識培養[J].湖北工業職業技術學院學報，2016，29（6）：77-80.

責任編輯：楊國棟